Семинар 6. Метод Фурье для однородного уравнения на отрезке (Семинары)

УМФ – семинар – К 5 – 6Метод Фурье для однородных уравнений на отрезке [0, l]1. Разложение в ряд Фурье по собственным функциям задачи Штурма–ЛиувилляОпр. 1.1. Задача определения пары {λ, X(x)}, где X(x) 6≡ 0X00 (x) + λX(x) = 0,X(0) = X(l) = 0,x ∈ (0, l);(1.1)называется задачей Штурма–Лиувилля.При этом те значения λ, при которых (1.1) имеет нетривиальное решение X(x), называютсясобственными значениями задачи (1.1), а сама функция X(x) – собственной функциейзадачи Штурма–Лиувилля (1.1).Теорема 1.1 (В.А. Стеклов).Усл.{Xk }∞k=1 – ортогональная система собственных функций задачи Штурма–Лиувилля.Утв.∀f (x) ∈ C 2 [a, b], удовлетворяющей краевым условиям,f=∞X∃{ck }∞k=1 :ck Xk (x),k=1причём последний ряд сходится к f (x) абсолютно и равномерно на [a, b], а для ckверно представлениеRbf (x)Xk (x)dx(f, Xk )ack ==(1.2)Rb 2kXk k2Xk (x)dxaДоказательство.

Равномерную сходимость к функции f (x) мы обосновывать не будем, новыведем формулу для вычисления ck .В силу общих свойств рядов Фурье, их (как сходящиеся равномерно на любом отрезке, гденет точек разрыва f (x)) можно интегрировать почленно. Поэтому, в силу ортогональностисистемы {Xk } в L2 [0, l]:Zl(Xk , Xn )L2 [0, l] ≡Xk (x)Xn (x)dx =0,kXn k2 ,при k 6= n;при k = n.(1.3)0Преположим, что рядверно равенство:∞Pck Xk (x) действительно сходится на [0, l] к функции f (x), то естьk=1f=∞Xck Xk (x),x ∈ [0, l].k=1Домножим это равенство на Xn в смысле скалярного произведения в L2 [0, l], то естьc Д.С. Ткаченко-1-УМФ – семинар – К 5 – 6• домножим его на Xn и• проинтегрируем по [0, l].В силу (1.3), получим(f, Xn ) =∞Xck (Xk , Xn ) = cn (Xn , Xn ) = cn kXn k2 .k=1Отсюда сразу получается доказываемая формулаck =(f, Xk ).kXk k2В силу данной теоремы, нам достаточно один раз вычислить kXk k2 для каждой задачиШтурма-Лиувилля, чтобы знать вид коэффициентов разложения ck .2.

№ 643Найти решение u(x, t) начально-краевой задачиutt = a2 uxx ,u(x, 0) = ϕ(x), ut (x, 0) = ψ(x),u(0, t) = u(l, t) = 0.(2.1)Шаг 1. Будем искать решение уравнения utt = a2 uxx с краевыми условиями u(0, t) =u(l, t) = 0 в видеU (x, t) = X(x)T(t).Сразу заметим, что краевые условия означают для функции X(x) следующее:X(0) = X(l) = 0.(2.2)Подставим U (x, t) в уравнение, получим:X(x)T”(t) = a2 X”(x)T(t)Предположив, что X(x)T(t) 6= 0, поделим это равенство на a2 X(x)T(t) 6= 0:−X”(x)T”(t)=− 2= λ.X(x)a T(t)Отсюда для функции X(x) имеем задачуX”(x) + λX(x) = 0,X(0) = X(l) = 0,(2.3)(2.4)а для функции T(t) – уравнение:T”(t) + λa2 T(t) = 0,t > 0.(2.5)Задача (2.3)–(2.4) есть задача Штурма–Лиувилля.

Общее решение уравнения (2.3) имеетвид√√X(x) = c1 sin( λ x) + c2 cos( λ x)при λ > 0;(2.6)√X(x) = c1 e −λ x + c2 e−X(x) = c1 x + c2c Д.С. Ткаченко√-2-−λ xпри λ < 0;при λ = 0;(2.7)(2.8)УМФ – семинар – К 5 – 6√• При λ > 0 имеем из краевого условия X(0) = 0, что c2 = 0, ⇒X(x)=csin(λ x).1√Поэтому из второго краевого условия X(l) = 0 получаем, что λ l = πn откуда имеембесконечное множество собственных чисел задачи Штурма–Лиувилля:π 2 n2λn = 2 ,ln ∈ N.(2.9)Им соответствует бесконечное множество собственных функций: πnx ,n ∈ N.Xn (x) = sinl(2.10)√• При λ < 0 имеем из краевого условия X(0) = 0, что c2 = −c1 , ⇒ X(x) = 2c1 sh −λ x.Поэтому из второго краевого условия X(l) = 0 получаем, что c1 = 0, т.е.

задача Штурма–Лиувилля не имеет отрицательных собственных чисел.• При λ = 0 имеем из краевого условия X(0) = 0, что c2 = 0, ⇒ X(x) = c1 x. Поэтому извторого краевого условия X(l) = 0 получаем, что c1 = 0, т.е. задача Штурма–Лиувилляне имеет собственного числа, равного нулю.Итак, мы имеем бесконечное множество нетривиальных решений πnx π 2 n2, n∈Nλn = 2 , Xn (x) = sinllзадачи (2.3), (2.4). Стало быть, рассматривать задачу (2.5) имеет смысл только при λ = λn , имы получаем семейство задач:T”n (t) + λn a2 Tn (t) = 0,t > 0.Решение этого линейного однородного уравнения второго порядка имеет вид: πna πna Tn (t) = An cost + Bn sint ,t > 0,ll(2.11)(2.12)где An , Bn – произвольные постоянные.Шаг 2.

Решаем задачу (2.1).Будем искать решение задачи (2.1) в виде u(x, t) =∞PXn (x)Tn (t), т.е.n=1u(x, t) =∞Xsin πnx n=1l πna πna An cost + Bn sint .ll(2.13)Из условий задачи мы ещё не использовали только начальные условияu(x, 0) = ϕ(x), ut (x, 0) = ψ(x). Для функции u(x, t) искомого вида они означают:ϕ(x) = u(x, 0) =∞XXn (x)Tn (0) =n=1ψ(x) = ut (x, 0) =∞X∞XAn Xn (x),(2.14)n=1Xn (x)T0n (0) =n=1∞XBn apλn Xn (x).(2.15)n=1Пусть функции ϕ(x) и ψ(x), входящие в начальные условия, разлагаются в рядϕ(x) =∞Xαn Xn (x),ψ(x) =n=1c Д.С. Ткаченко∞Xn=1-3-βn Xn (x),(2.16)УМФ – семинар – К 5 – 6Выясним, какими должны быть коэффициенты αn , βn .

Для этого домножим (2.16) на Xm =скалярно в смысле L2 [0, l]:sin πmxlZl(ϕ, Xm ) = αmsin2 πmx lαmdx =20Zl 1 − cos2πmxlαmdx =20Zldx =lαm,20откуда22αn = (ϕ, Xn ) =llZlϕ(x) sin πnx dx.(2.17)dx.(2.18)l0Аналогично, для βn имеем представление:22βn = (ψ, Xn ) =llZlψ(x) sin πnx l0То есть αn , βn вычисляются в точности по формуле (1.2)1 .Таким образом, для коэффициентов An , Bn из представления (2.13) решения u(x, t), сопоставляя (2.14) – (2.16), получим:2An = αn =lZlϕ(x) sin πnx ldx;(2.19)0βn2Bn = √ =aπna λnZlψ(x) sin πnx ldx.(2.20)0Всё, что нам осталось сделать, – это подставить в формулу (2.13) найденные коэффициентыAn , Bn из (2.19), (2.20).3.

№ 649mНайти решение u(x, t) уравнения utt = a2 uxx ,u(0, t) = ux (l, t) = 0,u(x, 0) = ϕ(x), ut (x, 0) = ψ(x)(3.1)Шаг 1. Будем искать решение уравнения utt = a2 uxx с краевыми условиями u(0, t) =ux (l, t) = 0 в видеU (x, t) = X(x)T(t).Сразу заметим, что краевые условия означают для функции X(x) следующее:X(0) = X0 (l) = 0.(3.2)Подставим U (x, t) в уравнение, получим:X(x)T”(t) = a2 X”(x)T(t)1Можно было воспользоваться формулой (1.2) сразу. Для этого нам пришлось бы вычислить kXn k2 , тоRlесть тот же самый интеграл sin2 πmxdx.l0c Д.С.

Ткаченко-4-УМФ – семинар – К 5 – 6Предположив, что X(x)T(t) 6= 0, поделим это равенство на a2 X(x)T(t) 6= 0:−X”(x)T”(t)=− 2= λ.X(x)a T(t)Отсюда для функции X(x) имеем задачуX”(x) + λX(x) = 0,X(0) = X0 (l) = 0,(3.3)(3.4)а для функции T(t) – уравнение:T”(t) + λa2 T(t) = 0,t > 0.(3.5)Задача (3.3)–(3.4) есть задача Штурма–Лиувилля. Общее решение уравнения (3.3) имеетвид√√X(x) = c1 sin( λ x) + c2 cos( λ x)при λ > 0;(3.6)√X(x) = c1 e −λ x + c2 e−X(x) = c1 x + c2√−λ xпри λ < 0;при λ = 0;(3.7)(3.8)√• При λ > 0 имеемизкраевогоусловияX(0)=0,чтоc=0,⇒X(x)=csin(λ x) ⇒21√√X0 (x)√ = c1 λ cos( λ x). Поэтому из второго краевого условия X0 (l) = 0 получаем,что λ l = π 12 + k откуда имеем бесконечное множество собственных чисел задачиШтурма–Лиувилля:2π(2n − 1),n ∈ N.(3.9)λn =2lИм соответствует бесконечное множество собственных функций:π(2n − 1)Xn (x) = sinx ,n ∈ N.2l(3.10)√• При λ < 0 имеемизкраевогоусловияX(0)=0,чтоc=−c,⇒X(x)=2csh−λ x ⇒211√√00X (x) = 2c1 −λ ch( −λ x).

Поэтому из второго краевого условия X (l) = 0 получаем,что c1 = 0, т.е. задача Штурма–Лиувилля не имеет отрицательных собственных чисел• При λ = 0 имеем из краевого условия X(0) = 0, что c2 = 0, ⇒ X(x) = c1 x ⇒X0 (x) = c1 ). Поэтому из второго краевого условия X0 (l) = 0 получаем, что c1 = 0, т.е.задача Штурма–Лиувилля не имеет собственного числа, равного нулю.Итак, мы имеем бесконечное множество нетривиальных решений2π(2n − 1)π(2n − 1)λn =, Xn (x) = sinx , n∈N2l2lзадачи (3.3), (3.4).

Стало быть, рассматривать задачу (3.5) имеет смысл только при λ = λn , имы получаем семейство задач:T”n (t) + λn a2 Tn (t) = 0,t > 0.Решение этого линейного однородного уравнения второго порядка имеет вид:π(2n − 1)aπ(2n − 1)aTn (t) = An cost + Bn sint ,t > 0,2l2lc Д.С. Ткаченко-5-(3.11)(3.12)УМФ – семинар – К 5 – 6где An , Bn – произвольные постоянные.Шаг 2.

Решаем задачу (3.1).Будем искать решение задачи (3.1) в виде u(x, t) =∞PXn (x)Tn (t), т.е.n=1u(x, t) =∞Xsinn=1π(2n − 1)x2lπ(2n − 1)aπ(2n − 1)aAn cost + Bn sint.2l2l(3.13)Из условий задачи мы ещё не использовали только начальные условияu(x, 0) = ϕ(x), ut (x, 0) = ψ(x). Для функции u(x, t) искомого вида они означают:ϕ(x) = u(x, 0) =∞XXn (x)Tn (0) =∞Xn=1ψ(x) = ut (x, 0) =∞XAn Xn (x),(3.14)n=1Xn (x)T0n (0) =n=1∞XBn apλn Xn (x).(3.15)n=1Пусть функции ϕ(x) и ψ(x), входящие в начальные условия, разлагаются в рядϕ(x) =∞Xαn Xn (x),ψ(x) =n=1∞Xβn Xn (x),(3.16)n=1Выясним,какимидолжны быть коэффициенты αn , βn . Для этого домножим (3.16) на Xm =π(2m−1)x скалярно в смысле L2 [0, l]:sin2lZl(ϕ, Xm ) = αmsin2Zl π(2m − 1)αmπ(2m − 1)x dx =xdx =1 − cos2l2l00αm=2Zldx =lαm,20откуда22αn = (ϕ, Xn ) =llZlϕ(x) sinπ(2n − 1)x dx.2l(3.17)π(2n − 1)x dx.2l(3.18)0Аналогично, для βn имеем представление:22βn = (ψ, Xn ) =llZlψ(x) sin0Таким образом, для коэффициентов An , Bn из представления (3.13) решения u(x, t), имеем:2An = αn =lZlϕ(x) sinπ(2n − 1)x dx;2l(3.19)0βn4Bn = √ =aπ(2n − 1)a λnZlψ(x) sinπ(2n − 1)x dx.2l(3.20)0Всё, что нам осталось сделать, – это подставить в формулу (3.13) найденные коэффициентыAn , Bn из (3.19), (4.4).c Д.С.