Ковалев Я.Г., Киреева Ю.Г., Лунева М.С., Тесалина А.А. Определенный интеграл (1987) (Ковалев Я.Г., Киреева Ю.Г., Лунева М.С., Тесалина А.А. - Определенный интеграл), страница 2

Б и -с-ру и Б = с7 (Рис.г) ° Решение: решая совместно ураиаения заданных линий, находии пре- дела иатогрировавия г = 0 и =т, =; . Тогда по прииедеыной вы- ше формуле ~ )л-~у ~.хг Б ) и *лсв а Пйииер 7. Вычислить площадь ыекду параболой у=-х-гх~3, касательной к най в точке ~ГР -39 и осьш Оу (рис,8). Решение: уравнение касэтельноЙ и- о = ч ' ~.л-,л- ) . Твн квк о агг с 9,',=БР -Р)/ =-Б', 9 Бш-ББЯ-Р), или , . Искомая площадь ,'~ -'- Бх "7 и и 3 = /сТ-блс ' ')-(-.я -2х+3)3дх-.3lх-ос Ф)сух =М 8 с о 3' Рвс. 9 Щииер 8 Вычислить площадь петли РисА лаана х = 3Е (рис.9) = Зб -б' Эта кривая - петланая перабола з ~ Раваанв: ПОЛаГВя Ы = б , т.в.

3б - й яш О , ааХОдЫЫ б~ = б бг - и3 , Это и есть пределы интегрирования. Тогда г3 Ю ,/3 ,у=3/ /3Б-Б3)БЕ сбб =— Х В авда упракианий рекомендуется получи~ь урзвнение петлевой параболы в декартовых координатах и найти площадь петли. ку. Вычисленае пло и о с вг ы в поля ны кос ипата Пусть дан криволинейный сектор ЛбЬ9 (рис.10), т.е. плоская фигурзш ограниченквн линней 48 с поляраыи ураннониеи „Р =/зг9:г в двумя Радиусами-нектсрамв Оч и ББ . площадь етого сектора вычислнется по формуле и Ф ра~в ш у -/ /РГу>/г/у.

П1™сей 9. Вмчислить площадь сектора, ограниченного линней Р шбу (спираль йрхииеда) в двумя лучани 9 -Х м Х (Рис.11). Б л 3 Решение: по основной фа~нуле ~=г./ гБУ/а'/= — "у3 ,л/Б 3Б Тогда Рис.10 Рис.11 ~~др И и. - - ° ' е'в' Р"с'""'""'" '""" окруккости,о '-' — ЗгЗ 'л у и одяовреиеыяо внутри кардисиды ~о =3~И сего) (рве.12). Ревекке: кскоиая плоладь У = У, ~.ре, наладив пределы иктегри- ровоккя, рел релая соьиестяо уревкения аадавкых ликии: к3 5 а у'= '~се'5у*, «У» 5 'т — сот = есот -~- -.,'(: т — - ~)=б аг -л = а — = +лЪ, о=у „.Як, осу-''Нул гг — - оЖя = Сладователько, у = У Следоватальяо, ~ .,у . ьогда у ~3 = и л Л~З~иг~) а д',~' = — /с~;7~'сюууЮ / с(у' е П " .т4у и исковая плоиадь р рг ыае11 И" Ф~Р Р ~ УР кардиоиды р = 2гк ст ~ ) выие правой эс+2ч-г~ = б.

Решеяио: ископав плопедь 5'=.У, Находки отдельво / г ~г(~ ссгя1 ~у= е.ь + 1, с"~ыс 2 о ~л ыеы г~ ' Ркс.15 Рвс.12 яе. Вычисление объеыа теле все~ ения Если криволивейнея трапеция, ограяичеявая ливией двуыя прякыыв .л = ~ и =с= О крякает в (влк вокруг Оу) (рис.14), то ооъеыы тел вревепия выракеытся соотватствекко рорыулаыи 7 ут =з~у5~куг2х=Щ "~х)сух; 7 =лх/.лу,'лс~х = Б/з угхих ясли ке крвволквакяая трапеция, огракичеккая осью ОХ, двуия пря- ИЫКИ ~ =а В ж =О' И ДВУИЯ ЛВКВЯВВ ~,,=,К СХ1 И Ы, =У, СК ) припев Д~) в ~ ~ж! (рис.15), врецеется вокруг Ох (или вокруг ОУ), то обьеиы тел вращевия ьыраиаются соответствояво ьориулеки у~к=~3 У~(ЛЫ ~~ ГЫ)2С(Х РС =2~1 ХУ~~ГХ)-„г~~ХУ1С'ЛГ ~ф) 10 11 В тои яа случае, когда уравнения соответствующих линий доны в надо о -.»г»р) » э вращсаиэ совершается вокруг ОУ (рис.16), объоиы тол вращения выраиаются формулаиа Й «.лХ~4'~ г~ »~ «~'.I /~л у~- т ~//4~.

/« ис. ««тъ«ШН «» обраэуамОГО ъРащеанам фигупы, огРани- «'А чаннов линиями т=е -Р,.х = ' Рис.17 / « д, вокруг ОХ (рис.17). г Р Решоние: полагая о=с, т.о.е -.с=О, ааходиие =Р гх»»,,Р, щ- — г~.,р. Тогда »/ =. » / г.щ.~»„К./ («» ~- 5 с(х = 7( — -Яе /-ЛР«2). 1».«»», »«« г »«, ««««-~»«« =», =» вокруг Оу (рис. 1э). Рашенио: точки паросечення параболы с Оу дашт пределы интегрвровэвин ~~ = , у, = ,у = 0 у = 6 . Иытагрированиа производится по паромонной , поэтому находим х = г»б', 7-5. Учитывав симметрии, ,х' »7 получаем 3 Р ОО о»~К»~/»-// — (У -~// (~ = —,-.У/ о нредлагвэтсн этот иа пример решить по формула г Р' = ЛХ/:щ-/У (х/-7 г.ху/Ы,щ. о в убаднтъся ъ совпадонва ответов. 12 Рис.

1В Рис. 19 Ы»«««»~ «»,, ю „ йвгуры, ограаичавной ллаиямв »/-ашсссг~ , о а ссссу -', , — -» аахруг ОУ (рас.19). Рашсвисс гвтограроъанва ъыпслаяом по ворованной ф ° а для этого яахофйм х', = сс«хм ».х,= Зоях ;»., тогда аолучааы "ф г у ~~; г~); /„~», уУ гс,„..-: »ш'ш Ш*, «..!„..».- тала, обрззоваачого арзщэнием фигуры, ограниченной линиями »/ .х ./, И »/«,х, ~=су, ж»/, вокруг Оу л —-- (рис.20). Рашоваа: ислоаый объои ваходии по формула =2/»/сои~„'(х1 у (хая = о и» Р.Т/х,/(х»;/-х/фъ.

= = Л„/(х» 'г-х )»их = Х Б Рис*20 ф5. вычаолсаио ,вны га плоскор лиана В состъстстъаа с кандым способои ааданин фувхпви полуснам три случая ромовая втой задача. 1. Янйвй йадавв в донврйоъыд коордвватад. Тогда длина ду- «':«х~ », «« ~й шх ~ »ю«ъ» сами ос~» а и.хи» 8, с'=3 «/~+~у,'„/ Мх ° Если иа ливан эадава урааюнааасм .щ' = х'«у/ » то длина с дуги« 13 содор«онейсн шекду двуив точкаии с ординатаии ф, =,0 иф,- 2 (> = /' >4 ~ Гх' > с~и . >), У ? Црв>«ву 1О, йойти длину дуги ливии ?у =л -' ввиду точи«ии пересечении ливни с осъш ОХ (рис.21).

Рево«ие: н силу снивтрив ии«еи « ?? ? >',> ~с„ > н ( я>>с нс 5 ?>у' х -. ч р сгх -2> — х>р«л с« — 6«/х «?>« х () ( «я~с>«(~?~-?Ю>. 2 о о (Х ) «Гу ) =агсу'~ А сбс Ж = - а 64ьтЦ) =-а(б.ь:,>г?.-г;.":~=,'-)«-о:..,': —,с-~„,> Ф Зеиечваио> так как суп с? при Т«~ .

У, н р ~ , то интеграл ллн пнчисгевин Г берви со эвакои «-«. шс. 22 Рис. 21 о и««««н 1 "ю а" " 'и -'>'3 "«(ю н«ин пересечения линии с осьш ОУ (рвс.22). Решение: с' = ~??д~ )73~ = ~1»~г- О~«5 у « 3 -> л»с = 2 ~> «ф-??>>? -'о'ц йрииеавеи полста>(саку ~-г«с' и пслучвеи «23~Е~ -' с22-Й~Й?« —,Ь>>б>~Р~Ч > ) я»с, о, Ф = 2Ж~у~п Я«М7 ) .

2. Линии задана паракотрически )СХ Я» х..., «, „„« ~ --,р;ш-,— з.—, «а где б и б - вначевин параиетра, соответствуиние коннов г дуги. 1 х«а~час ~«осего ~щ««>в. а. - ~ з э Р ~ у = алсос Е от Е = =" доГ, = 2 7 (рис.25). Решенне: с „.. ?) О '- с>согб 5сН ' сЕ 1ч Рис. 25 Рис. 2» с х = — ссл?С и«„>ш в «., ва 8 ~~ 5«вс дв , , с — параиотри аллин Решенное ° с" 3 — ссг 'бз«о б и „- З вЂ” юга с ссги Гх > «, )т,рс ~,лс ..о ', гс) Тогда Уг ?г а К Зс" = —.. УСИ 2 б о ~ с >с' «с' хс и с с~па сслштс = —, .г(б, лб Н(б«ся.~ б) = — ф,с,',;, ~) г угжо,, -~~ ~ 1=ЬГ.а).,б~~,,;, з,>,.

5 ° Дини в оУ ~~ ,венков о = оМ) в полнрннл коору: „,, атс" случае длина?'= ~ .фу=-" -.~- * " * и% д 3",,.',~у'„ -' и Ф '2 Да""т ваикнутув линии >7 ив дне части. Иаитн вн обв"л частой втой ввикнутод лнвлн к квк уравнение аевккутой ливии содаркнт сунну клад рвтои перепоивши, то удобно перейти н полнрныи коордиаетан по рсрмулан .х=,оссы~ , )/- р/»»г р/ , после чего попучзен две уравр'енрчя: Зо и г срывая»о -" ... и замкнутая анния р (»о — ро/сил, "/- ,.

ор .. 7» о,т.е. р =»а ((»сс(г//, а это кардиоида. Дпя определенья пределов интегрирования находам точки пересечения двух динан — прямой в кардиоиды: За -' Фсог './ получаем уразвзние (СС о б, с.ыЫ у '/ саго, с, ~, -' "У . -. ср / Ж ы(»»сссгн(» сж*'~/ а г~р»г»9 р(ры'= "а ( о(».сж(»/ (брр » орос ' ~т с/у=»»а о /(срг — — р(»ррроаг»ч — ) —. »»а о о соо /-сгь е ыр "г"'> '"" а асов с'со р у' Иядно, что прямая с=р»а делит двину дуги кардвоиды попадам.

Сумма дэнн пупса(/ и со() равна за , т.е, кан известно, равна дпррзе кардисиды. ПрррмеЕ2Т. Найти дямзу дуги мек)г( точ- рис 25 кани ('( (х ы ) к "~~(х~,у,) р респовокеккымн иа дании р»Ы~г»уграассф Х»чрнс.йб). резание: пераходии к полярник коордниатвн и получаем ораогс(,.(~гр т.е.„о = а ч" , е это спираль архимеда. Если точкам /(» к м, соответствуют значения полярного угла р»» и )»'. , то длина плос- уб кой дуги ( = Г г огрйг»о»с(~г-(т /' з/(,,»г ( о оч(р/' » /» Чр" » со / си»»//р, Ф з/ / Иэ этой общей Ьориулм аокао яопуч,ртьр и честяосткр, длгку ррднсго витав с|ираии Ар модо Замечаниев если бы мы обратились к ьычяснаппю линзы дуга таках пнчяй как рози ухитка Наскахя, пеккгсгста Есчроргпры то обз.ррукинк бы, что при ровеннв этой аздачв приходим к ввтег)рапсяр которые ке змракаются в эвемангаркых йункпнах, к тон назыьзррыр»н элхвпгвческин затегрелаы.