В.П. Карликов, О.В. Трушина - Об автоколебательных режимах истечения плоских струй жидкости из-под свободной поверхности, страница 2

Эти перепады давления в случае свободного фонтанирования вызываются импульсами,приходящими с места падения свободной струи на поверхность жидкости, а при режимах, ког­да свободное фонтанирование отсутствует, связаны с отличием в значениях гидростатическойсоставляющей давления из-за разницы глубины жидкости по обеим сторонам от выходногосечения канала.ТРУДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ИНСТИТУТА ИМ. В.А. СТЕКЛОВА, 1998, т. 223КАРЛИКОВ, ТРУШИНА56Появление первоначального из указанных выше поперечных перепадов давления можетбыть следствием либо несимметрии возникающего при подаче воды из канала течения из-занесимметрии формы канала, профиля скорости в нем или наличия незначительного откло­нения его от вертикали, либо быстрой потери устойчивости первоначально симметричноготечения из-за возмущения, имеющего случайный характер.

В любом случае описанный устой­чивый автоколебательный режим устанавливается очень скоро.4.РЕЗУЛЬТАТЫ ЭКСПЕРИМЕНТОВПолученные в экспериментах значения безразмерного периода автоколебаний Т = тл/gJSв изученном диапазоне чисел Фруда F = Vo/л/дб представлены точками на рис. 2 для шести20, 30 и 40.значенийотносительной глубины затопления выходного сечения канала p — ho/S = 0, 5, 10,Обращает на себя внимание нетривиальный характер полученных зависимостей. Если сувеличением числа Фруда при р = 0 и р — 5 имеет место монотонный рост безразмерногозначения периода автоколебаний, то уже при р > 10 сначала наблюдается весьма быстроеубывание его до определенного минимального значения Т \ и затем снова рост.На рис.

3 для пяти значений относительной ширины канала S/ho, равных р — 5, 10, 20, 30т пи 40 (кривые 2, 3, 4> 5, 6), результаты этих же опытов показаны в виде зависимостей безраз­мерного периода Т* = Ту/g/hoот числа Фруда вида F* = Vo/л/дКо, т.е. при другом способеобработки и представления данных экспериментов [6].Кривые на этом рисунке для pi > 10 соответствуют нисходящим и восходящим ветвямзависимостей, показанных на рис. 2.

В соответствующих им диапазонах значений числа Фру­да, как видно, минимально возможное значение безразмерного периода T ^ оказывается длявсех pi одинаковым и равным ~ 5.7. Отсюда следует важный вывод о том, что минималь­но возможная величина размерного периода автоколебаний r i в этом случае может бытьinmnнайдена по формуле r i « 5-7\/ho/g, т.е. максимально возможная частота автоколебаний за­висит при фиксированном g только от глубины начального затопления канала и не зависитот ширины канала.Для каждого из рассмотренных значений относительного заглубления канала pi > 2(г = 2,3,4,5,6) штриховыми линиями на рис.

2 указана граница существенной перестрой­ки течения, т.е. то значение F^, начиная с которого возникают изучаемые автоколебательныережимы фонтанирования.Нижние и верхние участки этих штриховых линий соответственно находятся вблизи экспе­риментальных значений безразмерного периода Т непосредственно перед резкой перестройкойтечений и сразу же после нее, т.е.

в начале диапазона устойчивых автоколебаний.Анализ экспериментальных данных позволяет установить связь между значением Fi и piв диапазоне 2 < pi < 40, которая с достаточной точностью может быть представлена в видеmnFi « O.lbpi + 1.25.Следовательно, с ростом относительного заглубления канала pi диапазон значений числаФруда, где существуют стационарные и квазистационарные режимы течений, расширяетсяпо линейному закону.Представленные на рис. 2 экспериментальные точки относятся для указанных относитель­ных заглублений pi лишь к некоторой части соответствующих им диапазонов существованияТРУДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ИНСТИТУТА ИМ.

В.А. СТЕКЛОВА, 1998, т. 223ОБ АВТОКОЛЕБАТЕЛЬНЫХ РЕЖИМАХ ИСТЕЧЕНИЯ ПЛОСКИХ СТРУЙ ЖИДКОСТИ57тF*Рис. 2Рис. 3Рис. 2. Экспериментальные и расчетные зависимости периода автоколебаний Т =Фруда F = Vo/\/go* для относительных глубин затопления выходного сечения канала30 и 40 (кривые 1-6)рот числа= О, 5, 10, 20,Рис. 3.

Экспериментальные зависимости периода автоколебаний Т* = тл/g/ho от числа ФрудаF* = Vo/y/gho, соответствующие нисходящим и восходящим ветвям зависимостей на рис. 2, для отно­сительной ширины канала Р — 1 / р = 1/5, 1/10, 1/20, 1/30 и 1/40 (кривые 2-6)устойчивых автоколебательных режимов, что связано с ограниченностью размеров использо­ванных установок.

Планируемые эксперименты на аналогичных установках большего размерапозволят определить правые границы диапазонов существования изучаемых режимов, за ко­торыми уже нарушается регулярность автоколебаний.5.П Р И Б Л И Ж Е Н Н Ы Й Т Е О Р Е Т И Ч Е С К И Й АНАЛИЗ ИСРАВНЕНИЕ С Э К С П Е Р И М Е Н Т О МВ основу приближенного решения положено предположение о том, что главный вклад впериод автоколебаний дают промежутки времени, пропорциональные длительности переме­щения частиц жидкости в затопленном участке струи, вытекающей из канала, и временинахождения их в свободной струе над поверхностью жидкости или при отсутствии свободнойструи над условным уровнем hi = ho + h. Здесь h — высота уровня жидкости в бассейненад кромкой водослива далеко от него, при которой в стационарном режиме через водосливпротекает жидкость с секундным объемным расходом Q = VoS/2.1 / 3Из соображений теории размерностей h, где а = const.

Специальные опы­ты на использованных установках показали, что при наличии боковых стенок в исследованныхдиапазонах режимов можно принять q « 1.27.ТРУДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ИНСТИТУТА ИМ. В.А. СТЕКЛОВА, 1998, т. 223КАРЛИКОВ, ТРУШИНА58Составляющую т\ периода автоколебаний, пропорциональную времени подъема частицыдо момента остановки в свободной струе или над уровнем h\ при ее отсутствии, можно опре­делить по формуле т\ = AVi/g, где А = const, a Vi — начальная скорость частиц в свободнойструе, которая принимается равной максимальной скорости в затопленной струе на уровне h\.Взаимодействием частиц в свободной струе и сопротивлением воздуха здесь, естествен­но, пренебрегается.

Кроме того, предполагается, что направление скорости V\ совпадает свертикальным.В случае, когда длина ядра затопленной струи, равная примерно 45 [7], превышает илиравна величине fti, можно считать V\ = Vo и тогда т\ = AVo/g.Если это не так, т.е. 45 < ho + h, то для вычисления Vi можно принять, что на затопленномучастке струи длиной AS скорость частиц сохраняется равной Vo, а затем убывает обратнопропорционально корню квадратному из расстояния z до выходного сечения канала [7], т.е.равна V(z) = 2Vo\/Sjz, откуда для Vi получается формулаVi = V(h + h)=0^ 0 + ^ o2/3^ - l / 3 *Составляющую Т2 периода автоколебаний, пропорциональную длительности пребываниячастиц в затопленной струе, можно найти, также используя указанные законы измененияскорости вдоль нее.В случае ho + h < 4S имеем Т2 = B(ho + h)/Vo, а при ho + h > 45ASт = В 45Vb2Гf+J402/3dzV(z)/245{ho+qV S^g-^y TT" +(45)3/20ВVoВ = const .1 2WoS /В результате период автоколебаний г может быть найден по формуле г = т\ + Т2.Для режимов фонтанирования, когда ho + h < 45, т.е.

при p + hjS < 4, имеем9Voили после перехода к безразмерной форме2[gp + gF /3Т = т\ — = nF + с5F,п = const,с = const .Однако эта формула имеет весьма ограниченную область применения. Действительно,используя выражение h/S = g F / , получаем p + g F / < 4 откуда следует, что при р > 4такие режимы истечения вообще невозможны.При режимах, когда ho + h > 45, после перехода к безразмерным переменным получаетсяследующее выражение для безразмерного периода автоколебаний Т:232352FГ =п .4 + A> + g F / 3 ) 3=+с—,п = const,с = const .(1)20> + <zF /3Первое слагаемое в этой формуле, очевидно, должно играть доминирующую роль при от­носительно малых затоплениях канала и начальных скоростях Vo, приводящих к образованиюТРУДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ИНСТИТУТА ИМ.

В.А. СТЕКЛОВА, 1998, т. 223ОБ АВТОКОЛЕБАТЕЛЬНЫХ РЕЖИМАХ ИСТЕЧЕНИЯ ПЛОСКИХ СТРУЙ ЖИДКОСТИ59Т605040302010010203040FР и с . 4. Расчетные зависимости безразмерного периода автоколебаний Т = ту/д/8от числа Фруда F = Vo/y/gS для относительных заглублений p = ho/S = 0, 5, 10,20, 30 и 40 (кривые 1-6) при п = 8, с = 0.8свободной струи, а второе, наоборот, при значительных заглублениях и скоростях Vo, вызы­вающих лишь деформацию поверхности жидкости над каналом.С ростом числа Фруда первое слагаемое монотонно возрастает, а второе монотонно убы­вает.На рис.

4 приведены зависимости безразмерного периода Т от числа Фруда F, полученныев результате расчета по этой формуле для р = 0, 5, 10, 20, 30 и 40 (кривые 1-6) при п = 8,с = 0.8.Сравнение этих кривых с данными экспериментов на рис. 2 свидетельствует об их хо­рошем качественном соответствии, что подтверждает адекватность принятой схематизациисуществу изучаемого явления.Вместе с тем более детальный анализ каждого из слагаемых и их суммы в формуле (1)позволяет сделать вывод о невозможности добиться хорошего количественного совпадениярасчетных и экспериментальных данных во всех рассмотренных диапазонах значений чис­ла Фруда и относительного заглубления только за счет выбора двух конкретных значенийкоэффициентов n и с.Одной из причин этого является, например, принятое при построении приближенного ре­шения допущение о вертикальности скорости струи на ее затопленном участке и в моментпересечения ею свободной поверхности.В экспериментах хорошо заметно, что при многих режимах фонтанирования и особеннопри значительных заглублениях канала это допущение не соответствует действительности.Каждый очередной поперечный импульс, действующий на частицы струи на затопленномучастке ее, приводит к соответствующему отклонению их траекторий, в результате чего на­правление начальной скорости свободной струи V\ может существенно отличаться от верти­кального.Об этом свидетельствуют и наблюдаемая в опытах форма свободной струи, и значительноеТРУДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ИНСТИТУТА ИМ.

В.А. СТЕКЛОВА, 1998, т. 223КАРЛИКОВ, ТРУШИНА60удаление места падения ее на поверхность жидкости от плоскости симметрии канала, котороеможет быть даже существенно превышающим высоту подъема жидкости над невозмущеннойповерхностью, и найденные, но не приводимые здесь зависимости безразмерной высоты фон­тана от числа Фруда.Указанное обстоятельство уменьшает максимальную высоту подъема свободной струи, со­кращает время, необходимое для достижения ее частицами струи, и, следовательно, значениепериода автоколебаний.

Этот эффект должен проявляться наиболее сильно в области зна­чений числа Фруда, при которых имеет место фонтанирование со свободной струей, что иподтверждается сравнением результатов расчета и экспериментов.Внесением соответствующих поправок в приближенную теорию можно добиться лучшегосоответствия ее с данными экспериментов при одних и тех же значениях коэффициентов n и сдля всех рассмотренных режимов фонтанирования.В то же время и в рамках рассматриваемой теории выбор соответствующих пар значенийкоэффициентов n и с для каждого конкретного относительного заглубления р может обеспе­чить не только качественное, но в значительном диапазоне значений числа Фруда и вполнеприемлемое количественное совпадение результатов расчета с данными опытов, приведенны­ми на рис. 2.Однако наилучшего совпадения экспериментальных данных с теорией можно достигнуть,если при р = 10, 20, 30 и 40 выбор коэффициентов n и с производить отдельно для нисходящихи восходящих ветвей зависимостей периода Г от числа Фруда F, а при р = 0ир — 5в двухразличных последовательных диапазонах числа F.

Прир = 0 в первом из этих диапазонов сле­дует использовать формулу для безразмерного периода, соответствующую случаю ho + h < 45,положив в ней с = 0, а во втором диапазоне — формулу, справедливую для ho + h > 45, ноопять же при с = 0.Результаты расчета по описанной методике показаны на рис. 2 сплошными линиями, ав таблице приведены значения использованных коэффициентов n и с и соответствующие имдиапазоны чисел Фруда.Номеркривойi1рho=тДиапазонзначенийFКоэффициентпсДиапазонзначенийFКоэффициентпсFi02.5-6.55.006.5-189.70252.5-6.57.50.96.5-259.602.03103.5-5.201.75.8-289.20.42.74205.5-8.801.711-328.40.64.25307.5-1301.713-347.60.85.76409.5-15.501.715.5-346.81.07.3Анализируя факт хорошего совпадения расчетных и экспериментальных зависимостей,необходимо пояснить, в частности, почему при р = 0 во всем диапазоне чисел Фруда оказалосьвозможным полагать с = 0.В диапазоне малых чисел Фруда при ho — 0 затопление h весьма незначительно и сущест­венно сказываться на периоде автоколебаний не может.