Ковалев Я.Г., Киреева Ю.Г., Лунева М.С., Тесалина А.А. Определенный интеграл (1987) (Ковалев Я.Г., Киреева Ю.Г., Лунева М.С., Тесалина А.А. - Определенный интеграл)

Министсрссво ьиасшс~о и среднего сиеяиваьиосо образовании СС( Р Бесплатно Московское ордена Леиииа, ордена Октиорьской Револючии и ордена Трудогого Красного Знамени высшее техническое училище им. Н. еЕ Баумана О П Р ЕД ЕЛ ЕсН Н Ы И ИНТЕГРАЛ Методические указания к выполнению домашнего задания для студентов вечериего отделения Москва Мииастеротво вискего и среднего специального обрааоваииа СССР Московское ордена деиииа, ордеаа Октябрьской Революпав и ордене Тррдового Краевого Зиаиеии высшее техвисаское Утикиио иневи К.З.Баркова У тае оедены редсоветои ИВГу ОПРДММЛййЫФ ММТЗГРЛЛ методзтееизе Уиаааиия к выпазаеииз доиезиагс аедааия дли студезтов ветераето отдекааия Под редокцней Я.Г.

Ковалева Москва 1987 Предисловие 9 П 15 19 22 Корроктор Л,Н,Мелзтквв Редактор Н Н Фклякоиово Леккыо ыетодзчоскве укезекэя яэдептсв в соответствии с уческыы олексы. Рессчотревы в одобрекы кеБОЗРОИ "Иысвая мето- кстзке" 11.ОЧ,1986г., ие одичоскск кеымссвоп (окультете ОГ О~.ыб.збг, и учебво-методмчоским управлением 03.10.8бг, Репевзекты: к.т.в. Воп. К,А.Головко, к.4..-ы,и. доп. И.л,оодстоз Дзторы; К.Г.Ксвелев, О.Г.Киреева, И.б.дуяезе, А.ь.уесвлвяе ~ О,! Московское зыозео техввческое училища мч.

Н.З.Боуывво Иредвсловоа . Ойрсделовкыя квтогрсл: ОскОВиыо поиятвя~ сзсистВд ° способы вычислезкя 92. Бычвслопие плсквди плоскои Фигуры в деквртовых коордзкетвх ЗЗ. Бычмслекме плоиодм плсскОИ автуры В ПОЛМРввх коордввк ох ф>. Зычиоловво объоие теле вреяеввя . . 55. Бычмслевке илиям дуги зласхои лквкв . . .

. . . . 16 . Вычмслокме плокэдв поверхвости Врокекив , , . 59. Зедечк для самостоятельного реиекия 58. Условия эвдвч домемвего аедеимя . . .. , . . . . Зеков?Ф~Я Объем 2 п.л.Л уч "мод л./ Ткрек 1000 вкв. Беспле*по. Подпиоеко к печати 08,12.88 г. Плач 1987г., М 157, ХвпогреФЗВ МБЗУ . 107005, Москве, Б-5, 2-я Бвумевскея, 5. Главная пель даккых иетодвческкх укваеквИ вЂ” океееть пскось студекту-вечеркоку прв Вкполяекик ик сеыостоктелько доыеигого воловик по геометрическим пуклсвекивы опроделевкого кктегреле. Б каково иэлвгезтся боз домеэетельстзе освоввые теоретические сведеквв, отвоскыиеся к теме.

Долее пркводвтся кеобхоккмыо Формулы, дептск укезввяя к их првиококиз и рвсовотркзветск кв примерах прмяевевяо этих боркул по кеидоыу тэку ведет. Зыполвеяве доиеввего эздеявя требует от студевте зяеккв элоиевтарвых рузкпии, уреввекки крквых второго яорядкв в декертовых и полкркых коордкветех и в переыетркчоскок Форме. Я. Оп"о'елавкык мвтег ел: осксввые повктм свокстве К псвктиз ОпределойкОЗО мвтегрело приводит РВссмотревве рвэлвчеых эедеч геометрия, Иыэвки, техвмкв.

Просторлея вэ кех язлкетсв эедече о иычмслеккм плокедв кркволивеякся трепепик, т,е фигуры~ огрокичоккОЙ грефвкси Купкпки ф "- /слгд двумя прв мики х =а в -с = б и осьз эбописо ~рве,1). Рос. 1 Основевио трапепии разбивается на ~ влемевтарвых отрез- КОВ О.лк 1 ВЕ КЕКЛОМ Мд моторки В тоемох ср берутск эяечозмя ~~х ~, ссстевляетск иитегрельиая суике О -~~ к' к:г З ив~ ° о- -.«: ». ° -1<' зсзыезетса срадол, и нотороиу стреиатса интегральное суыыа, ног лс с,.зоольвзя вз длин алеыезтзрзыл отаоаков разбиоывя строынтсн к сулю: а ~гцз,/и: 2<О.;</<х ),х а ' хахк" б а=< )'ооыотрнчесии а ~ждсленыып ыытеграл есть <с)ощаць иреаолынсйной трапеции .5 ., =,/ /<х)г<х.

а с)г! При этан прела»алзгзе<тсн, что /<х) - ы<ункция пеарерынная. пз йеззчоснил задач отыетии оледуюние: 1) нычнсленво рабаты пераыенной са)п<, ыодуль которой ренан /<»), а направление сонпедзот с полоаатольныи напранленнои аси О);: »)= / ~,))5) «5 , где интеграл боротан по пути; 2) зачисление пути, пройденного точной прн нераанаыораои дзиеозка са скоростью, модуль которой ранен 5<1<)< а = / '7<<),<г где интеграл борется по времени„" 5) вычисление вассы неоднородной материальной ириной с лныойпой плотностью /«5) < /<' = <о ))<5)с<5 , где интеграл 5<резон ыо длнас ПРиной Оыз.деленный интеграл нзтодитои по цюрыуле ньютоне«йейбнипа / /<х) 5 х = /7Ю) - «<а) „гдеК<х) - перзообразпая. Основные свойства сп е еленного антее алз /б//<х) -/ йт )» / <х ),)<< Х:./ / ~х)<<х»,/~ <х)<<х»//«Лих 2 <с~)х)«х-<',/ <<х)<гх, 5,/5<х)<г х--б.

а а 5, а, ») о Ч "/<х) 'х --, Г/<х)«5. /Г< ')ахи< ')« '<//<а)а'х //<л)«х а „б' а <г „8 < <х)</х -.б /<х)» б а / /«х)г<х б //х)лб. а а д 7../<х)<<х»/ у)х)ах а))" ./< а а а' и ~ ///х)«х </ //<х)/г/х . ч //<х)«х»///ю<гс=')Ю)сл. 'а ~а а а А 10. Теореые об оценке определенного иитегреле »»»/ттх)ах ' /ттх)/<а)аХ < ИЛ«<х)а<х г<)" Чтх»б, а а а — Нааизвзвао, З <") - Наибапвисо апаЧЕННЕ С)уаиции /<со)НЗ)а .:~ еореиа а ар~инеи значении / а а Оаа НЕ Н Чаотааи Свуиаа о < /<х)а<х=/<х)<6.

а) . а При вычвсленни плоиеди криволинейной трапеции следует особое нниианве обратить на снойстзо 6, соглзспо которому определенный интеграл рзссиатриваетсн иан величина злгебренчоокая) есле /<х)»б яа /аг, о 1, то площадь выест анан плюс (сы.рас.1), осли не/<»х)<б, то площадь ниеет внав ыинус 1рнс,2). По нак величине геометрическая площадь в оббавл случаях нычвслнетсн по рорыуле Я =) „/,/<х)<<,х~. йтиы не праавеои рузанадствуютсп и а тон случае, когда рупнция <<х) на, <г,<)/ не ньлястся зноноаостоннной. Тогда выпадет точки пересечение кривой </ =/«.)с осью Ох ~ила соответственно крнзой ж=рг<у)с осью ОУ)'ы не тал отреанах, где„/<х)< б 1нли соответственно ч<«/)гб надо полонить /- /<х)/ алн соответственно ~-У<,7)1. Рас,2 гчХ а„) пример 1.

Опредаленный интеграл /дс)тха<ж »-аа5/ »-4'-))=с,' а Ю но площадь, огрениченвен нрввой «<5'аХи отРазкоы/б "Х/оси Ох, .Ф г„«<, а «~ ду 5'= /5 ~а<х "<»-5<'<гд'сь)<»-сагх~ »сс>5л."1»-/-I-</,/)«/=г< а а гг приыер 2. Определенный антеграл /<х -5а г<ах)«х.-р-<, ао Олоцадз, ОГРаавмаяаоя ЯРвзойЯх)=.хп,;:- г,хя з отрезаем 1 ", 3» осм ОХ (РМ0.5) ,5" - /~'.х"; т х ~ б:О ы л.

з ~ - бхс схх ' б.я /О( х' -" 3хр ' я Пмммслмть ' МОР-.з: ~~1.х . 3 Реванме' прммевмм годстаиозяу л',уюигб, сг х =,тсзгбсх г . Изменение ОРодозсз ВнтегРВРОИОВВЯ1 сс б 3 Ж' 4 б ->''~ ' е говда~~Я-.х'а Х,~~И-У Ох 2 ЗтсС~йб = Р ~ '~ СЫато1 = = ~/';, юхОО)сгб = Р.й рхлрб) (О = РЪ. Йа ат"ого прамара ванно, ято переход н перзосбразаой хм -.."'(ы 'р +~ь:МА) от б я,х правая бы н слсаямм траговомстрямаснвм праобраасзавмям в - - ° ° ° ° й.а2яиа 1, Йонгеямое мвтегрврованве - зто првмеаеаве свойства 1.

2. датогрвровавне по частям: д иск= и-6/ - /' О"О!Ос. у.д- рдей м д Ьм. Пусть дзя ваяисновая определавяого внтаграза нредаагаетоя подстовозяа х -.Ьтй, прв зтом предпозагаетоя, Вто змпозаевм озадумхма усзсзая" а) бувкцмя Ит2) - одаоааамвая, ВОПРОРмзвея я двеберавцзруе Мая» б) буанпвяб'-~дй4- Вапрермзнав", з) чнсзсзнм зяавемвям ж ~2 м Ос=о ООотзетотвуит снсаоммо знамеаая Е = або)/ =Р'ПО)=Ы и б ° Р:ГЮ/ МОЮ =,8.

Последние аормузи дант значевня пределоз ватогрврозаная по возов первиеяаой б . мовтону „/ „ггх)с(,х =,/ /1у1б1)урсы. ф ать)ектазность подстеаовхя з Йредезеннон интеграза состоат в том, ято в перзосбразной ве наде переходать и перзонананьвов перамемной змтегрирозвнвя Ос , а авдо найтв.нонне пределы автегрмроваявя по новоИ перевозной 6 . )(Зн перехода и возни пределам антогрврозавмв реяояендуется составить тавув тебзвцу: у2.

~~твсзеаие пзо а в плоено в она тс ииввая. Суаестзует аоснолько вариантов резаная втой задача. Сомао простме даян на рас.1 з 2, более сзоинма - на рмс.б. 11ОО Отса вмеется з заду Ото пзодадь- везачваа геометрическая, доа зармам-. тм будут ресснатуизаться за стдезьнмх примерах С ПРЗИОНОВЯЕМ йровизе„ Веловезаого а р1. Прдаеер 4~ Онтнсзить площадь фигурм, ограявмеяноп заимямв и Осямв яосрдияат (рис,е), . Равенне: предезм вятегрмроваяаа находятся нах абспассм тонах пареоеяеявн яразод у*е~з с осьз 01.

днеем е~у-.б, т.е. ,Х=б,у. ВСКОМОЯ Паояадь * СОД „Х У„х" 2 Х=Х „~5т, =,у" -бЕ -З)ЫХ~~ бт -а)ХХ=Е бЫ-~Х О бе У Рас. 5 ~.'Рамоса 5 Вычислм ь плошадь фигуры, ограниченной лввмяии у-,~- и осями координат (рис.5). Рош и;ае: гак как оснозевна трепепии раснслокезо на оси ОУ, то шатсгророазпво выполнветсн по пораненной у и пределы интегрирсзззия находятся как орднноты точек пересечания кривой х .:,.',.;...- - с осьш Оу. Получаем %с г) Лго, 3) . Искомая пло,.ё '7' 3' г ,' х,„,.'.~р = ХБ~ ' у-3)ду+/';~~ чй3)дуба~,~-- бату Продотзьляет пвтерзо, когда площадь Б ограничена лауыя лйаиял чв 3 .,~',~ -"! и / =./.,сл з и диумн всрхикалами .х =а и .я.- Б зргч:,и,„~па~о/~х> на Б)йу (рис.6). и зтом случае площедь о-, х.

а Если кривая аадзна уравнанинмн в параметрической форме .х-= ~~>, ш=ч Гд, то площадь фигуры, ограниченной атой нрнвой,двумя нертикаляни.х-=а и ~ = Б и'"отрезкои оси ебсцисс, вычисляется по формуле .5'= / ~~~,),р;у)схг , где б, и б находятся на ураввеник веник д „,, б ) 3 д „,Гб ) Рис.6 Рис.т Примеор 6. Вычислить площадь фигуры, сгрениченяой линияыш -3х.