Семинар 6. Метод Фурье для однородного уравнения на отрезке (Семинары), страница 2

Ткаченко-6-УМФ – семинар – К 5 – 64. № 645Найти решение u(x, t) уравнения utt = a2 uxx ,u(0, t) = ux (l, t) = 0,+ sin 3πx.u(x, 0) = x, ut (x, 0) = sin πx2l2l(4.1)Данная задача – частный случай рассмотренной в №649m . Поэтому мы можем сразу воспользоваться формулами (3.13), (3.19), (4.4) для получения ответа.

Найдём по (3.19) коэффициенты An :2An =lZlx sinπ(2n − 1)x dx =2l0x=lZl2l(2n − 1)π 2l(2n − 1)π2x cosx +cosx dx == −l(2n − 1)π2l(2n − 1)π2lx=00"x=l #22224l(2n − 1)π 4l8ln+1==sinx (−1)(−1)n+1 .=22222π2l (2n − 1) π2ll(2n−1)π(2n−1)x=0(4.2)Для того, чтобы найти Bn , заметим,что заданная функция ψ(x) уже разложена в ряд по(2n−1)πфункциям Xn (x) = sinx :2ψ(x) = sinπx3πx+ sin.2l2l(4.3)2lСледовательно, β1 = β2 = 1, β3 = β4 = .

. . = 0, откуда, т.к. Bn = βn π(2n−1)a,B1 =2l,πaB2 =2l,3πaB3 = B4 = . . . = 0.(4.4)Подставим найденныеAn и Bn в ∞Pπ(2n−1)π(2n−1)aπ(2n−1)au(x, t) =sinx An cost + Bn sint .2l2l2ln=1Получим ответ:u(x, t) =∞Xn=1sinπ(2n − 1)x2l8lπ(2n − 1)an+1(−1)cost+(2n − 1)2 π 22lπ πa 2l2l3π3πa+sinx sint +sinx sint .aπ2l2l3aπ2l2l5. № 649Найти решение u(x, t) уравнения utt = a2 uxx ,ux (0, t) = ux (l, t) = 0,u(x, 0) = ϕ(x), ut (x, 0) = ψ(x)c Д.С. Ткаченко-7-(5.1)УМФ – семинар – К 5 – 6Шаг 1. Будем искать решение уравнения utt = a2 uxx с краевыми условиями ux (0, t) =ux (l, t) = 0 в видеU (x, t) = X(x)T(t).Сразу заметим, что краевые условия означают для функции X(x) следующее:X0 (0) = X0 (l) = 0.(5.2)Подставим U (x, t) в уравнение, получим:X(x)T”(t) = a2 X”(x)T(t)Предположив, что X(x)T(t) 6= 0, поделим это равенство на a2 X(x)T(t) 6= 0:−X”(x)T”(t)=− 2= λ.X(x)a T(t)Отсюда для функции X(x) имеем задачуX”(x) + λX(x) = 0,X0 (0) = X0 (l) = 0,(5.3)(5.4)а для функции T(t) – уравнение:T”(t) + λa2 T(t) = 0,t > 0.(5.5)Задача (5.3)–(5.4) есть задача Штурма–Лиувилля.

Общее решение уравнения (5.3) имеетвид√√X(x) = c1 sin( λ x) + c2 cos( λ x)при λ > 0;(5.6)√X(x) = c1 e −λ x + c2 e−X(x) = c1 x + c2• При λ > 0 имеем√−λ xпри λ < 0;при λ = 0;(5.7)(5.8)√√√√X0 (x) = c1 λ cos( λ x) − c2 λ sin( λ x)√0И из краевогоусловияX(0)=0следует,чтоc=0,⇒X(x)=ccos(λ x) ⇒12√√00λsin(λx).ПоэтомуизвторогокраевогоусловияX(l)=0получаем,чтоX(x)=−c2√λ l = πn откуда имеем бесконечное множество собственных чисел задачи Штурма–Лиувилля:π 2 n2λn = 2 ,n ∈ N.(5.9)lИм соответствует бесконечное множество собственных функций: πnx Xn (x) = cos,n ∈ N.(5.10)l• При λ < 0 имеем√√√√X0 (x) = c1 −λe −λ x − c2 −λe− −λ x√И из краевогоусловияX0 (0) = 0 следует, что c1 = c2 , ⇒ X(x) = 2c1 ch −λ x ⇒√√X0 (x) = 2c1 −λ sh( −λ x).

Поэтому из второго краевого условия X0 (l) = 0 получаем,что c1 = 0, т.е. задача Штурма–Лиувилля не имеет отрицательных собственных чиселc Д.С. Ткаченко-8-УМФ – семинар – К 5 – 6• При λ = 0 имеем из краевого условия X0 (0) = 0, что c1 = 0, ⇒ X(x) = c2 ⇒X0 (x) = 0), и второе краевое условие X0 (l) = 0 выполняется автоматически, т.е. даннаязадача Штурма–Лиувилля имеет собственное число, равное нулю и соответствующуюему собственную функцию:λ0 = 0,X0 (x) = 1.(5.11)Заметим, что эта пара (собственное число–собственная функция) может быть записанав том же виде, что и λn в (5.9) и Xn и (5.10)при n = 0:2 2λ0 = π l20 = 0,= 1.X0 = cos π0xlИтак, мы имеем бесконечное множество нетривиальных решенийλn =π 2 n2,l2Xn (x) = cos πnx ln ∈ {0, 1, 2, .

. .}.,задачи (5.3), (5.4). Стало быть, рассматривать задачу (5.5) имеет смысл только при λ = λn , имы получаем семейство задач:T”n (t) + λn a2 Tn (t) = 0,t > 0.(5.12)При n = 0 это уравнение вырождается вT”0 (t) = 0,t > 0.Его решение:T0 = A0 + B0 t,(5.13)где A0 , B0 – произвольные постоянные.При n > 0 решение этого линейного однородного уравнения второго порядка имеет вид: πna πna t + Bn sint ,t > 0,(5.14)Tn (t) = An cosllгде An , Bn – произвольные постоянные.Шаг 2. Решаем задачу (5.1).Будем искать решение задачи (5.1) в виде u(x, t) =∞PXn (x)Tn (t), т.е.n=0u(x, t) = A0 + B0 t +∞Xcos πnx n=1lAn cos πna πna t + Bn sint .ll(5.15)Из условий задачи мы ещё не использовали только начальные условияu(x, 0) = ϕ(x), ut (x, 0) = ψ(x).

Для функции u(x, t) искомого вида они означают:ϕ(x) = u(x, 0) =∞XXn (x)Tn (0) = A0 +n=0ψ(x) = ut (x, 0) =∞X∞XAn Xn (x),(5.16)n=1Xn (x)T0n (0) = B0 +n=0∞Xπnan=1lBn Xn (x).(5.17)Пусть функции ϕ(x) и ψ(x), входящие в начальные условия, разлагаются в ряд Фурье покосинусам:∞α0 Xπnxϕ(x) =+αn cos,2ln=1c Д.С. Ткаченко∞β0 Xπnxψ(x) =+βn cos,2ln=1-9-(5.18)УМФ – семинар – К 5 – 6где коэффициенты αn , βn имеют вид:2αn =lZlϕ(x) cos πnx l2βn =ldx,Zl0ψ(x) cos πnx ldx.0(Конечно, эти формулы для вычисления αn , βn мы могли получить тем же способом, что иформулы (3.17), (3.18), но мы воспользовались знанием стадартных формул для ряда Фурье).Таким образом, для коэффициентов An , Bn из представления (5.15) решения u(x, t), имеем:2An = αn =lZlϕ(x) cos πnx ldx n > 0,α02A0 ==2l0lβn2lBn ==πnaπnaZlϕ(x)dx n = 0;(5.19)0Zlψ(x) cos πnx ldx n > 0,β02B0 ==2l0Zlψ(x)dx n = 0.(5.20)0Всё, что нам осталось сделать, – это подставить в формулу (5.15) найденные коэффициентыAn , Bn из (5.19), (5.20).Метод Фурье для однородного параболического уравненияс однородными краевыми условиями.6.

№ 688Найти решение u(x, t) уравнения ut = a2 uxx ,u(0, t) = ux (l, t) = 0,u(x, 0) = ϕ(x)(6.1)Шаг 1. Будем искать решение уравнения ut = a2 uxx с краевыми условиями u(0, t) =ux (l, t) = 0 в видеU (x, t) = X(x)T(t).Сразу заметим, что краевые условия означают для функции X(x) следующее:X(0) = X0 (l) = 0.(6.2)Подставим U (x, t) в уравнение, получим:X(x)T0 (t) = a2 X”(x)T(t)Предположив, что X(x)T(t) 6= 0, поделим это равенство на a2 X(x)T(t) 6= 0:−X”(x)T0 (t)=− 2= λ.X(x)a T(t)Отсюда для функции X(x) имеем задачуX”(x) + λX(x) = 0,X(0) = X0 (l) = 0,c Д.С. Ткаченко-10-(6.3)(6.4)УМФ – семинар – К 5 – 6а для функции T(t) – уравнение:T0 (t) + λa2 T(t) = 0,t > 0.(6.5)Задача (6.3)–(6.4) есть задача Штурма–Лиувилля. Общее решение уравнения (6.3) имеетвид√√X(x) = c1 sin( λ x) + c2 cos( λ x)при λ > 0;(6.6)√X(x) = c1 e −λ x + c2 e−X(x) = c1 x + c2√−λ xпри λ < 0;при λ = 0;(6.7)(6.8)√• При λ > 0 имеемизкраевогоусловияX(0)=0,чтоc=0,⇒X(x)=csin(λ x) ⇒21√√X0 (x)√ = c1 λ cos( λ x).

Поэтому из второго краевого условия X0 (l) = 0 получаем,что λ l = π 12 + k откуда имеем бесконечное множество собственных чисел задачиШтурма–Лиувилля:2π(2n − 1)λn =,n ∈ N.(6.9)2lИм соответствует бесконечное множество собственных функций:π(2n − 1)x ,n ∈ N.(6.10)Xn (x) = sin2l√• При λ < 0 имеемизкраевогоусловияX(0)=0,чтоc=−c,⇒X(x)=2csh−λ x ⇒121√√X0 (x) = 2c1 −λ ch( −λ x). Поэтому из второго краевого условия X0 (l) = 0 получаем,что c1 = 0, т.е. задача Штурма–Лиувилля не имеет отрицательных собственных чисел• При λ = 0 имеем из краевого условия X(0) = 0, что c2 = 0, ⇒ X(x) = c1 x ⇒X0 (x) = c1 ).

Поэтому из второго краевого условия X0 (l) = 0 получаем, что c1 = 0, т.е.задача Штурма–Лиувилля не имеет собственного числа, равного нулю.2Итак, мы имеем бесконечное множество нетривиальных решений λn = π(2n−1), Xn (x) =2lx , n ∈ N задачи (6.3), (6.4). Стало быть, рассматривать задачу (3.5) имеет смыслsin π(2n−1)2lтолько при λ = λn , и мы получаем семейство задач:T0n (t) + λn a2 Tn (t) = 0,t > 0.(6.11)Решение этого линейного однородного уравнения первого порядка имеет вид:−Tn (t) = An e(π(2n−1)a)2t(2l)2(6.12)где An – произвольные постоянные.Шаг 2.

Решаем задачу (6.1).Будем искать решение задачи (6.1) в виде u(x, t) =∞PXn (x)Tn (t), т.е.n=1u(x, t) =∞Xsinn=1(π(2n−1)a)2π(2n − 1)−t(2l)2x An e.2l(6.13)Из условий задачи мы ещё не использовали только начальные условияu(x, 0) = ϕ(x). Для функции u(x, t) искомого вида они означают:ϕ(x) = u(x, 0) =∞XXn (x)Tn (0) =n=1∞XAn Xn (x),(6.14)n=1(6.15)c Д.С. Ткаченко-11-УМФ – семинар – К 5 – 6Пусть функция ϕ(x), входящая в начальное условие, разлагается в рядϕ(x) =∞Xαn Xn (x),(6.16)n=1Выясним, какими должны быть коэффициенты αn . Для этого домножим (6.16) на Xm =sin π − 12 + m x скалярно в смысле L2 [0, l]:Zl(ϕ, Xm ) = αmsin2Zl π(2n − 1)αmπ(2n − 1)x dx =1 − cosxdx =2l22l00αm=2Zldx =lαm,20откуда22αn = (ϕ, Xn ) =llZlϕ(x) sinπ(2n − 1)x dx.2l(6.17)0Таким образом, для коэффициентов An из представления (6.14) решения u(x, t), имеем:2An = αn =lZlϕ(x) sinπ(2n − 1)x dx.2l(6.18)0Всё, что нам осталось сделать, – это подставить в формулу (6.14) найденные коэффициентыAn из (6.18).7.

№ 687mНайти решение u(x, t) начально-краевой задачи ut = a2 uxx ,u(x, 0) = ϕ(x),u(0, t) = u(l, t) = 0.(7.1)Шаг 1. Будем искать решение уравнения ut = a2 uxx с краевыми условиями u(0, t) =u(l, t) = 0 в видеU (x, t) = X(x)T(t).Сразу заметим, что краевые условия означают для функции X(x) следующее:X(0) = X(l) = 0.Подставим U (x, t) в уравнение, получим:X(x)T0 (t) = a2 X”(x)T(t)Предположив, что X(x)T(t) 6= 0, поделим это равенство на a2 X(x)T(t) 6= 0:−c Д.С. ТкаченкоX”(x)T0 (t)=− 2= λ.X(x)a T(t)-12-(7.2)УМФ – семинар – К 5 – 6Отсюда для функции X(x) имеем задачуX”(x) + λX(x) = 0,X(0) = X(l) = 0,(7.3)(7.4)а для функции T(t) – уравнение:T0 (t) + λa2 T(t) = 0,t > 0.(7.5)Задача (7.3)–(7.4) есть задача Штурма–Лиувилля (мы уже изучали её в № 643).

Общеерешение уравнения (7.3) имеет вид√√X(x) = c1 sin( λ x) + c2 cos( λ x)при λ > 0;(7.6)√X(x) = c1 e −λ x + c2 e−X(x) = c1 x + c2√−λ xпри λ < 0;при λ = 0;(7.7)(7.8)• При λ > 0 существует бесконечное множество собственных чисел задачи Штурма–Лиувилля:π 2 n2λn = 2 ,n ∈ N.(7.9)lИм соответствует бесконечное множество собственных функций: πnx ,n ∈ N.(7.10)Xn (x) = sinl• При λ < 0 задача Штурма–Лиувилля не имеет нетривиальных решений.• При λ = 0 данная задача Штурма–Лиувилля не имеет нетривиальных решений.Итак, мы имеем бесконечное множество нетривиальных решений πnx π 2 n2λn = 2 , Xn (x) = sin, n∈Nllзадачи (7.3), (7.4). Стало быть, рассматривать задачу (7.5) имеет смысл только при λ = λn , имы получаем семейство задач:T0n (t) + λn a2 Tn (t) = 0,t > 0.(7.11)Решение этого линейного однородного уравнения второго порядка имеет вид:Tn (t) = An e−π 2 n2 a2tl2t > 0,(7.12)где An – произвольные постоянные.Шаг 2.

Решаем задачу (7.1).∞PБудем искать решение задачи (7.1) в виде u(x, t) =Xn (x)Tn (t), т.е.n=1u(x, t) =∞Xsinn=1 πnx lAn e−π 2 n2 a2tl2.(7.13)Из условий задачи мы ещё не использовали только начальное условиеu(x, 0) = ϕ(x). Для функции u(x, t) искомого вида они означают:ϕ(x) = u(x, 0) =∞XXn (x)Tn (0) =n=1c Д.С. Ткаченко∞Xn=1-13-An Xn (x),(7.14)УМФ – семинар – К 5 – 6Пусть функция ϕ(x), входящая в начальное условие, разлагается в ряд Фурье по синусам:ϕ(x) =∞Xbn sin πnx ln=12bn =lZlϕ(x) sin,где πnx l(7.15)dx.(7.16)0(7.17)Сопоставляя (7.14) и (7.15), (7.16) для коэффициентов An ≡ bn получим:2An ≡ b n =lZlϕ(x) sin πnx ldx.(7.18)0Всё, что нам осталось сделать, – это подставить в формулу (7.13) найденные коэффициентыAn из (7.18).8. № 687Найти решение u(x, t) начально-краевой задачи ut = a2 uxx ,u(x, 0) = Ax,u(0, t) = u(l, t) = 0.(8.1)Шаг 1.