Белова Т.И., Грешилов А.А., Пелевина А.Ф. Дифференциальные уравнения первого порядка (1989) (Белова Т.И., Грешилов А.А., Пелевина А.Ф. - Дифференциальные уравнения первого порядка)

, ~.~'„~~ Рсоударотиеипий комитет СССР по иародпоиу обрйасиадии т И Г иа, а Ь Грешков А й Пеиаиииа ЛИКИ'ПППИАЕЫЫК УРА%ЕЙ ПИ'ВОУО ПОРЯЛИА Петодюческие указааин по курсу Зисшап аатематика" Под редатцкей А Ф Пеиеааной Ф 6 а Э 3 ~О т т Издательство %ТУ ХМП л з' Фа ет ю Ф ~а х Ю~ Юе а е; Редпщ(ня занззной литературы Тамара Идьщщчяа Пелена Анатол~» Автспопнч Греимлов Алла Федоровна Пелеввпа Рпо.й з МММ й».ЗИ, 34$ Панова Т М., 1ревпноп А',А., Педеввна А.Ф, )»язферещвмммщщ уравввпва первого порядка. Метод.

указ. / Под ред, А,Ф.Пепе щввьй. 'М.з Мцн по МГМУ, йй»9. - 34 с., вл. ИИМ-'МЕМ-Ож-1 ' раобнотревн методы ооотеннеппп резлнчянх д3фферзщжадьннж урзящепнй первого нарядна во Фпзнчеоннм усдонням зедячн и споообв Прз)пцгщачено для студентов МГПУ нмЯ.З,Баумана всех опецяРецензепт П.С.Громова ДиФфзреюпщдьнне урвппеща первого порядна ' Эанедумьея редакцвей П,Г,йовалевсная Редюстор Е.О.Мввпквна Мор»затор Л,М.Мзлвтянз подзщозно в мчать )»,1»,пй„формат 00хрОЛ6. Бумага м)овтнзя, уод,печ.л. 2.»о.

' уч.-ззд.д, 2,04. тираж 2000 знз. Щд. » 71. Мзпвв Ф ~ '~0() Ьзсязятяо.' Мздатедьобэо МГГу, тзпогрм)мя ИГ(у,. 107005, моспвз, п-б, м-я зяуцапсная, и. Обынповенпнм двфферящ(падьннм 'навязав~ зазнснт от одной неззвпсйвой перменщой хс, неве Мух) в ее производных у', р / (.т р у~ Ри уев) у .(1 1) где' А — действятельязя фуннцзя дейстпвтевьямх с)'айном двфференонзпьного урапненпя назнвеетоя пазмыспв» поря!~он провезенной Озяв двкереяцвела)'нензвестной фуннцпя, зходяцея з уравнение, ревщщем, внтеградщ, дзффереяцв~яьного уревнеявя назщщетоп Ванная р (ей), обрщ(ввщвя зто урзвне зе в тояп ство ддя ясен зваченяй а в д~редеяев,ом нояечном взв бесконечном внтерзеле (а ф .

Пропеос пвхозде д 'Фй фФР ого Ур ° ' тон рр.. двф ферзнндазьного уравяепвя. Рассмзтрнвщеся гдевннм обрезом сбщщо уревнецня, Рззревеннпе отпосятеяьно ста)щмй провзводвой: у' =1(-г, ~, р', ..., рот '"Л (1.2) Гансе двйф~рещмаяьное урззнепве первого поря)ща щмет пнд —" = г('х,у~. Ат (1.З) "янаев Мопв (нзчедьзан' зедаче). Пейтн равенне двфферезцввдь ного уравнения (Х.З), удозяетворяящее ващд Х„,г взв Р(г ) Ме (1.4) ' "мстрнчсскн (Рнс.Г) зто означает, что вметая пптегрввьпзя нрв„ зая, проходзпзя через заяапнув точну Кйе, р,). Например, реасннеа уремтенвя р"= гх, удозлегзсрявзмм начальным услозвям у т Ф ПРН Х = О, будет у=,вь ет ямуду к — -у~ Это пзрзбсдз.

ярохОдящзя черев точну (о,)) (Рнс,н). Теорема Копи (а сувеотвоззнвв и едпнстзенностн Ревтния). Аслв н дпфйзренцвельном уравнения (1.3) функцвя у (я.ф в ее Чеатнан ПРОЗЗЗОДНаа ~я (Х, М) ПЕПРЕРПИа з обаяотв Р ссоскостн »ОУ, то для 1~'х, .()ясрсумсс зует з окрестностя точка х единственное Рееензе М ~уф'я) двйфе- резциэльного ураэпэкцм, удсвлетворшсшее начальному условие ус = яа НУ(~ш ЦРНцйч(33(еь Дци сУществовэппа Ренскин достаточно только 'ке- прермпаостн У'Ь,у) в области ' Э, нс при етом' резание может быть не единственным. Условия теореыш Ноюи,являштск достаточ~ммп, Решеэием (часикам решением) дыфферекцишцьного уравнения пер- вого порядка называется любви Фукццэн у=уй4, обршцецщея в тож- дество зто уравыекве.

Общее решение - Функция у ~Ь,с), заэв- снщек от х и' одной'промэвсльной постоянной О; которая дпя любых Е является рекемием атого уравнения и кз псе мокпс найти ЧаотпОЕ 1ШЮЕЯИе, УДОИЛЭтЭОРШШЦЕЕ ЗаДанкйш УСЛОЗИЯМ. уравнение ()Чх, у О, определяющее решение у(х) дифференциаль-, ного урээяенжк как нелинуш функцию м, йаэнвээтся интегралом лпф(шренпиэлького урагиения.

уравнение (Нй;у,4. О, определяющее общее ренские лдфзрен-', ' цкальыого ураэкекая как аеяакуш Функцию .ш и произвольной чо. стояэпой е, называется общим интегралом дифференциального ураэбсобпми точкап дифференциального уравнения (1,3) натыкаются тезке, в окрестности иоторык решение задачи Коэи ке сущестэует или ренские существует, но ве единственное. Осо'ым называется решение дифференциального уравнения (1.3), которое эо всех своих точках ке удоилетэоряет свойству едэкст- эенности. Дйймер $ 1.

Ноназать, что Функция у-ее ' т д~л(е"'), где О - произвольная ыостслкная, является ревепием дифференциального уреаяения у'+гу=э . Рфгйнйй. Еш$ферепцнруя Функцию у бе е' ~/л(6 ~ имеем у -гбы и +)6~э") . подставим у и у' э данное уравнение, -гбл ' +фу(Е')+гбэ-л гз(Е,) э ы Е шй". блелоэательно,у, Ое лш+)де~)является решением данкоге дифферек- ци вязкого уравнения. ф 3. ЛИФЕРЕНННЯЬНЫЕ УРЛННННЙ С РАН)(ЮИПК4(0Я ПЕРЙКЯЙВЙ Х.

Уравнение с разделенншлц переменными имеет эыд 4.(хаак'"НАМУ О (3.Д где уй~, фу) - яепрерывпые" функшпи. Мнтегрируеш его и находим общий иктегрел: .УУЩЙ+ффФу ' О или Уучхх)Ыш+~'у(у)с(у=О (3.2) ле ', уь . Ясиыйй 2 1.. нейтн общий интеграл урапнения махфмАцу=О и интеграцьнуш кривую, проходшцуш через точку (0„0). Рэшеейпе. Но формуле (3.2) находим общий интеграл Ух ггпу+()Ыу=л, илн 31ху ьгХ(у 4$е. Нолэгак х а, ум~, палучам О фц, и уравнение интегральной кризой будет х'фьеск т, 3'.

Ннфгеренслальнмл уравнением с резделяшцвмэся перемекшаш яэзнээцш.'ся уразненпяц лЯл(ууйх+т (х)л,<у)с!у= О или Иу)угх) Куя)Я(у)(2.3) где тЖ, т Ы),Ых) зависят только от х 'лГу) ° л щщуу) зависят только от Уямовэя перэое уравнение на функцию тФт,(х)лиф, второе на ЯгЩ «у)), получаем уравнение с разделенными переменными — ~Км+ — "" . а~у=о т Ф/мО л(у)мд т,(х) ' и.<ы) х ' > (2.4) г4'у ут(у) — = ~Б(Ы Ых 1е 63)м О.

ннтегрируя (3.4), находим общий иптегрзл: Яфгй +У вЂ” фг~у=г, т,(к) О, л~у,) ьО (2 н) / —, =~у,(хая х ~ Яу)ГО, А Фу! ЕСЛИ УРаЗНСНПК т„(ху= О. Л(У/=О, УЛЩшОИМЕШт ДсйотаатЕЛЬННЕ Решенпа: х а, У =8, Уц=И, — то ФУнкцэи х 434М~,У=ЮФ)ьа), ус=а', 'являясь решеннкмк уравпениа (3.3), могут оказаться осо- быця* Псимер 2 3. Найти четное решение уравнения Еу~м~ф элххх, удовлетворяющее начальн' " у услопзш уУэ~= Б~ 4 Решение. Имеем:уравнение с разделяацимзся переменнымэ ете'""~ф цех(ь, которое можно предстапнть ется (яшл ш(г Находим общнй жвтеграл.н~~~ка»жсйж+б влн Вл йжмтз щлж».л Подстжъщпт начазьннв усмцвтн, ПС ф ам Н~~='-Н»*с, откуда с 6, нзжощвм чаотннй ннтегрвл, щз",йжвлж- ь»лж+у, Пййме е2»3.

Найтв общее рещение уркввення ~6' ул)Фж-.жуй»Х9»фРКС. Зйййще. Имеем уравненке с равделямдвмвск перзмзввмян. Умкожая уравнение на $уккцнв тдЬ»улду лз)д1, хбьо „пслущм уравязяне о разделанквмв первменянмв -2(д-; — -И4У = и Фи~жр Фьул ' Фтегржруя, лолучнм у, -/ фХ, ~'„~'„Л -. Так кек —. зкф жм И»' ' к(утщ9 ж — ' - —; — у»що /':,уды Яй-~б~пвлл Аулу НЗЛОЛЛМ ООЗЗвй ВятЕГРВЛ» жьд 6» б Рблщнве К~с Чзсткбв так кек оно вжодвт в общее рещение урзвпенпя прв .

г и.„,.' Пйзмес 2 4. Иайтк уравкенпе крнвсй, прожсщящей через точлу М('6, л), длн которой Отрезок касательной мацу точкой касаквя в Осьп с)д делвтсж НОпсдзм В точке ПВРесбчевпн с Осьв л)у. ДВОИМИ, Пуоть Р(х,уу- провзвольизя, точка пскомой кривоМ, А 0 - касательная к крввой, А -, точка пересечения касательной с ссьв с'л., 1) - точка пересечаяня касательной с осью др, П Прсснцпл тОЧКВ 1) НВ ООЬ ОЛ .

СИ - утвд, Обравснаппяй Касаат тежясй с полсжжтельвнж направлеввам осн Йх . Русб И', На 'рве,З ф~~б . ЗВРеввм фс( чеРВЗ те)Я6цке коойдвнатк тсчкж Ф СО Тзж как /ВИН), тофа — "„, но (уь" Д,Ай=Яр(по условвщ), 'поЗтску А1) lж/И АСюАО+Ю Лж, Сж р . СжздскатЕЛЬНО, ус=-И- - лиййервнцвазьнсе уравненве первого порялка с разде- лж лнкщвмпся перемзнщащ. Разделам перененние з прсвнте рвруем „ГаУ У4Л .

2~) )- т~,~ ~+~~ИАДВЛВ Р' СХ - ОбЩЕВ Ремз- лж 7 вве пслучейвого двй1мренцвзльногс уравнеявя, Из семейства 'интегрелыкк крввяк Внделвм вококув, т,е, прсходящув черве почну )6116, лу' . Подотавкм кмй, Ижл ' в ' общее ревекке Оста п пслучвм. Р т, Следователько, урепяезве псксмсй крввой имеет ввд Р» .ж. ,м Прйййр 2 б (о распзде радия). Скорость распада прспсрцвоназьва палич- бй)т НСЩУ, КВЗКЧеотпу Рвднп.

Известно, что Рвс. 3 половина первоначельного веласа рзспа- дается по встеченвв 1600 лет. Найтз, Какой пронзят сажжстсж Рзс- невнпмся по нстечаязв 100 лзт, Ревете. Пусть щ - колпчсство нераопбй)ьегооя радея в момент времекв 8 . Сксрооть:ркщзда — прспорцвояюьна П . Тогда' ай мж ФЕ ЫР щс -- =кЫ, где к — козйрзцпент пропореопыьясств. Стсвда — "" " -" "к~лг. Следовательно, Ж)Н)=кт»с. Пусть пзрзсяачальннй зе-сс радзя есть к» .

Подстаасчя С б, ду-у„„нахсдпж СВР»=с, подстзллкп яайдеиюе значенже г, полу- чен ~чф=ж~, По услсзню запжчв п)щ 1.=:ббс, П .Ийс . Тогда Дел=у»со, * СЛОДСВВтелЬНО, ж — тась, ПсетоКУ СОВ Г»166' бУДЕМ вмть А-Й - —..тсс ъ-б,Олпу „Отк~а-И-= Пзжб, Нто говорвт о а» )йю ' " ' » тон„ что со встечекви 100 лет 95,8)) веласа ссхранвтся, а 4,2И рас- падается. Ю»»»Ь6 а~ь»» й» ю оредж пнзмзает замсдде~ле, прспорцзонельяое скороств днвжевпя. ьОтсрнен лодка дяжжется в мсмзну Остзнсзжз мото)ж1 сс сксрсстьв ЮС ьАап, а через С,Н жя - оо скоростьв 100 м/мвн. С кжсй ско- роотьл Опа будет дззгатЬСЯ ЧЕРез 2 мину Г(ИЛСС1(ВЕЕ. Н задаче требуется ОПРеделвть скоРость лпяжснвн Лсдкз как Функцюс вреисяв: ))-~'И), Пс условна задачв взменеже скорсОтв лодка, т.з, ускосбязе а, прямО прОпсрпкснельнс Оксростн давке впя ДОлжж: а =-жи.. (2.Н), зяий ъювнуо" указывает ка то, что усксренве а азмзджкзт дввжв» . —..Й; т ур вненве (2.0) вржмет ввд ИИ=-ки- '-' ' ЙФ Итз ЛмФР ' нс ур с р Д .

)Ий И УП(П'=-кФ=жяп . Илтегрвруя, полним 4~тг ".КФВ4ьб. тг Сткудз. )г-Сн "О (2.7) . Пабдеи рс пачелькс и п дссслщтельиоиу условпям зкчкчи д в ж . , Йвзотнс, ч;о на Всъяаз скорость дтлжснвя лодкп была 2И ж/мкн, а з жсмект зрежепк С=Пбсостазляда 100 м/мзи, Первое пз зтзх услсзвй срсзсдзт к рссезстцу ЛОО=ГУР~ , Влк С=й® Псдстсллля теперь с урззпензе (2.С) зяачензе .2=2ОО п полагая г--д,у;~ ~со, сс.