Ковалев Я.Г., Киреева Ю.Г., Лунева М.С., Тесалина А.А. Определенный интеграл (1987) (1135784)
Текст из файла
Министсрссво ьиасшс~о и среднего сиеяиваьиосо образовании СС( Р Бесплатно Московское ордена Леиииа, ордена Октиорьской Револючии и ордена Трудогого Красного Знамени высшее техническое училище им. Н. еЕ Баумана О П Р ЕД ЕЛ ЕсН Н Ы И ИНТЕГРАЛ Методические указания к выполнению домашнего задания для студентов вечериего отделения Москва Мииастеротво вискего и среднего специального обрааоваииа СССР Московское ордена деиииа, ордеаа Октябрьской Революпав и ордене Тррдового Краевого Зиаиеии высшее техвисаское Утикиио иневи К.З.Баркова У тае оедены редсоветои ИВГу ОПРДММЛййЫФ ММТЗГРЛЛ методзтееизе Уиаааиия к выпазаеииз доиезиагс аедааия дли студезтов ветераето отдекааия Под редокцней Я.Г.
Ковалева Москва 1987 Предисловие 9 П 15 19 22 Корроктор Л,Н,Мелзтквв Редактор Н Н Фклякоиово Леккыо ыетодзчоскве укезекэя яэдептсв в соответствии с уческыы олексы. Рессчотревы в одобрекы кеБОЗРОИ "Иысвая мето- кстзке" 11.ОЧ,1986г., ие одичоскск кеымссвоп (окультете ОГ О~.ыб.збг, и учебво-методмчоским управлением 03.10.8бг, Репевзекты: к.т.в. Воп. К,А.Головко, к.4..-ы,и. доп. И.л,оодстоз Дзторы; К.Г.Ксвелев, О.Г.Киреева, И.б.дуяезе, А.ь.уесвлвяе ~ О,! Московское зыозео техввческое училища мч.
Н.З.Боуывво Иредвсловоа . Ойрсделовкыя квтогрсл: ОскОВиыо поиятвя~ сзсистВд ° способы вычислезкя 92. Бычвслопие плсквди плоскои Фигуры в деквртовых коордзкетвх ЗЗ. Бычмслекме плоиодм плсскОИ автуры В ПОЛМРввх коордввк ох ф>. Зычиоловво объоие теле вреяеввя . . 55. Бычмслевке илиям дуги зласхои лквкв . . .
. . . . 16 . Вычмслокме плокэдв поверхвости Врокекив , , . 59. Зедечк для самостоятельного реиекия 58. Условия эвдвч домемвего аедеимя . . .. , . . . . Зеков?Ф~Я Объем 2 п.л.Л уч "мод л./ Ткрек 1000 вкв. Беспле*по. Подпиоеко к печати 08,12.88 г. Плач 1987г., М 157, ХвпогреФЗВ МБЗУ . 107005, Москве, Б-5, 2-я Бвумевскея, 5. Главная пель даккых иетодвческкх укваеквИ вЂ” океееть пскось студекту-вечеркоку прв Вкполяекик ик сеыостоктелько доыеигого воловик по геометрическим пуклсвекивы опроделевкого кктегреле. Б каково иэлвгезтся боз домеэетельстзе освоввые теоретические сведеквв, отвоскыиеся к теме.
Долее пркводвтся кеобхоккмыо Формулы, дептск укезввяя к их првиококиз и рвсовотркзветск кв примерах прмяевевяо этих боркул по кеидоыу тэку ведет. Зыполвеяве доиеввего эздеявя требует от студевте зяеккв элоиевтарвых рузкпии, уреввекки крквых второго яорядкв в декертовых и полкркых коордкветех и в переыетркчоскок Форме. Я. Оп"о'елавкык мвтег ел: осксввые повктм свокстве К псвктиз ОпределойкОЗО мвтегрело приводит РВссмотревве рвэлвчеых эедеч геометрия, Иыэвки, техвмкв.
Просторлея вэ кех язлкетсв эедече о иычмслеккм плокедв кркволивеякся трепепик, т,е фигуры~ огрокичоккОЙ грефвкси Купкпки ф "- /слгд двумя прв мики х =а в -с = б и осьз эбописо ~рве,1). Рос. 1 Основевио трапепии разбивается на ~ влемевтарвых отрез- КОВ О.лк 1 ВЕ КЕКЛОМ Мд моторки В тоемох ср берутск эяечозмя ~~х ~, ссстевляетск иитегрельиая суике О -~~ к' к:г З ив~ ° о- -.«: ». ° -1<' зсзыезетса срадол, и нотороиу стреиатса интегральное суыыа, ног лс с,.зоольвзя вз длин алеыезтзрзыл отаоаков разбиоывя строынтсн к сулю: а ~гцз,/и: 2<О.;</<х ),х а ' хахк" б а=< )'ооыотрнчесии а ~ждсленыып ыытеграл есть <с)ощаць иреаолынсйной трапеции .5 ., =,/ /<х)г<х.
а с)г! При этан прела»алзгзе<тсн, что /<х) - ы<ункция пеарерынная. пз йеззчоснил задач отыетии оледуюние: 1) нычнсленво рабаты пераыенной са)п<, ыодуль которой ренан /<»), а направление сонпедзот с полоаатольныи напранленнои аси О);: »)= / ~,))5) «5 , где интеграл боротан по пути; 2) зачисление пути, пройденного точной прн нераанаыораои дзиеозка са скоростью, модуль которой ранен 5<1<)< а = / '7<<),<г где интеграл борется по времени„" 5) вычисление вассы неоднородной материальной ириной с лныойпой плотностью /«5) < /<' = <о ))<5)с<5 , где интеграл 5<резон ыо длнас ПРиной Оыз.деленный интеграл нзтодитои по цюрыуле ньютоне«йейбнипа / /<х) 5 х = /7Ю) - «<а) „гдеК<х) - перзообразпая. Основные свойства сп е еленного антее алз /б//<х) -/ йт )» / <х ),)<< Х:./ / ~х)<<х»,/~ <х)<<х»//«Лих 2 <с~)х)«х-<',/ <<х)<гх, 5,/5<х)<г х--б.
а а 5, а, ») о Ч "/<х) 'х --, Г/<х)«5. /Г< ')ахи< ')« '<//<а)а'х //<л)«х а „б' а <г „8 < <х)</х -.б /<х)» б а / /«х)г<х б //х)лб. а а д 7../<х)<<х»/ у)х)ах а))" ./< а а а' и ~ ///х)«х </ //<х)/г/х . ч //<х)«х»///ю<гс=')Ю)сл. 'а ~а а а А 10. Теореые об оценке определенного иитегреле »»»/ттх)ах ' /ттх)/<а)аХ < ИЛ«<х)а<х г<)" Чтх»б, а а а — Нааизвзвао, З <") - Наибапвисо апаЧЕННЕ С)уаиции /<со)НЗ)а .:~ еореиа а ар~инеи значении / а а Оаа НЕ Н Чаотааи Свуиаа о < /<х)а<х=/<х)<6.
а) . а При вычвсленни плоиеди криволинейной трапеции следует особое нниианве обратить на снойстзо 6, соглзспо которому определенный интеграл рзссиатриваетсн иан величина злгебренчоокая) есле /<х)»б яа /аг, о 1, то площадь выест анан плюс (сы.рас.1), осли не/<»х)<б, то площадь ниеет внав ыинус 1рнс,2). По нак величине геометрическая площадь в оббавл случаях нычвслнетсн по рорыуле Я =) „/,/<х)<<,х~. йтиы не праавеои рузанадствуютсп и а тон случае, когда рупнция <<х) на, <г,<)/ не ньлястся зноноаостоннной. Тогда выпадет точки пересечение кривой </ =/«.)с осью Ох ~ила соответственно крнзой ж=рг<у)с осью ОУ)'ы не тал отреанах, где„/<х)< б 1нли соответственно ч<«/)гб надо полонить /- /<х)/ алн соответственно ~-У<,7)1. Рас,2 гчХ а„) пример 1.
Опредаленный интеграл /дс)тха<ж »-аа5/ »-4'-))=с,' а Ю но площадь, огрениченвен нрввой «<5'аХи отРазкоы/б "Х/оси Ох, .Ф г„«<, а «~ ду 5'= /5 ~а<х "<»-5<'<гд'сь)<»-сагх~ »сс>5л."1»-/-I-</,/)«/=г< а а гг приыер 2. Определенный антеграл /<х -5а г<ах)«х.-р-<, ао Олоцадз, ОГРаавмаяаоя ЯРвзойЯх)=.хп,;:- г,хя з отрезаем 1 ", 3» осм ОХ (РМ0.5) ,5" - /~'.х"; т х ~ б:О ы л.
з ~ - бхс схх ' б.я /О( х' -" 3хр ' я Пмммслмть ' МОР-.з: ~~1.х . 3 Реванме' прммевмм годстаиозяу л',уюигб, сг х =,тсзгбсх г . Изменение ОРодозсз ВнтегРВРОИОВВЯ1 сс б 3 Ж' 4 б ->''~ ' е говда~~Я-.х'а Х,~~И-У Ох 2 ЗтсС~йб = Р ~ '~ СЫато1 = = ~/';, юхОО)сгб = Р.й рхлрб) (О = РЪ. Йа ат"ого прамара ванно, ято переход н перзосбразаой хм -.."'(ы 'р +~ь:МА) от б я,х правая бы н слсаямм траговомстрямаснвм праобраасзавмям в - - ° ° ° ° й.а2яиа 1, Йонгеямое мвтегрврованве - зто првмеаеаве свойства 1.
2. датогрвровавне по частям: д иск= и-6/ - /' О"О!Ос. у.д- рдей м д Ьм. Пусть дзя ваяисновая определавяого внтаграза нредаагаетоя подстовозяа х -.Ьтй, прв зтом предпозагаетоя, Вто змпозаевм озадумхма усзсзая" а) бувкцмя Ит2) - одаоааамвая, ВОПРОРмзвея я двеберавцзруе Мая» б) буанпвяб'-~дй4- Вапрермзнав", з) чнсзсзнм зяавемвям ж ~2 м Ос=о ООотзетотвуит снсаоммо знамеаая Е = або)/ =Р'ПО)=Ы и б ° Р:ГЮ/ МОЮ =,8.
Последние аормузи дант значевня пределоз ватогрврозаная по возов первиеяаой б . мовтону „/ „ггх)с(,х =,/ /1у1б1)урсы. ф ать)ектазность подстеаовхя з Йредезеннон интеграза состоат в том, ято в перзосбразной ве наде переходать и перзонананьвов перамемной змтегрирозвнвя Ос , а авдо найтв.нонне пределы автегрмроваявя по новоИ перевозной 6 . )(Зн перехода и возни пределам антогрврозавмв реяояендуется составить тавув тебзвцу: у2.
~~твсзеаие пзо а в плоено в она тс ииввая. Суаестзует аоснолько вариантов резаная втой задача. Сомао простме даян на рас.1 з 2, более сзоинма - на рмс.б. 11ОО Отса вмеется з заду Ото пзодадь- везачваа геометрическая, доа зармам-. тм будут ресснатуизаться за стдезьнмх примерах С ПРЗИОНОВЯЕМ йровизе„ Веловезаого а р1. Прдаеер 4~ Онтнсзить площадь фигурм, ограявмеяноп заимямв и Осямв яосрдияат (рис,е), . Равенне: предезм вятегрмроваяаа находятся нах абспассм тонах пареоеяеявн яразод у*е~з с осьз 01.
днеем е~у-.б, т.е. ,Х=б,у. ВСКОМОЯ Паояадь * СОД „Х У„х" 2 Х=Х „~5т, =,у" -бЕ -З)ЫХ~~ бт -а)ХХ=Е бЫ-~Х О бе У Рас. 5 ~.'Рамоса 5 Вычислм ь плошадь фигуры, ограниченной лввмяии у-,~- и осями координат (рис.5). Рош и;ае: гак как оснозевна трепепии раснслокезо на оси ОУ, то шатсгророазпво выполнветсн по пораненной у и пределы интегрирсзззия находятся как орднноты точек пересечания кривой х .:,.',.;...- - с осьш Оу. Получаем %с г) Лго, 3) . Искомая пло,.ё '7' 3' г ,' х,„,.'.~р = ХБ~ ' у-3)ду+/';~~ чй3)дуба~,~-- бату Продотзьляет пвтерзо, когда площадь Б ограничена лауыя лйаиял чв 3 .,~',~ -"! и / =./.,сл з и диумн всрхикалами .х =а и .я.- Б зргч:,и,„~па~о/~х> на Б)йу (рис.6). и зтом случае площедь о-, х.
а Если кривая аадзна уравнанинмн в параметрической форме .х-= ~~>, ш=ч Гд, то площадь фигуры, ограниченной атой нрнвой,двумя нертикаляни.х-=а и ~ = Б и'"отрезкои оси ебсцисс, вычисляется по формуле .5'= / ~~~,),р;у)схг , где б, и б находятся на ураввеник веник д „,, б ) 3 д „,Гб ) Рис.6 Рис.т Примеор 6. Вычислить площадь фигуры, сгрениченяой линияыш -3х.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
