Ковалев Я.Г., Киреева Ю.Г., Лунева М.С., Тесалина А.А. Определенный интеграл (1987) (Ковалев Я.Г., Киреева Ю.Г., Лунева М.С., Тесалина А.А. - Определенный интеграл), страница 3

Хотя это и обцеязвеотно, пс сзедуст отметать, что вычксдеява двины дуги тонах " хсроыяхы пинай, как эллнрчс, гипербола, сияусоада тскве гррнвсднт в эллиптическим актоградем $6. Ь уяснение пхо а я нове хвоста в кйеррын Если линия, задсанэв параметрическими урчегменнямн х р,х(с') у =у(с), где б -дпвва дуги, врагюется ьокруг осн ОХ, то ппонедь поверхности вращения Р... †. ".И,р("г.»рб» р' где с» и .", - значэккя парометра (' , соотватсстзующзе ксвпсм дуги„ а рг с - дийберенпнал данны дуги.

Еля дв4ррерреняррала ппокадн поверхности вращения имеем о»Ф = РЯу ( Лг(р . упровэнво р/» мохво рассматривать яак боковую поверхность усеченного искуса с обраэуюкей р/(р и сродник радиусом у(г) . Из осяо(риси теоретической 4ориулн дня Р золучаом рабочие барм)ля два розхнр(- иых снучээв задания упаивення нинин 1. Хииий запайв з декерйозых коорйинзтах учрзвнейзом ч .7р.р.р и вреиаегся искру~ оса ОХ. Тогда .". =гор ор/(т~ »» ( "р рр, Еохв ие линия заране ураикеикем осрж(у/ в вракаетси вокруг оси ОУ, то Рс = Гтх.(о)(~~~х,'')г у '-"7' ррырр ы р „„,,р... рр„р„лч,р,.

пением воируг осз ОХ одной петин диким Уа'у = рх (аг»» /(рас.27). Рааеввег князя сянметричаа относительно ОХ а ОУ, имеет в начега коордяаэт точку пересечения, а с осью ОХ паресокается в точках х,р-а и ос = а . Явное уравнение линни» вЂ” ос»рр "-о г ор»р я 17 для (, гн ааа иноси: .—,=." — '=-,=.—,, тогда а ,— г ,- (а Х. -*/-.Х/(ЗО'-2х ЫХ й дра ."./2"а 2/2'а /а =-а.г' /(сг = Ф радиус направлявшего круга (рис 29) Решение: а" =за(-ага / а/а(з(), -, за(ссгг -ссх.=г 3 /с (х') ~() ') .-. ~~г(2-2(а.

7/а,г( л, г.'с:. и/))-. За (/-агх2/) =/За,ау(/, '=",) ш(ш ')"' -(а~:~~(. г — а(З/(». -У(а.з/)Оа.(/о(Ф/ /.' (а /(/(;а'„'- — аа /х.уг,)Е) (у = '--'а ( Г// — - --- с(/ ///ссг"' /" ,-г г ( - ссхс/Й/(.) - Ы' "а' . — — к а Рис. 28 Ргс. 27 Н/нйер 2», Внчяслнть площадь поверхности„образуаисй воаеанвен вокруг оси Су нашли линии 3ах =-а(За-ш) /познавая парабола (рис.2Ь)). Решение: линяя сяннатричаа относитенъво осн СУ и иисот с ней точян гересечония 2( = а , )(г — За .

Явное уравнение, разревев ное относительно х ';Р/(За-) (о, ) ~ / г г „„г За За '(а З -/('а "2",у /' ' .У ' '" о Згт 2/аф / "с 2, Лидий, заданная паранедряческннн урздвеввянн вращается вокруг. осв СХ. Тогда Р, .гl ~с(~и~гхп' та~~~"и. йслв на врнщенио происходит 'вокруг оса у, то а~,. — .-/";В(~ '7;О,:о, 'Г Нрнаар 2а, Начислить площадь повархности„ образуаиой вращсанеи всхруг осн НХ апнцвнлоидш с дзуия заосрревяняв ) т а(сх/(-(((3// от Г =б до б шр, гдеЛб-.ра- .„1 у (,'уа (/ /хаЗ() ьв ш з принере 2а, вращается вокруг оси Недо вычислить площадь поверхности вращения. '; †,у Решение: Р -;.Х/ а(З(с(/-санЗ() ( с 'г ео (га( о'/ = /2./ь а /'(.

'ссгх/с а / /г// с(а /сс, 3/Ы( = / Ха (- — со/А/- х' ./ Н.;,,т2/),// = =2Ф Ра . 5. Линна, заданная ураийениен Ри . 29 о =о(9() в полнрякх координатах вращается вокруг полярной осн. Тан иан радиус вращения прн атон ревев/о~/') /ат 9', то площадь поверхности вращении ,о РЦ ~~((/)5(а~~~~~(р~~р' ((//7 Принер 26, внчнслнть площадь поверхности, образуеиой ьращениен вокруг полврвой оси правой части кзрдиоидн р:а(/~ с(о /), отсекееной пряной = †"-а в (си.рис.25). васо/ / . Решение: сан а/у с .ЯБ ~~ х О ~ ~/'~ о )9 ,г З ".Сг«г ° С 5 Ч) - 5«/г г С«5 ' /2(/ С Н/СГ ( = (ха ' / гс/г —.-Ссгх 2-.~-2,«гг —.с(/- Я4«г,г схн: 5«а-,сЬ(= а ссх5 «::- / = — '" — (суй-В /У) НПЯМ:-2 27д Вычг',с/гггть площадь поВЕРХнссти, обрззуамой вращоаасы вокруг солнраой оси лазов чести кердыазды /О=с«с/~ха/// Отоспав«Мой Пргагай /г г — '-"- — (Си.рыа.2В).

Реыазаас использул Оаеаоавн,лалучсакиа В ПРгыере 26, вайдам 'су,х ь '' " ' 2 .«Н Х Ваыечакаег если слакать результата првмароз 26 и 27, то получим Р , А — «.' Одсг' , т.Е. ЗЛОЩЕДЬ ПОВЕРХааата ВРВЩЕЫЫВ КаР- дзснды вокруг по/ЗРной осв.

РекамЕНДУетси правеРзть зто насос радствсгггсыы зггчвслепгсем В оагсггхсгеггве рассмотрим примеры на лысгг,сг«ение площади поверхности, ОбрссзуеыОй а1'ащенаем ссстовнОй лвВви, Нсзыер 2В, Часть лавин ы =- /ж' / — и касательаой к неа в тачке пересечении с осьа Ох, отсеченные осип ОУ, праща втса вокруг оси Ох (рис.ВО). Вычислить площадь поверхности Врзща,вин, Реисггиег составлнеы ураавапиа касательной у =-.х; и/А =-', т.е./г =- у .

Тогда уравнение касатВлъВОИ Ойдет таким Составлен линна сссто- ат вз дуги АЮ ' лараболы л отрез. х ке Ад нвсотальвой. Пусть Аг площадь нолерхвоств, образуемаи зращаакеи дуги /7'А , тогда Ркс. УО С,'=.Х4'-~х, Ц~~ ./,( у Г//,Я~,~ с „Оса ьычвслсына интеграле делаем подстановку.х =фс', «/х = — у--с ,т- СЙ =./ ' ' С«гг/Г ' ('/-' ";-/ -. †,'.

†. Предал~ интегрированна по с б" 'гт б =су г Находам первообразвуп (' — '' —,;"- сг(- /; —.'-/ /хс/с/ с«5 г/с/г(с/с'— НО сс /Х5 асс«у / ( с/у ( «Г / сс'/Л/ ' г сс"' СЮ/тг '/ /С: Гу с СА5 ( ' / «ЯХХ с/ ./«ССГ) Г г с"Е /с~~~( ° 5«г«~1, с«/б, -у СХ«С'/ / Ссга У/ ск 55 Г с«ссс / .С сг( / Г /ГЕ / / с/Е ' О«'сс Г схн/ Т сс5/г 2 " сс 5с ' 2' сс«5( г сгс/-''Х ' Оноачательно получааи ,/ ' — -- = — - - —.— -,- — -„м(, Фс(( / (г..

/ Л,АР ' 'г Х/,1/,(; 2 ~ аа5.«( "' сгогг( Ф с/5 К з' сх 5 '/ Тогда = +-(/А. Ы, г/ ~-,Р/, 'С Пусть Р2 - плошадь поверхности„ образуемая вращааиеы отрезке АЯ. Тогда р 23~ (-ж // гУ сб/х =./л/«ч . 'сг Но ясно, что /с — есть боковая поверхность прямого кругового ковуса с радиусов основания /5 = / и образувщей,г - /. , следовательно рг =ХЯ'Хг=.у/«/С . Искомев полнел позорхвость вращенив Гу/Ё с гссгс)г ,/с Л ( « )г ,5 «мм«сг вращении вокруг осв Оу вай ке составной ливии, что и в примере 28 (см.рас.УО ).

Ремеыие: уравнение дутн АО .х =г//-/с , ураввевае касатолъаоа .х =/-са . Находим площадь р/ .Лля етого найдам .х ' = / / ? с'/- /У-с/ . Тогда =с/Г~ т=д/ /А гг «г3./Х дЛ Хр=.//,/ у-АМ сб/- — (б 3-3/и) Нвходвв площадь р,е Ллл етого вандеи .х' = / , г///(х') '= Л . Тогде У«/ У' р -2,/7/(/с/)Йг с( =.ЫГ . Исконна полива поверг(«гость врбщеван Р Р:,~(/2 — У- — Я. — Х б' Сс, гс«с««~ ~р ~ г 1. Вычислать площадь, ограничеывув пареболай ) - Ф-х 21 осью ОХ в ггряыыыи ч =';, г= Р х х 2. Вызволять ппскодь впаду цгпкой ливией у=:-,Ес '" ~е /, осами ОХ и ОУ в прямой лс =а . Отззтг,7: .,'-; — ';;,Е 5. Вы гяслвгь плоцздь, ограпичепвую линией у- аг л', осью ОХ и пркыыыя 'м-е, ст - а Стает: р: а Ы г а -г~ ° Е .

.т а. Вычзолпть плокздь, ограпячаяаую лзчкпяи у . Р , у - Р, ,с-а Ответ: В= 2- г ,, 'Р' г 5'. Вычислить плсввдь петли ляаап ).м = Е - е, ~ ы = Е~-Е. ,с. Вычислять плоыздь одкогс лапастка згеывпскаты Бервуллм '? 7. Вытаскать плокздь часта плоскости, рзсполоксыкой внутри карлпоилы 'з ." еЕ- зз ч ) , левеа прямой а = — ;. — ".',. — ..

бтззт: .Р = о Р ' рбй 3. Вычислить плсазль частя плоскости, располокекяой впутрп кордяоыды,а . " Е- саля'" , правее пряыоп р =- 1 -Е~.'";-,дг'.~, 9. Вычислять плокадь чести плоскости, рзОПслОяеаасй Вкутра окруаяости гз- ы~.ге ч у' и ьве касдксвдыу.-. ВЕг» а:":гг"е. ) Ответа,р: ~ .ЕЛ-. т 10, Вычислять плсяадь части плОскости, располОкавКОй пвутри кардг ".:ды Ег ';У~" ~ сгг 7 и пяе окрукности оз3ечлга у'. 11. Вмчвслить плоыадь частм плосКооти, огрвпмчевКОВ Окрукяостью Ео = б'аа ч' я прямой а — †" †, (аааьвую часть).

ссхгз лс..; Отлет г,р -;вЕб-.г) 12. Вычколкть плокздь частя плоскости, огракичеяясй кардаоидой,Р=: =-' > я прямой Ео-. †-:4'-, †, (меаьцую часть). а:Хтг з 2ЛВ Ч Ответ:,У .- — б. з' 22 15. Вычзслкть объем тела, образуемого зрзкекгеы зокгуг сов Оу Оигуры, огрзвичсггвой лыввпыя у: 3 «а .с,,-;,,ч'г, , '. г: л Ответ: д-. 22 . 14.

Вычислить обьам тела, образуемого врзяекссы вокруг осз ОХ бмгуг, Огрзпвчеввой лапками ~-.лм -хг , .Е= - . Отвот: "~ — . -'-.'.— В 15. Вычясзгять сбьем тела, обрсзузмого врзыекзоы вокруг осз ОУ Оягуры, огравкчеяной ляааяям Е. ~.': гг „Е.

о Е~ с, Ответ: ь = ~ в ~с"- ег 16. Вычаслять обьем тело, образуемого ярз.,спасы вокруг оса ОХ цагуры, огравячепвой ликвяия ': Е- М Г ,.з;-- а , « сг; , " .: . Ответ. и'= 5.М. 17. ВЫЧВСЛИтЬ Обзая тЕЛа, ОбраауаыСГО Зраасаяча Всзрут ОСВ ОХ Фигуры огрзквчоякой ляввпиа м * гс ', М .с '' . Ф Ответ' ь - -= 2. ,зм 18. Вычислить обьем тала, образуемого зрзцеяяеы зсчруг ося Оу йлгуры, ограяячсввой лвкалка ы:-а«ссаг —.,у:агсч г Ответ:, з" -" ФЛ ". 19. Вычислить длину дуги зпольвевты окружвоств х =агссы ° Егг гЕ ) отс, б до Е, м -аслЕаЕ-ЕссуЕ> Ответ: Е'= аей ' Е .—;* с' 20. Вычвспать длииу дуге гвпацаялоадм о тремя ззостреьззыз ("'-' л. = 'а ссл Е ° а с л 'Е, = Ра лга Е-м туо2С Отьет: Р=Иа.

21. Вычислить длмау дуга заицагогоялы с двумя взостреаязмв < .х = а гзаслЕ - галде г, у - а г УлсчЕ -~ба ВЕ) Ответ: Ег= Роа . 22. Вычяслить длину дуга зпициклоадм с зрею ааостреакгьчи лс = ага сагЕ- сагЕЕ О у агбгагЕ г гос~ О~ест: Р- Уса . 25 Вычислить длину дуга апвцвкпоиды с четырьмя зьсстрснпч ыв 1 а-=аЕусагс ссмзму =а ЕХ~саЕ-я',зЗЕу. РОО 12 дуги линни от ~ =б до ~г К упс', р'::Г" ~ ст, .ч"=С 15 88. Условия зз вч оизшвего зв ения 16 ВАДИА 1 Вычислить площадь Авгуры А, рвополояенной и плоскости Кбг. 17 Линни„ огрзяичиивввле фигуру А Вврвзят 18 г, ~-27*, .х-,,У=(~ство ° г), .Л-=с 20 у=оп фж и пряыав, проходяввя через ввчвло ноордвявт 21 22 2Ф 26 27 28 24 Ответ: с = Ф~,'.ч . 24.