PDF-лекции, страница 3

Во вторую очередь мырассмотрим свойства полупроводниковых элементов. Если мы говорим о физическихосновах элементной базы компьютера, то это уже не есть электроника. Это в большойстепени оптика, квантовая электроника, и применение этих областей сейчас прогрессирует.Электроника является самостоятельной обширной областью, у которой не очерченыграницы. Сейчас очень часто используется термин фотоника, т.е. идет речь о применениисвойств и закономерностей, которые свойственны свету, средам, которые свет излучают,поглощают. Для того, чтобы понять, как устроено твердое тело как проводитсяэлектрический ток, чтобы картина как электроники, так и фотоники была более менееполной нужно понять основные закономерности.Вводные замечанияСовременная физика до сих пор успешно развивается на базе тех закономерностей,которые были открыты и сформулированы в начале XX в.

И они до сих пор выполнялись.С описанием того, что происходит в атомах, молекулах, твердых телах пока квантоваямеханика справляется. Несколько слов об основных фактах, которые привели к созданиюквантовой механики. В начале XX в. было довольно бурное накопление фактов, неукладывающихся в существовавшую до тех пор картину мира. Приведем несколько такихфактов.Явление фотоэффекта.Если облучать поверхность твердого тела светом и измерять энергию вылетающихэлектронов, то оказывается, что эффект зависит не от интенсивности света, а от длиныволны падающего света и зависимость максимальной энергии от частоты выглядит так:kνЭто явление не укладывается в волновые свойства света.Спектр излучения абсолютно черного тела.Нарисуем зависимость интенсивности света I от его частоты w:I(w)В соответствии с классической формулой:wI(w) =w2kTπ2c2Где k –это постоянная Больцмана, Т – температура.

Эта формула оказалась неверна.Оказалась верна более точная формула Планка:I(w)Формула ПланкаwИ еще один пример:Если мы облучим 2 близко расположенные тоненькие щели потоком света. Токаждая из этих щелей будет вторичным источником. Свет идущий от этих двух источниковбудет интерферировать.Интерференционная картинаВ случае 1 щелиМаксимумы задаются формулой dsinQn = nλ.Теперь одну щель закрываем. Идет пучок света через оставшуюся щель. Получаетсякакая-то равномерная освещенность, естественно, никакой интерференционной картины небудет.

Наоборот делаем – закрываем вторую щель, и тоже получаем равномернуюосвещенность. Ослабляем пучок света. Свет состоит из квантов. Пучок света можноослаблять до тех пор, пока поток не будет состоять из отдельных квантов. Отдельныекванты можно наблюдать даже глазом. Оказывается, даже отдельные кванты даютинтерференционную картину. Каким-то непостижимым образом они друг с другомскладываются, хотя они летят отдельно.Более того, оказывается, что если проделать то же самое не для квантов, а дляэлектронов.

Если направить достаточно много электронов, то электроны будут давать неравномерное затемнение, а тоже интерференционную картину. Эта нагляднаядемонстрация была придумана уже после того, как были доказаны волновые свойстваэлектрона. Каждая частица - тоже есть волна. Есть полная аналогия между фотоном иэлектроном. Конечно у них у каждого свои свойства.

Каждый из них представляет собойкак частицу, так и волну.Фотон и его основные свойстваЭнергия фотонаE = hν = hw. h = h/(2π), где h – это постоянная Планка и h = 1,05 Дж*с. Фотонусвойственен импульс. p = hk, где k = (2π/λ). k – волновой вектор.ЭлектронМасса m = 9,1*10-31 кг. Заряд электрона e = 1,6*10-19 Кл. Так же как и фотон электрон обладает импульсом.k = p/tдлина волны электрона λ = 2πh/p2π/λ = p/hЧтобы описать волновые свойства нужно ввести волновую функцию. Эта волноваяфункция ψ(x,y,z,t). |ψ(x,y,z,t)|2 – вероятность обнаружить частицу в данной точкепространства в данный момент времени.

Существенным свойством такого квантовогоописания является его вероятностный характер. Т. е. о том, что определенная системанаходится в том или ином состоянии можно говорить только с определенной долейвероятности.Рассмотрим несколько примеров систем.У этой волновой функции есть свойство суперпозиции:ψ = ψ1 + ψ2Если система может находиться в каких-то нескольких состояниях, то ее общее состояниеможет описываться на основе сумы волновых функций, которыми обладает система.Проиллюстрируем это.Пример 1: свободная частица, о которой мы знаем, что она имеет импульс p0.

В соответствии сформулой мы можем приписать ее вполне определенную длину волны:λ0 = 2πh/p0Известно, что волна, длина которой не меняется, это монохроматическая волна. Про координаты этойчастицы мы ничего не знаем. Попробуем найти волновую функцию этой частицы. Поскольку это волна, томожно считать, что волновая функция должна изменятся по закону синуса или косинуса ψ = Acos(k0x – wt),где А – какой-то коэффициент. Тогда вероятность нахождения частицы |ψ|2 = A2cos2(…).

Эта функциясодержит нули и нам не подходит потому, что свободная частица равновероятна в любой точке. Подходиттакая функция ψ = Aei(k0x – wt). Эта волновая функция комплексная: |ψ|2 = ψ**ψ = Α2.Пример 2:ReΨЗададим распределение волновой функции только на конечном участке.x2nσ2xψ(x) = Ae*eikoxА – амплитуда. Это гармоническая функция. Амплитуда по х ограничена σx. Это известное Гауссовораспределение. С вероятностью 50 % она находится вблизи точки х = 0. Мы знаем, что по х она находится впределах от –σx до +σx.

Что мы знаем о скорости этой частицы или о ее импульсе? Разложим волновуюфункцию в интеграл Фурье.B(k)eikxdkψ(x) =Найдем коэффициенты разложенияx2B(k) =12πψ(x)e-ikxdx =1Aenσ2x2 2e -a x cosmxdx =* e-i(k-k0)xdx =2π0πe2am24a2=AA σ xe(p – p0)24(h/2σx)2π(p – p0)2 2σxe2σ2p2=|B(p)|2πОказывается, что импульс тоже распределен по закону Гаусса:σp = h/2σxσpσx =p x = h/2 - это в случае распределения Гаусса. А в случае любого другого распределения будетp x > h/2. Это так называемое соотношение неопределенности, которое означает, что чем точней мы меримкоординату, тем меньше мы знаем об импульсе и о скорости и наоборот. Это соотношение можнопреобразовать в следующее:p x = m v * v t = mv v t = E t > h/2Электрон характеризуется таким образом: чем мы больше хотим о нем знать с какой-то его одной стороны,тем меньше о нем знаем с другой, а в целом никогда ничего не можем сказать определенного.Пример 3.

Помещаем электрон в ящик с бесконечными стенками, т.е. если мы туда электронзабросим, то он там и будет. Мы не знаем, что с ним происходит, но точно знаем, что он там. Попытаемсяобъяснить, что с ним там происходит. Электрон в атоме водорода притягивается к протону и не отрывается отнего – аналогия.ПотенциальнаяэнергияVэлектронов ватомеt0LxЗа стенки электрон выйти не может.

Абсолютно достоверно можно утверждать, что электрон в ящике покоиться не может.Доказательство этого утверждения: если бы он там покоился, тогда можно было бы сказать, что у него импульс равен 0, т.е. вполнеопределенный импульс, а значит, он размазан по пространству. А он в ящике – он не может быть размазан. Т.е. он там движется. С нимсоотносится волновая функция.

Вероятность распределения электрона за пределы этого ящика равна 0. То естественно здесь должнооказываться либо пол волны, либо целая волна, либо 3 полу периода длины волны. Вероятность распределения должна бытьнепрерывна. Мы можем утверждать, что длина волны может иметь только строго определенные значения. А раз длина волны дискретна,значит, импульс дискретен, значит и энергия дискретна. Т.е. частица в замкнутом пространстве не может иметь любую энергию, а толькострого определенную.ψ+ = Beikx-iwtψ- = -Be-ikx-iwtСуммарная волновая функция ψ = ψ+ + ψ- = Beikx-iwt – Be-ikx-iwt = 2iBsinkx*e-iwt . Если оставить толькопространственную часть, обозначить А = 2iВ, то получим волновую функцию ψ = A*sinkx. Ширина ящика L.Обязательно должно быть kL = nπ – это условие того, что на ширине этой потенциальной ямы укладываетсяполное число полуволн.

n= 1, 2, …kn = πn/L – только такие значения может принимать волновой вектор. Соответственно импульс можетпринимать значенияpn = πnħ/Lэнергия – En = p2/2m = π2h2n2/2mL2. Это уровни энергии, которыми может обладать частица в ящике.Возьмем ящик шириной в 2А. Ангстрем – это размер атома. k=2*10-10м. Первыйуровень энергииE1 ≈ 8,7 эВE2 ≈ 35 эВEn=3n=2n=1n – это квантовое число для этой частицы в ящике. Если мы частицу поместили в замкнутое пространство,что все равно, что мы частицу поместили в атом, то у нас получается дискретный спектр энергий.Если у нас яма не с бесконечными стенками, а с конечнымито тоже можно решить эту задачу, но это будет немного сложней. Мы должны будем учесть, что какая-товероятность за пределами существует. Вероятность, что он оттуда ускользнет, возрастает с уменьшениемдлины стенок.Атом водорода.Уравнения Шредингера ∆Ψ =U( r ) = -e2-2m(E – U( r ))Ψħ24πε0rЭто потенциал взаимодействия электрона с протоном.

Подставляем его в уравнение и решаем уравнение.Поскольку задача сферически симметрична, то делаем замену переменных на сферические координаты. Засчет сферической симметрии у нас задача распадется на 3 отдельные задачи, и у нас будет квантованиеэнергии по всем трем координатам. Но энергия зависит от расстояния до ядра, но она не зависит от углаповорота. У нас 3 координаты и соответственно 3 квантовых числа, в отличие от черного ящика, где оноодно. Поэтому мы сразу пишем 3 квантовых числа (главное, орбитальное и магнитное)Enlm = Eп = -me48(ε0n)2- очень похоже на случай ящика.Аналогично, в любом атоме существуют1 дискретные уровни энергии.

Если атом многоэлектронный, задача усложняется тем, что тамнадо учитывать не только ядра, но и поле всех электронов, но решение будет очень похоже на это.n2Электронные состояния молекулПростейшая молекула, состоящая из двух атомов. Каждый атом имеет электронные состояния,поэтому и молекула тоже имеет. 2 ядра могут колебаться друг относительно друга – это будет колебательнаясоставляющая спектра. Также молекула может крутится – это будет вращательная составляющая спектра.R0RR1Спектр молекулы будет гораздо богаче, издесь не отдельные линии, а полосы.Соотношение между колебательной и вращательной энергиейЕколебЕэлЕвращЕколеб~~mMmM1/2≈ 10-21/2≈ 10-2m – масса электрона, M –масса ядра.Когда электрон переходит из одного состояния в другое, он может излучать или поглощать квант света (когдаон идет вверх он поглощает, вниз – излучает).