Белова Т.И., Грешилов А.А., Пелевина А.Ф. Дифференциальные уравнения первого порядка (1989) (Белова Т.И., Грешилов А.А., Пелевина А.Ф. - Дифференциальные уравнения первого порядка), страница 3

. Будам искать резекне, дантсго ураиииния кагалом Лагранка. Рассмотри" ~ ссотзетствумлзе денному уращченим однородное уравнение у'-~и Ч О: или х(уЫуях~а. г ' Разл,хпс переменные ая -Фд- щ и интегрируя,: неладна общее ф 1 „,„„с. Уа,» 7 „, ~ У 4) ~ ~~~,( ~е ~где е поотскнназ) однородного уравнения.

Будем искать реаеаие линейного неодв- рслисго ураппснзя з таком яе нида. чте и ренеяие однородного уразпс;п1я, полагая с=ах), т.е." а ьтхдж -Ф '. Обставим дмрйе- рзн'1зсеьнсс 'уравпекзе .ци нахсидения Ф4. для 'этого у и у' под- стсзтм в хсхоппоа уранзение у~буяях+т)з+я(х+ю)сщ, с~м. "~' гс ю;:замй-'Й- е 'а с ГЮ=е' зщ1 Мг(х) Е' от, интегрыруя, получим Фя)=~аз~~е, 16 Находим общее решение ум(х»т)»фе»»с), где с - постоянная,линейного неоднородного уравнения. 2. Полагаем у=н(х)п х).

Найдем упио»он и подставим У, У В данное урагле«п»8: и'«т и'н- —,н«т= 0 <х т), и лч' (5.9) и и + и(н'-ф,) = е'"(х+т)л . Функция н(х) может быть выбрела произвольно, ноевому опрелелим ее из условия, что И'--йу- =С ЩН- — Шх-О тн ««н 2»тх х+«» х»т » и х»т Интегрируем уравненне с разделенными перемеынвми в возьмем ненулевое частное Решение а«х)я(х»т)з. Подо~вены и(х) в (5.9). ПолУчим дифференпдпльное уравнение для нвхоыдения функции о(х): и(х)(х+т)е-Еьл(х т)«. нли Мх)=.ЕзЪ Мх)-4е' +с, где С - достояннан.

найденные н(х)и «т(х)подставим в (5.7). находим общее решение: у=(х ~)'(фе' +с), где С - постоянная линейного неоднородного уравненив. ((гчмйп 5 2. Найти частное реюение дифференциального уравнения ) «+ усоих ИСях.сотх, удовлетворявшее начвльвоыу услоу(о) =О. Решеййе. у +усотх вснх сотх - линейное ыеолнородное двфференциельвое уравнение. Ппя нахожденвя решения применим метод вагранка. Найдем сначала общее решение линейного однородного уравнеквя, соответствующего даннощу неоднородному: у + усоях =о, — „--соил,)х Ыу Интегрируя, получим еаа !уl=-н(з«к+ю«с=> у,=се л«а -общее решение однородНогО уравненнЯ.

Общее решение неоднородного уравнения будем искать в том же виде, что и однородного, только произвольную постоянную будам считать уже функцией'от х . т,е, в виде У=С(х) В дифференцируя левую и правую части, получим у'=с'(х)е ' ~-с(х)е шах«)отх. Подставив у и у' в зацанное уравнение, будем вметь сух)в '" -с«х)е ' сот хто(х)в ' созх-з,люссзш Отсюда сух)е "" =з ~з»шзт, суш) зн«х ситх ее ах. Интегрируя с(х) = /е к *тньх еатс)х (и=я т > с)и=осях«)х «~«е~~сотлтсл, п ы'и"), цолучвм с(х)=соме о' '-/е~тсотхссх +с =ло«хезоьш-е т 'л «с. Общее решение данного уравнения: у="(с "Бн«х-~)е™х1а ""*,ылв у=со-зо т Найдем частное решение. Подставляя в общее решение начальные условпя у=о прв х=о , имеем о=со "' о » за«о - ~, с=«, Находим частное решение у= Е мат +ятш амбар «з.

н,1,р а 1 фп.те, что мишень, облученная нейтронами, становится радиоактввной. Пусть стабильный изотоп 4 при облучении в нейтронном потоке превращается в радиоактивный изотоп В . Скорость накопления в ;»звени рапиооктывных ядер определяется скорое~вы их образования б» (ПМ», 2. где ()) — нейтронный поток, нейтрсн/см ; 6, — сечение захвата г с«роыоп пдрохш 4, см»; Л~» — число нераспавшихся ядер 4 . Ско(ость распада в мишени радиоактивных ядер -Л. Уа, где дй — число рсдыспктивных ядер В; ьв - постсяныая радиоактпьногь распела изотопа В . Опрепе ють Зсппсншссть числа ядер В от времеви облучения 2 пологая, что до начала облучения в Шишеии были тольке ядра-изо--- то"а и коглчестве У» Решение.

скорость изменения чиода Радиоайтивннх ядер скла»п«веется из скорости ых образования из ядер 4 и скорости рас- . пада; ='~л О(У» — Лв Ув(В, (5.1О) ,«„(о) О « '",.„(5.11) 16 Лифферояциальное уравнение (5,10) решается путем подстаноэки 'тл=им' . Находим решение дэфрзренпнельного уравнения, удоэлет- эсряьэ(ев условиям (5.11): Ф (г) ("у е- е'и) ~~ Рл4 е Приь(ер.5 4. Найти зависимость скорости тела массой хч, бРОШЕННОГО ЭЕРтИКаЛЬНО ЭНИЗ СО СКОРССтЬВ Ьжж, ЕСЛИ СИЛа СОПРО- тиэлення воздуха пропорюдональна сноростя с козффшциеятом дро- порциональности К.

Рассмотреть также случай отсутстэны сопро- тиэленкч. РЭййййй. Уравнение дшжеяая тела, согласно эторому закону Ньютона, имеет эид: хя и' гнр — кп., ~(ау= и.. (5.12) (5.13) Решекэе ураэяекэя (5,12) с учетом условия (5.13) есть ~,й) е-Дй,, ж|н Находим решение ыетолюм эерэшхэи постояыыой или с применением подстаноэки ю уы . Если сотьротиэление отсутствует (к=о), то Ра трь.

Дэймер„5 5.. Определить силу тока в цени, нмзтэ(ей сопротивление /.' и оамоикдукцию х. ( Е н Ь - постоянные), воли известно, что под дейстэием злектродэээущей силы Е=ЕЯпри постояннах Г и 'А эоэнэкэет ток 1-ь(г)и опраэздлнэо ураэнеяне ЕИ) =Ус® "Ефь где ь - эрмья (незавнсмзое переменное). Решещй~. Считая семоиндукцню Ь не раэыой ьО'лю, макам переписать уравепне так: Фс д. Е аГГ ТП=Х ' Отсюда видно, что неиээестнан функция суй) (ток э цепи) обязана удовлетворять линейному неоднородному уравнению, где козКшциенты жо, Л - постояыяые, а Е - заданная функция времени Е Решим зто ураннвдие э частном случае, когда Е сапа~.

Предполозим, что элвктродзик)щая сила (постоянная) включается в цеэь прэ хже и начальном успении й=п ь другимн слоэзьи, при отсутствии тока в начальный момент н цепь эключается постоянная злектродэиэушан сила. Позтоьту качаюное услоэие имеет эид не)=е, Решал)ь однородное уравнение ЩЩ~ф фь)1 е, получаем Ш)=се -х. 15 Применим метод варвапп1 постоянной. Счьн ы с ссс), находим (ас(фй) =('Е 4~ ~ е ' х Отсюда с('Е)= — Уел й с, Е ~Е) Е ,вЂ”Э ) С ~~,,) Е е где е - постоянная. Оледовательно, общее решение исходного урэьлжпзж ныэот зжд цх)=(С - — Е ')а Г=> щ=СЕ .~- Е Е О Подстаыяя в общее решение начальное уолоэыэ, пслу апь О~С .ЕЯ, С=-Е)й, НаХОдИМ Чзатнсз р Пжннз: ЕЙ)=Е)р-!е)д)е ~~я''~, или ~й) = ~Е:р~ш е оь " Отметим, что найденное частное решение неолноря„кого урэппенан состоит нз суммы двух слагаемых е~р~('-е/щ)е ~~'к~~ . Первое нз них - частяов решение неоднэр дассо уржюкнпя (с друьиэ начзльным услоэиач, а именно ~~о)=Епа ) з зтжроа — чьютыое ре- шение одыородного уреэяевоа (с наталья зь услоэзэж ..'М = — -'ур ) .

Второе слагаемое прм Эозрастаннэ Сй >е> стра..:нтэя к нулю. Поэтому полученный результат имеет отчетливый фнэнчсэкнй сырел. 'ви г:=-е Сэда тсиа у=с; ПРИ ЭОЭРзстакны У СОЛЖ ТОКО ж'Е) бпотРО ПРНбзн- кается к постоянному нянчению г®=Е4' Оизьестноцу из закона Ома), однако при ыалпь с сила тока ь~Й) опредеюьетсн рвэоп твои йб=~йа)(.-е <и-~ ) характеризухяньм переходный процесс. Цщхе 5 ~. Найти кривую, кзкпае касательная которой пере- секает прньую р=л в точке с абсциссой, равной удвоенной а 'с- циссе точки касания. Решение. Нозьмем прсиэволььгую тещу кривой А с коорпныата- ми к э у (рис 5). Уравнение касательноы к кривой в этой точке будет иввть-энд ж =н'(Х-х), где ( и У - теьдщэе координаты касательной; я и у - коордикатя любой то апь крээой.

По услоэкю задачи Хж =эх . Координаты тощи уу поресеченкз касательяой и пряыой р т удовлетворяют ураэне во касательной. 19 Следовательно, т-с = сщ или хУ р = т. получили линейное диОРере~п1иальное уравнение, его резшнив ~' = т ь сух . ' У -ф= к,Ы'х,й, Р(с/=дв. Находим частное решение а=('4„+-л)е'" — -„~ с 6 6. УРлБ)Н)ИБ Б)И11)' 51 Рис.5 ° ю~ц ~.?.

н ЛЕНИЕЫ Р ПОДаетСЯ СИНУСОИДВЛЬнан д))С. ЕЯ~=Е Л,сют. Онрвдв лить силу тока в катушке в ыомент й от начала вклшчвния д))П. ~ешвзуее. По закону КирхгсФа, 1,» " ~ Ф ' = Е,.т '» ы т, с (о/= с (5.14) Решаем дирререиаальное уравнение, полвган Ж =вЮ с~т) Находим частное решение Е гс с%= —, —,— т(в1е " '~';, й.аь с 1) П ~счи Ппшз~еп 5 8. Гттественный прирост населении большого города пропорционален количеству кителей и проыекутку врсисни. Кроме того, население город" увеличивается благодаря шаха|грации: скорость прироста населения этим путем пропорпнонсльна времени. отсчитываемому от времени, когда население города рвано,4, .

Найти зависимость чвсла кителей города от врвпепи, обозначив ноэйдкчивнты пропорциональности для естественного прироста и длк шыыиграпви к, и к, соответственно. Решение. Обозначив Д количество антолей, пояучаеы загачу с вачаиьяпм условиеы: УО рЯ=-~ —,Хх сеь ( и=йх, туы х, тщ'= х1 и с'=х ) 81 уравнение Бернулли имеет ввд у'+,с~х)у =С(х!р", (6.1) где функции С(х)и ~1х,) определены н непрорвзнв з интервю.'е (а,й); я — действительное число, отличавшееся от О п 1, так как при «=О и в=т уравнение (6.1) обращается в ~ ывжое уравнение.

Подстановкой л=р ""уравнение (6.1) прпподщся к лино.'апльу — л'+р!х/л =с)х/ ОбЩЕЕ РЕШЕНИВ ураВНЕНИЯ БвркуЛЛП (6.1) Ьтпет бятЬ Насдснс МЕТОДОМ ЛаГРВНИа (ЗаРИВЦИН ПРОИЗВОЛЬНСН ПОСтХСПЩО.'.) Пьь Псцотановкой: р = иЫ~ и-(х/. Пййййр.6 1. Репщть дифференциальное ур-щ иж х, ~~ — „.гДх Решение. Имеем уравнение Беркулли, «г=з 1-й способ. Преобразуеы данное уравнение к ьпду л — +.— = бз~ х.

ут Подстановкой в=у ' приведем уравнение ьерьул~ш к лпнеьиоьу. Найпеы н' -у тв'и подставам л, л' в дв п1ос уравнение. )51ееь: линейное неоднородное уравнение: з хл ч хйх или и — — = — х Рассмотрим соответствушщее однородное уравнение я -гы =с, его общее решение н„=сх . Будем искать решение неоднородного уравнения в виде и=с(х)х. Состввиы лиКеренциальное уравнение для нвлоидения с1х): и'- сН) .Пт) хсух) .сй)-сХ=-~З )/ ис(хl=-(Жьт~' ' Интегрируя получзм С /х ) г г» г дг» га.' или С г'х) = — — —,С л»х д У Находим общее решение г оггхг г 1 л=к( гс) г=»агт г сх. => — =А» т"Сх нли .Ы л.