Диссертация (Манипулирование в задаче коллективного принятия решений), страница 6

В работе Кана и др. [37] предложен удобный способ примененияэтого условия для построения предпочтений на множествах. Авторыпредлагают дублирование альтернатив в каждом наборе необходимоечисло раз, чтобы наборы обрели одинаковую мощность. Затемупорядоченные наборы сравниваются поэлементно.

Если каждаяальтернатива первого расширенного набора не хуже второго, то этонабор будет строго лучше (по крайней мере, по одной альтернативесоотношение будет строгое, так как наборы не равны, а предпочтениястрогие). Например, необходимо сравнить наборы: x1 , x2 , x5  и  x3 , x5  .Рассматриваемнаборыодинаковоймощности: x1 , x1 , x2 , x2 , x5 , x5  и x3 , x3 , x3 , x5 , x5 , x5 . Очевидно, что каждый элемент в первом наборе лучшелибо равен каждому элементу во втором. Поэтому согласно EUCEPAx1 , x2 , x5  лучше  x3 , x5 .Можно обобщить результаты данного раздела и заметить, чтоимеются три аксиомы, каждая из которых сильнее предыдущей. Иначеговоря:Лемма2.ЕсливыполняетсяпринципГэрденфорса,товыполняется сильная версия аксиомы Келли (условие 2') и условия 1-4,34есливыполняется аксиомаEUCEPA, товыполняется принципГэрденфорса.Доказательство леммы следует из определений, поэтому будетопущено.Заметим, что аксиома монотонности описывает соотношениямежду наборами альтернатив, отличными от тех, к которым применимпринцип Гэрденфорса.

Однако, если выполняется аксиома EUCEPA , товыполняется и принцип Гэрденфорса, и аксиома монотонности.Подробнее о том, какие из методов будут использованы вдальнейшем анализе, рассказано в конце данной главы.Всеуказанныевышеусловияявляютсянеслишкомограничительными и не позволяют сравнить все наборы. Например, неподдаются сравнению наборы с явно неопределенными соотношениями(например, x1 , x6 , x7  и  x2 , x4  ). Таким образом, необходимо доопределитьданные предпосылки, а точнее ввести новые правила расширенияпредпочтений, которые бы не противоречили всем условиям и позволялибы однозначно определить отношения предпочтения между элементамимножестваA.Ниже описывается несколько известных и новых методоврасширения предпочтений, которые можно разделить на три группы –лексикографические, вероятностные и методы усреднения рангов.Метод усреднения рангов сам по себе не позволяет сравнить всевозможные наборы альтернатив и поэтому требует дополнительныхограничений.

Было предложено 8 типов таких ограничений, с помощьюкоторых можно получить различные расширенные предпочтения в виделинейного порядка.352.2. Сильные методы расширения предпочтений2.2.1. Лексикографические методы2.2.1.1. ЛексиминДанный метод расширения предпочтения был предложен П.Паттанаиком и Б. Пелегом [85]. Однако здесь мы будем использоватьего в виде, представленном в работе Озюрта и Санвера [81]. Основу этогоспособа составляет принцип сравнения худших альтернатив двухколлективных выборов. Если худшие альтернативы совпадают, тонеобходимо сравнивать вторые худшие альтернативы и так далее. Еслидальнейшее сравнение невозможно, то есть когда один из коллективныхвыборов является подмножеством другого, то больший по мощностинабор предпочитается меньшему.Математически данный способ выглядит следующим образом.

Дляданных предпочтенийPi  Lпринципу лексиминс использованием нижеприведенного алгоритма.EPiстроятся расширенные предпочтения поСравниваются два общественных выбораX ,Y  A :Пусть оба множества содержат одинаковое число элементовX  Y  k,гдеk  1, , m  1.Упорядочим элементы общественного выбора впорядке убывания предпочтения, т.е.:y j Pi y j 1 j  1, , k  1.xh Pi yhСоотношениедля наибольшегоПустьX  Y.h  1, , k,X   x1 , , xk X EPi Yа)xh  yhY  y1 , , yk ,гдеx j Pi x j 1иимеет место, если и только еслитакого, чтоxh  yh .Теперь упорядочим элементы общественного выборав порядке возрастания предпочтения, т.е.:x j 1Pi x j j  1, , X  1ииy j 1Pi y j j  1, , Y  1.h  1, , min X , Y .X  x1 ,,xXиY  y1 ,, yY,гдеДалее возможны два случая:То есть один набор являетсяподмножеством другого.

Тогда, как уже было сказано выше, будетпредпочитаться больший по мощности общественный выбор. То естьX EPi Yтогда и только тогда, когдаX  Y.36б)h  1, , min X , Y только если, для которогодля наименьшего изxh Pi yhxh  yh .ТогдаX EPi Y ,h  1,, min X , Y  ,если идля которогоxh  yh .Например, для случая трех альтернатив и лексикографическихпредпочтений расширенные предпочтения, построенные по принципулексимин, будут иметь следующий вид:aEPi a, bEPi bEPi a, cEPi a, b, cEPi b, cEPi c.2.2.1.2 ЛексимаксЭтот способ расширения предпочтений аналогичен лексимину,только сравниваются наилучшие элементы двух общественных выборов.Если они равны, то рассматриваются вторые наилучшие и т.д.

Приневозможности дальнейшего сравнения, когда один из наборов являетсяподмножествомдругого,томеньшийпомощностинаборпредпочитается большему.Предложим также математическое описание этого метода всоответствии с работой Озюрта и СанверапредпочтенийлексимаксEPiPi  L[81].

Для данныхстроятся расширенные предпочтения по принципуследующим способом.Сравниваются два общественных выбораX ,Y  A .Пусть оба множества содержат одинаковое число элементовX  Y  k,гдеk  1, , m  1.Упорядочим элементы общественного выбора впорядке убывания предпочтения, т.е.:y j Pi y j 1 j  1,, k  1.xh Pi yhСоотношениедля наименьшегоПустьвыборавX  Y.h  1, , k,X   x1 , , xk X EPi YиY   y1 , , yk ,гдеx j Pi x j 1иимеет место, если и только еслитакого, чтоxh  yh .Аналогично упорядочим элементы общественногопорядкеубыванияпредпочтения,37т.е.:X  x1 , , x XигдеY  y1 , , y Y ,j  1, , X  1x j Pi x j 1иy j Pi y j 1j  1, , Y  1.Далеевозможны два случая:а)h  1, , min X , Y .xh  yhподмножеством другого.б)X EPi Yh  1, , min X , Y ,только еслиxh Pi yhТо есть один набор являетсятогда и только тогда, когдадля которогодля наименьшего изxh  yh .ТогдаX  Y.X EPi Y ,h  1,, min X , Y ,если идля которогоxh  yh .Например, для случая трех альтернатив и лексикографическихпредпочтений расширенные предпочтения, построенные по принципулексимакс, будут иметь следующий вид:aEPi a, bEPi a, b, cEPi a, cEPi bEPi b, cEPi c.Оба способа расширения позволяют сравнить все возможныенаборы.2.2.2.

Вероятностные методыВведемновыеметодырасширенияпредпочтений.Данныеспособы упорядочивания альтернатив отличаются от методов «лекси»тем,чтоучастникголосованияориентируетсяненаналичиеальтернативы в итоговом выборе, а на вероятность того, что именно этаальтернатива выиграет в итоге. Предполагается, что вероятности победыкаждой альтернативы равны между собой и соответственно равны1mичто все участники голосования знают это.

Итоговая вероятность в наборебудет считаться по правилу Байеса. Например, в наборе  a, b, c –вероятность, что в итоговом выборе будет альтернативаa,равна1m1.1  1  1 3m m mЗдесь различаются два способа: упорядочение по убываниювероятности наилучшей альтернативы и по возрастанию вероятностинаихудшей. Рассмотрим эти способы.382.2.2.1. Упорядочение по убыванию вероятности наилучшейальтернативыСуть метода заключается в сравнении двух множественных выборовпоэлементно. Если в упорядоченных наборах на первом месте стоятодинаковые альтернативы, то предпочитается тот набор, в которомвероятность окончательного выбора данной альтернативы выше. Приравных вероятностях смотрят на соотношение остальных элементов.Обсудим данный метод на примере.

Как уже было сказано ранее, внаборе  a, b, c – вероятность, что в итоговом выборе будет альтернативаравна13a,(полагаем, что вероятности победы каждой альтернативы изодного множественного выбора равны), в наборе  a, c вероятность равна12. Таким образом, при расширенных предпочтениях, построенных попринципу убывания вероятности наилучшей альтернативы, будетнаблюдаться следующее соотношение между этими двумя наборами: a, cEPi  a, b, c.Вобщемлексикографическихвидедляпредпочтенийслучаятрехальтернативрасширенныеипредпочтениявыглядят следующим образом:aEPi a, bEPi a, cEPi a, b, cEPi bEPi b, cEPi c.Предложим математическое описание данного метода.

Для данныхпредпочтенийубыванияPi  Lстроятся расширенные предпочтения по принципувероятностинаилучшейальтернативыспособом. Сравниваются два коллективных выбораEPiследующимX ,Y  A .Упорядочим элементы коллективного выбора в порядке убыванияпредпочтения, т.е.:y j Pi y j 1 j  1, , Y  1.X  x1 ,,xXиY  y1 ,, yY ,гдеx j Pi x j 1j  1, , X  1Далее производим следующие сопоставления: еслиx1 Pi y1 ,то  X , Y   EPi ; еслиx1  y1иX  Y,то  X , Y   EPi ;39и еслиx1  y1иk   2, , m  1,гдеX  Y k,то соотношениеX ,Y   EPi имеет место, если и только еслинаименьшегоh   2, , k,такого, чтоxh Pi yhдляxh  yh .Данное определение представлено в виде алгоритма, в которомописаны все возможные ситуации. Из формулировки видно, чтосравнению поддаются все наборы.2.2.2.2.

Упорядочение по возрастанию вероятности наихудшейальтернативыЭтот метод расширения аналогичен предыдущему с точностью допорядка сравнения элементов. Здесь основное внимание сосредоточеноне на наличии лучшего, а на отсутствии худшего результата.Соответственноминимизируетсявероятностьвыборахудшихальтернатив.

Предложим математическое описание метода и приведемпример.ДляданныхпредпочтенияальтернативывыборапоEPiпредпочтенийпринципустроятсяPi  Lвозрастаниярасширенныевероятностинаихудшейследующим способом. Сравниваются два коллективныхX ,Y  A .Упорядочим элементы коллективного выбора в порядке убыванияпредпочтения, т.е.:y j Pi y j 1 j  1, , Y  1.X  x1 ,,xXиY  y1 ,гдеx j Pi x j 1j  1, , X  1иДалее производим следующее сопоставление: еслиx X Pi y Y ,то X , Y  EPi ; еслиx X  yYи если, yY ,x X  yYX  Y ,ито X , Y  EPi ;X  Y k,гдеk   2, , m  1,то соотношениеX ,Y   EPi имеет место, если и только еслинаибольшегоh   2, , k,такого, чтоxh Pi yhдляxh  yh .Расширенные предпочтения, построенные по этому методу длятрех альтернатив и лексикографических предпочтений, имеют вид:40aEPi a, bEPi bEPi a, b, cEPi a, cEPi b, cEPi c.В данном случае можно также утверждать, что расширенныепредпочтения, построенные по вероятностным методам, также будутлинейными порядками.2.2.3.