Диссертация (Разработка СВЧ устройств с использованием методов геометрической оптики), страница 4

Траектории распространения лучей в плоскослоистой средев зависимости от начального угла распространения луча.Таким образом, с помощью разработанной вычислительнойпроцедуры, могут быть промоделированы E − плоскостные волноводные задачи для плоско-слоистых сред.2.4 Распространение луча в слоистой среде с зависимостьюдиэлектрической проницаемости от двух координат.Для построения траектории лучей в среде с неоднородностямидиэлектрической проницаемости, зависящими от 2-х координат,воспользуемся дифференциальными уравнениями лучей в гамильтоновой форме [11]:dp 1 2 n x, z d 2(2.30)29Пусть неоднородная среда зависит от координат x, z . Тогдакоэффициент преломления среды будет зависеть от 2-х переменныхn( x, z ) и дифференциальные уравнения лучей примут вид:dxdydz px , py , pz ,ddd(2.31)dpx 1 dn2 dp ydpz 1 dn2, 0,.d 2 dxdd 2 dz(2.32)Из уравнения эйконала (2.3) и (2.30) следует:p y  0  const  p 0y , p x   n 2 ( x, z )  p z2  ( p 0y ) 2 ,p z   n 2 ( x, z )  p x2  ( p 0y ) 2(2.33)Решить систему уравнений (2.31) и (2.32) относительно переменных x и z также можно с помощью графического метода, путемпостроения изоклин.Уравненияdxdz px , pzdd(2.34)dpx 1 dn2 dpz 1 dn 2,d 2 dx d 2 dz(2.35)иможет быть представлено геометрическим семейством ориентированных фазовых траекторий в 4-х мерном фазовом пространствеx, z, px , pz .

Фазовые траектории удовлетворяют системе уравненийпервого порядка:30 1 dn 2  1 dn 2 dpx  2 dx  dpz  2 dz ,dxpxdzpz(2.36)Соотношения из (36) каждой точке ( x, z, px , pz ) и ставит в соответствие наклон проходящей через нее интегральной кривой. Получающееся поле направлений позволяет построить фазовые траектории px ( x, z, pz ) , и соответственно построить x( ) , z ( ) по заданным начальным значениям x , z , px и p z .Аналогично предыдущему примеру, рассматриваетсяE-плоскостная система, которая моделируется частотно зависимойсредой, в которой зависимость диэлектрической проницаемости отчастоты имеет следующий вид:2 крHm0 ( x, z ) a ( x, z )   a  1  ,2крHm0 x, z  mh x , z   a  a(2.37)(2.38)Такая модель позволяет рассматривать задачи дляE-плоскостных волноводных устройств [22, 23], с переменной высотойширокой стенки h .Далее необходимо записать соотношения, определяющие зависимость между переменными x, z, px , pz , путем комбинированияуравнений (2.31) и (2.32): 1 dn 2  1 dn 2 dpz  2 dz  dpz  2 dz ,dzpzdxpx(2.39)31 1 dn 2  1 dn 2 dpx  2 dx  dpx  2 dx ,dxpxdzpz 1 dn 2 dpz  2 dz  dz pz,2dpx  1 dn  dx px 2 dx (2.40)(2.41)Указанные выше зависимости позволяют строить фазовыетраектории для 2D задач.

Поэтому рассмотрим ниже пример применения уравнений (2.39)−(2.41).2.5 Построение фазовых траекторий и лучей в слоистой среде с зависимостью диэлектрической проницаемости отдвух координат.В качестве примера рассмотрим E -плоскостную волноводнуюсистему с изменяемой высотой широкой стенки h (см. рис.

2.5).Пусть высота стенки волновода hx, z  является кусочно-линейнойфункцией. На рис. 2.5 показана геометрия задачи. Геометрия состоит из 3-х сегментов. В сегменте 1, высота волновода равняется 30мм. Сегмент 2, ограничивается двумя эллипсами с одинаковыми фокусами и различными значениями больших (малых) осей эллипсов.Высота во 2 сегменте меняется от 30 мм (граница малого эллипса)до 1 мм (граница большого эллипса).

В 3 сегменте, высота волновода равняется 1 мм.32zСегмент №3Сегмент №2Сегмент№1xaminamaxРис. 2.5. Геометрия задачи.Значение высоты волновода зависит от координат ( x, z ) иопределяется:h  x, z  hmin  hmax f 2  x2  z 2 f2amax  amin x 2  z 2  4  x  f 22hmax amax  amin   amin hmin  hmax amax  amin(2.42)где hmin = 1 мм,hmax = 30 мм − минимальная и максимальная высо-ты волновода, f  140 мм − фокус эллипсов, amin = 420 мм, amax =570 мм − минимальное и максимальное значение больших осей эллипсов.Если в качестве начальных значений заданы координаты поосям x = 140 мм, z = 0 мм и уголΘ = −85°, определяющийначальное направление распространения луча. Следующим шагомрассчитываются начальные значения по осям px и p z с использованием формул из (2.20).33Из соотношений (2.31), (2.32), определяем импульсы по координатам z , x и px , p z для заданной слоистой среды и известныхначальных координат:pz  0.082 , px  0.939 , dpz  0, dpx  0.082 .(2.43)Из четырех переменным x , z и px , p z выбираем ту, для которой модуль производной является самым большим.

Для переменных x, z задаем фиксированный шаг приращения   0.01 , для px , pz−   0.001 (выбирается исходя из необходимой точности [25]), приращения к остальным переменным рассчитываем, воспользовавшисьформулами приведенными ниже:p z p z p x p x p x z x z x p z p z p x z dpzdzdpzdxdpxdzdpxdxdpxdpzz dzdpzx dxdpxx dpxdpz(2.44)34dx  px  ddz  pz  d21 dndpx  d 2 dx21 dndpz  d 2 dz(2.45)Определив приращения x , z , px и pz по четырем координатам можно рассчитать новые значения координат по осям x , z ,px и p z , которые являются суммой значения предыдущей коорди-наты и полученного приращения.Повторно определяем приращения по осям и рассчитываемкоординаты следующего шага.

Повторяются эти шаги до того момента пока полностью не будут построены фазовые траектории длязаданного числа шагов. Таким образом осуществляется построениетраектории луча в среде с использованием метода выбора переменной интегрирования при минимизации ошибки на каждом шаге интегрирования.На рис. 2.6 приведено распределение диэлектрической проницаемости для частоты 15 ГГц для E  плоскостной задачи, геометриякоторой показана на рис. 2.6.На рис. 2.7, 2.8 приведены фазовые портреты зависимостейpz ( z ) и px ( x) для начального угла  0 = -30 градусов и заданногораспределения диэлектрической проницаемости (см. рис. 2.6).35εxzCreateMesh( eps 550 550 диэлектрической550 550 100 100)Рис. 2.6.Распределениепроницаемости врассматриваемой геометрии.pz ( z )10.8160.5 6F12z 200 1000100200300400500 0.5 0.9471 131.827 4F12481.826Рис.

2.7. Траектория в среде с заданной n(x, z) на плоскости z, p z .36px ( x)0.20.036x 200 150 7F12 100 50050100150200 0.2 0.4 0.471 0.6 157.034 5F12200Рис. 2.8. Фазовая траектория в среде с заданной n(x, z) на плоскостиx, px .На рис. 2.9 приведем зависимости z (x) для x 0  140 при различных начальных углах распространения луча  0 . На данном рисунке траектория 1 соответствует углу  = -80 градусов отсчитан0ному от оси z , траектория 2 −  0 = -70 градусов, траектория 3 −  0= -60 градусов, траектория 4 −  0 = -50 градусов, траектория 5 −  0 =-40 градусов, траектория 6 −  0 = -30 градусов, траектория 7 −  0 = 20 градусов, траектория 8 −  0 = -10 градусов, траектория 9 −  0= 0 градусов, траектория 10 −  0 = 10 градусов, траектория 11 −  0= 20 градусов, траектория 12 −  0 = 30 градусов, траектория 13 −  0= 40 градусов, траектория 14 −  0 = 50 градусов.37z6001234567891011121314600 F2 4 4F4450 F6 4 F8 4300 4F10 F12 4150 F14 4 4F16 F18 4 4F20 F22 4 F24 4 4F26 F28 4x 600 450 300 1500150300450600 150Рис.

2.9. Траектории распространения лучей в слоистой среде в за 300 распространения луча.висимости от начального угла 450Исследуя зависимости, приведенныена рис. 2.9, наиболее ин 600тересной является область у второго фокуса, через который должны 600приходить отраженные лучи (см. рис.2.10).    5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 600 F2 5  F4 5  F6 5  F8 5  F10 F12 F14 F16 F18 F20 F22 F24 F26 F28Рис. 2.10. Траектории распространения лучей, отраженных от границы эллипса, около второго фокуса.На рис. 2.11 приведены линии, образованные точками пересечения лучей, выходящих из первого фокуса в диапазоне углов от -80до 50 градусов относительно оси z с дискретом в 5 градусов для60038различных значений фокусов и большой оси эллипса.

Линии 1 соответствуют параметры эллипса: фокус f = 150 мм большая ось малого эллипса amin = 350 мм, большая ось большого эллипса amax= 500 мм; линии 2 − f = 150 мм, amin = 420 мм, amax = 570 мм; линии 3 − f = 140 мм, amin = 420 мм, amax = 570 мм.z51230.3910  5 d_350_15 T0  2  d_420_15 T0  2  d_420_14 T0  2 10 15 15.473 20 160 156.5x 150 140   130 1 d_350_15 T0  1   d_420_15 T0  1   d_420_14 T0 10 120 129.02Рис. 2.11. Линии, образованные точками пересечения лучей.Из кривых, приведенных на рис. 2.11 видно, что с возрастанием отношения длины большой оси эллипса к расстоянию от центраэллипса до его фокуса область точек пересечения лучей становитсяменьше.

Для уменьшения расхождения лучей, приемный и передающий рупора должны иметь более узкие диаграммы направленности. При значении параметровf = 140 мм, amin = 420 мм, amax= 570 мм лучи, выходящие из первого фокуса под углами  85..75 , приходят во второй фокус эллипса, образуют областьрасфокусировки, по оси х составляющую 17.5 мм, по оси z −399.1 мм. При сужении углов выхода луча до области   40..40 −область расфокусировка уменьшается до значений по оси х −6.12 мм, z − 0.99 мм. Таким образом, при сужении угла излучениялуча можно так же сузить область расфокусировки и перейти к использованию рупора с более узкой диаграммой направленности.2.6 Определение погрешности моделирования неоднороднойсреды методом геометрической оптики.В данном параграфе рассмотрены погрешности, получаемыепри моделировании распространения луча в кусочно-линейной Еплоскостной неоднородной системе LE1n -типа [22].Для тестирования программы и исследования точности применяемого алгоритма, моделирующего распространение лучей в неоднородных средах, необходимо сравнить рассчитанные траекториилучей с известными точными аналитическими решениями.

В качестве тестового примера была взята кусочно-линейная модель, состоящая из двух сред, имеющих различные значения коэффициентовпреломления, для которой известно точное аналитическое решение.Геометрия такой задачи представлена на рис. 2.12.Рис. 2.12. Кусочно-линейная модель.40Как видно из рис. 2.12 геометрия представляет собой плоскуюграницу раздела двух сред с показателями преломления n1 и n2 , гдеn1 — показатель преломления среды, из которой свет падает на границу раздела; n2 — показатель преломления среды, в которую светпопадает, пройдя границу раздела;Как известно, точное решение для такой задачи описываетсязаконом Снеллиуса [26]:n1 sin 1 = n2 sin 2 ,(2.46)где 1 — угол падения света — угол между падающим на поверхность лучом и нормалью к поверхности;  2 — угол преломления света — угол между прошедшим через поверхность лучом инормалью к поверхности.Рисунок 2.13 показывает точное решение, которое соответствует закону Снеллиуса.Рис.