PDF-лекции, страница 4

Не все переходы разрешены. Т.е. есть разрешенные, естьзапрещенные переходы.Твердое тело.Нам нужно найти какую-то модель, по возможности упрощенную, чтобы примерно объяснить, какдвижется электрон в твердом теле.Модель электронного газа.Рассмотрим металл. Известно, что металл состоит из ионной решетки, и по одному электрону от каждогоатома участвуют в процессе проводимости.

Ионы кристаллической решетки очень маленькие, по отношениюк кристаллу они занимают мизерную часть. Поэтому можно представить в качестве аналогии для описаниятвердого тела, что это трехмерный ящик.Частица в трехмерном ящике.Импульс в одномерном ящике p0 = πħn/L, где L – это размер одномерного ящика. Здесь три степенисвободы. По каждой степени свободы будет квантование. Поэтому появятся квантовые числа nx = Lpn/πħ ny =Lpn/πħ nz = Lpn/πħ. Ящик конечный. Для квадрата импульса получим такое выражение: p2 = π2ħ2(nx2 + ny2 +nz2)/L2. В бесконечном ящике число энергетических состояний было бесконечно.

Ящик конечный, но из негоэлектрону не выбраться. Значит у него и число уровней конечно. Чем больше ящик, тем ближе расположеныуровни, т.е. чем больше мы возьмем кусок этого металла, тем чаще эти уровни будут расположены. Можеттак оказаться, что число электронов значительно меньше, чем этих уровней.

У электрона есть спин. В каждомсостоянии не может быть больше одного электрона. В принципе они могут иметь одинаковую энергию, нообязательно у них должны быть противоположны спины. В целом электроны займут не все энергетическиеуровни. Уровень Ферми – уровень, до которого возможные состояния заняты электронами.EНайдем количество энергетических уровней, занятыхэлектронами.nynxnzГипотетическая система координат, по которой отложены квантовые числа. Какова величина максимальногоимпульса? Он соответствует уровню Ферми. Сколько таких состояний, что π2ħ2(nx2 + ny2 + nz2)/L2 ≤ pF2?Причем nx,y,z ≤ pFL/πħ – каждое квантовое число меньше максимального.

Сколько всего этих квантовыхчисел, т.е. уровней энергии? Столько, сколько всего точек с координатами nx ≥ 0, ny ≥ 0, nz ≥ 0. Количествоквантовых чисел равно 1/8 объема шара в пространстве квантовых чисел. Количество состояний:pF3VN=3π2ħ3Максимальное значение – радиус шара. Количество энергетических уровней в единице объема:pF3n=3π2ħ3Мы получили количество энергетических состояний, выраженное через максимальный импульс, который имеет частица. Импульс мыможем связать с энергией.pF2=2mEферми(F ) =ħ2(3π2n)2/32mЗамечание: если состояние существует, не обязательно оно занято каким-то электроном. Но нам важно знать,сколько электронов в металле или полупроводнике. Мы должны уметь определять количество электроновпотому, что количество электронов у нас фактически определяет проводимость твердого тела. Нам надознать, сколько есть электронов с определенной энергией.

Нам надо знать есть ли уровень, как много уровнейс такой энергией вакантно и сколько электронов. Для того чтобы узнать количество электронов, нужно знатьвероятность того, что данный уровень будет заполнен электронами. Концентрация электронов с даннойэнергией n(E)= S(E)f(E), S(E) – концентрация уровней с данной энергией, f(E) – вероятность заполнения этихуровней. Выражаем S(E):m3/22S(E) =32π2ħ3EF3/2Дифференцируем по энергии:m3/2S(E) =22 3πħEF1/2Мыполучили, таким образом, плотность уровней, в зависимости от их энергии.Теперь, если мы знаем вероятность заполнения этих уровней, то тогда мы можем находить концентрацию электронов в каком-токонкретном случае.

Функция вероятности заполнения уровня получается в статистической физике.Распределение Ферми.1fF(E) =E - EF1+eκΤfF(E)10,5EFEk T= 0,025 эВВероятность заполнения уровня Ферми = 0,5.ET→0EFДо уровняпослезаполненияФерми все уровни заполнены, ауровняФермивероятностьстремиться к 0. Чем вышетемпература, тем более размытойграница становится, а в близи абсолютного нуля это будет почти ступень. Распределение Ферми подходитдля описания статистики электронов в любом твердом теле.Рассмотрим, чем различаются проводники, диэлектрики, металлы.Типы химической связи в твердых телах:Для металлов это ионная решеткаxВ узлах положительные ионы.

В среднем один электрон проводимости на одинион. Электроны никак не связаны со своим ионом. Они свободно гуляют по всему металлу.- металлическая химическая связь.Для металла удельное сопротивление ρ < 10-7 Ом·мКовалентная связь. Это полупроводники (Si, Gr, Ga, As)На внешней оболочке 4 электрона. Проводимость вчистом полупроводнике довольно низкая. Почти всеэлектроны связаны. В принципе может какая-то связьразрываться, что влечет появление свободного электрона, которые тоже будут проводить ток. Удельноесопротивление полупроводника может меняться в очень широких пределах: 10-5 < ρ < 105 Ом·м - зависит оттого, есть ли там примеси или это чистый полупроводник.

Верхняя граница условная – может быть и больше.Когда полупроводник с примесями его проводимость близка к проводимости металла. Когда связьразрывается, появляется электрон проводимости и появляется положительно заряженный ион – такназываемая дырка. Это место может занять другой электрон. Соответственно отсюда дырка исчезнет, но там,откуда ушел этот электрон, дырка появится.

2 типа проводимости – электронная и дырочная.Ионный тип проводимости:Самый характерный пример –NaCl – поваренная соль. Это оченьсильно полярная связь, и в результате образуется очень прочная кристаллическая решетка. Электроныпритянуты в сторону одного элемента, а, значит, электронной проводимости нет. При такой связи материалявляется диэлектриком. Удельное сопротивление в полупроводнике > 10 –12 Ом*м.Для того, что бы описать свойства твердых тел, такой простой аналогией как кристаллическая решетка необойдешься. Невозможно ни в каком приближении попробовать решить уравнение Шредингера для такойсистемы из огромного количества ионов и электронов. Кристаллическая решетка естественно имеетпериодическую структуру.Зонная структураПотенциал V(r + R) = V( r ).

R – радиус-вектор элементарной ячейки кристалла. Волновая функцияпредставляется в виде ψnk( r ) = eikr·Unk( r ). n – квантовые числа. Когда мы рассматривали свободнуючастицу, мы говорили, что вероятность должна быть одинаковой, а здесь ψnk( r ) = ψnk(r + R). Где R –периодрешетки. Легче решать уравнение Шредингера не в пространстве, а в пространстве волновых векторов. Здесьтоже будет некоторая периодичностьK=K+aK – так называемый вектор обратный решетке. Волновой вектор – вектор, обратный длине волны. Периодурешетки мы тоже можем сопоставить обратный вектор.

В этом пространстве волновых векторов решаетсяуравнение Шредингера. Каждая кривая на графике соответствует одной из возможных реализаций вектора вэтом пространстве:GaЗапрещённая зона(111)(000)(100)EcEvxЭлектрон в разных направлениях ведет себя по-разному. В зависимости от своего направления электронможет принимать различные значения энергии. В полупроводниках энергия определенных диапазонов нереализуется. Это так называемые запрещенные зоны. В валентной зоне электрон достаточно хорошо связан сионом. В запрещенной зоне уровней энергии быть не может.GaAs(111)(000)(100)(000) соответствует началу координат, или некоторому характерному направлению в пространстве волновыхвекторов.

Когда атомов становится много, и эти атомы сближаются, они друг на друга действуютсобственным полем, и в этом поле уровни энергии смещаются. Поскольку электроны не могут находиться водном и том же состоянии уровни распадаются на целые энергетические зоны.Если полупроводник прямозонный, то он может использоваться, для изготовления светодиодов, ноон не может использоваться для транзисторов.

И наоборот, не прямозонный проводник, такой как Gr, Si,может использоваться для изготовления диодов и транзисторов, но не может использоваться в качествесветоизлучателей.Чем отличаются металлы, полупроводники и диэлектрики с точки зрения строения энергетическихзон?МеталлыВ металлах нет запрещенной зоны энергий потому, что зоны, соответствующие различнымэлектронным состояниям фактически перекрываются.Зона с заполненными уровняминезаполненными уровнями энергии.энергиипереходитвзонусПолупроводникиПрисутствует запрещенная зона энергии.EcEFEgEv01f(E)близко к 0 и 1В валентной зоне почти все состояния занятыэлектронами, а в зоне проводимости почти нетэлектронов.