Семинар 4. Задача для волнового уравнения на полупрямой. Метод продолжения и метод характерис (Семинары)

УМФ – семинар – К 5 – 4Волновое уравнение на полупрямой. Метод продолжения иметод характеристик№ 447, 449, 451, 448, 450, 452, 454, 453, 455, 456, 457, I, II, III, IV, V.1. Метод продолженияРассмотрим задачу Коши на прямой для простейшего случая волнового уравнения:x ∈ (−∞, +∞), t ∈ (0, +∞); utt − a2 uxx = f (x, t),u(x, 0) = ϕ(x),x ∈ (−∞, +∞);ut (x, 0) = ψ(x),x ∈ (−∞, +∞).(1.1)Вспомним утверждения, доказанные в номерах 445 и 446:№ 445.Усл.f (x, t) ≡ 0.Утв.а) из нечётности ϕ(−x) = −ϕ(x) и ψ(−x) = −ψ(x) функций ϕ и ψ следует, чтоu(0, t) = 0;б) из чётности ϕ(−x) = ϕ(x) и ψ(−x) = ψ(x) функций ϕ и ψ следует, чтоux (0, t) = 0.№ 446.Усл.ϕ(x), ψ(x) ≡ 0.Утв.а) из нечётности f (−x, t) = −f (x, t) по переменной x функции f следует, чтоu(0, t) = 0;б) из чётности f (−x, t) = f (x, t) по переменной x функции f следует, чтоux (0, t) = 0.Это наблюдение и легло в основу метода продолжения.

Продемонстрируем его на примерах,а затем сформулируем в виде теоремы.2. № 447Найти решение задачи для волнового уравнения на полупрямой в случае однородного краевогоусловия первого рода:2x > 0, t > 0; utt − a uxx = 0,u(x, 0) = ϕ(x),x > 0;(2.1)ut (x, 0) = ψ(x),x > 0;u(0, t) = 0,t > 0.Пока мы ещё не умеем решать задачи на полупрямой, зато всё знаем о решении задачи Кошина прямой.

Рассмотрим вспомогательную задачу на прямой:x ∈ (−∞, +∞), t > 0; vtt − a2 vxx = 0,v(x, 0) = ϕ1 (x),x ∈ (−∞, +∞);(2.2)vt (x, 0) = ψ1 (x),x ∈ (−∞, +∞),c Д.С. Ткаченко-1-УМФ – семинар – К 5 – 4где функции ϕ1 (x) и ψ1 (x) построены по функциям ϕ(x) и ψ(x) их нечётным продолжениемна всю числовую ось:при x > 0;при x > 0; ϕ(x), ψ(x),0,при x = 0;0,при x = 0;ϕ1 (x) =ψ1 (x) =(2.3)−ϕ(−x),при x < 0,−ψ(−x),при x < 0.Рассмотрим, каким условиям удовлетворяет v(x, t) на промежутке x ∈ (0, +∞).

Так как v –решение (2.2), то:1) из первого равенства (2.2) следует, чтоvtt − a2 vxx = 0,x ∈ (0, +∞), t > 0;2) из второго равенства (2.2) следует, чтоv(x, 0) = ϕ1 (x) ≡ ϕ(x),x ∈ (0, +∞), t > 0;3) из третьего равенства (2.2) следует, чтоvt (x, 0) = ψ1 (x) ≡ ψ(x),x ∈ (0, +∞), t > 0.Наконец, в силу утверждения из № 445, для решения v(x, t) вспомогательной задачи (2.2)справедливо соотношениеv(0, t) = 0,t > 0.Поэтому оказывается, что решение v(x, t) вспомогательной задачи (2.2) является также решением задачи (2.1) на полупрямой1 :u(x, t) ≡ v(x, t),x > 0, t > 0.А для решения задачи (2.2) на всей прямой у нас есть формула Даламбера, по которой вслучае f (x, t) ≡ 0 получаем:ϕ1 (x + at) + ϕ1 (x − at)1v(x, t) =+22ax+atZψ1 (s)ds.x−atОтвет:ϕ1 (x + at) + ϕ1 (x − at)1u(x, t) =+22ax+atZψ1 (s)ds,x−atгде функции ϕ1 (x) и ψ1 (x) определены равенствами (2.3).3.

№ 449Найти решение задачи для волнового уравнения на полупрямой в случае однородного краевогоусловия первого рода:utt − a2 uxx = f (x, t),x > 0, t > 0;u(x, 0) = 0,x > 0;(3.1)u(x,0)=0,x > 0;tu(0, t) = 0,t > 0.1То, что другого решения у задачи (2.1) нет, следует из соответствующей теоремы единственности.c Д.С.

Ткаченко-2-УМФ – семинар – К 5 – 4Пока мы ещё не умеем решать задачи на полупрямой, зато всё знаем о решении задачи Кошина прямой. Рассмотрим вспомогательную задачу на прямой:x ∈ (−∞, +∞), t > 0; vtt − a2 vxx = f1 (x, t),v(x, 0) = 0,x ∈ (−∞, +∞);(3.2)vt (x, 0) = 0,x ∈ (−∞, +∞),где функции f1 (x, t) построена по функции f (x, t) её нечётным продолжением по переменной x на всю числовую ось:при x > 0; f (x, t),0,при x = 0;f1 (x, t) =(3.3)−f (−x, t),при x < 0.Рассмотрим, каким условиям удовлетворяет v(x, t) на промежутке x ∈ (0, +∞). Так как v –решение (3.2), то:1) из первого равенства (3.2) следует, чтоvtt − a2 vxx = f (x, t),x ∈ (0, +∞), t > 0;2) из второго равенства (3.2) следует, чтоv(x, 0) = 0 ≡ ϕ(x),x ∈ (0, +∞), t > 0;3) из третьего равенства (3.2) следует, чтоvt (x, 0) = 0 ≡ ψ(x),x ∈ (0, +∞), t > 0.Наконец, в силу утверждения из № 446, для решения v(x, t) вспомогательной задачи (3.2)справедливо соотношениеv(0, t) = 0,t > 0.Поэтому оказывается, что решение v(x, t) вспомогательной задачи (3.2) является также решением задачи (3.1) на полупрямой2 :u(x, t) ≡ v(x, t),x > 0, t > 0.А для решения задачи (3.2) на всей прямой у нас есть формула Даламбера, по которой вслучае ϕ(x) = ψ(x) ≡ 0 получаем:1v(x, t) =2aZtx+a(t−τZ )f1 (s, τ )dsdτ.0 x−a(t−τ )Ответ:1u(x, t) =2aZtx+a(t−τZ )f1 (s, τ )dsdτ,0 x−a(t−τ )где функция f1 (x, t) определена равенством (3.3).2То, что другого решения у задачи (3.1) нет, следует из соответствующей теоремы единственности.c Д.С.

Ткаченко-3-УМФ – семинар – К 5 – 44. № 451Найти решение задачи для волнового уравнения на полупрямой в случае однородного краевогоусловия первого рода:utt − a2 uxx = f (x, t),x > 0, t > 0;u(x, 0) = ϕ(x),x > 0;(4.1)u(x,0)=ψ(x),x > 0;tu(0, t) = 0,t > 0.Рассмотрим две вспомогательные задачи на полупрямой:2v−av=0,x,t>0;wtt − a2 vxx = f (x, t),ttxxv(x, 0) = ϕ(x),x > 0;w(x, 0) = ϕ(x),иvt (x, 0) = ψ(x),x > 0;wt (x, 0) = ψ(x),v(0, t) = 0,t>0w(0, t) = 0,x, t > 0;x > 0;x > 0;t > 0.(4.2)Как легко заметить, функцияu(x, t) ≡ v(x, t) + w(x, t)является решением исходной задачи (4.1).C другой стороны, задачи (4.2) мы уже решили, соответственно, в номерах 447 и 449.

Воспользуемся их результатами:1ϕ1 (x + at) + ϕ1 (x − at)+v(x, t) =22ax+atZψ1 (s)ds,x−at1w(x, t) =2aZtx+a(t−τZ )f1 (s, τ )dsdτ,0 x−a(t−τ )где функции ϕ1 (x), ψ1 (x) ϕ(x),0,ϕ1 (x) =−ϕ(−x),и f1 (x, t) определены равенствамипри x > 0; ψ(x),при x = 0;0,ψ1 (x) =при x < 0,−ψ(−x),при x > 0; f (x, t),0,при x = 0;f1 (x, t) =−f (−x, t),при x < 0.при x > 0;при x = 0;при x < 0,(4.3)(4.4)Поэтому для решения u(x, t) ≡ v(x, t) + w(x, t) задачи (4.1) получаем:Ответ:ϕ1 (x + at) + ϕ1 (x − at)1u(x, t) =+22ax+atZ1ψ1 (s)ds +2ax−atZtx+a(t−τZ )f1 (s, τ )dsdτ,0 x−a(t−τ )где функции ϕ1 (x), ψ1 (x) и f1 (x, t) определены равенствами (4.3) и (4.4), соответственно.c Д.С. Ткаченко-4-УМФ – семинар – К 5 – 45. № 448Найти решение задачи для волнового уравнения на полупрямой в случае однородного краевогоусловия второго рода:utt − a2 uxx = 0,x > 0, t > 0;u(x, 0) = ϕ(x),x > 0;(5.1)u(x,0)=ψ(x),x > 0;tux (0, t) = 0,t > 0.Пока мы ещё не умеем решать задачи на полупрямой, зато всё знаем о решении задачи Кошина прямой.

Рассмотрим вспомогательную задачу на прямой:x ∈ (−∞, +∞), t > 0; vtt − a2 vxx = 0,v(x, 0) = ϕ1 (x),x ∈ (−∞, +∞);(5.2)vt (x, 0) = ψ1 (x),x ∈ (−∞, +∞),где функции ϕ1 (x) и ψ1 (x) построены по функциям ϕ(x) и ψ(x) их чётным продолжениемна всю числовую ось:ϕ(x),при x > 0;ψ(x),при x > 0;ϕ1 (x) =ψ1 (x) =(5.3)ϕ(−x),при x < 0,ψ(−x),при x < 0.Рассмотрим, каким условиям удовлетворяет v(x, t) на промежутке x ∈ (0, +∞). Так как v –решение (5.2), то:1) из первого равенства (5.2) следует, чтоvtt − a2 vxx = 0,x ∈ (0, +∞), t > 0;2) из второго равенства (5.2) следует, чтоv(x, 0) = ϕ1 (x) ≡ ϕ(x),x ∈ (0, +∞), t > 0;3) из третьего равенства (5.2) следует, чтоvt (x, 0) = ψ1 (x) ≡ ψ(x),x ∈ (0, +∞), t > 0.Наконец, в силу утверждения из № 446, для решения v(x, t) вспомогательной задачи (5.2)справедливо соотношениеvx (0, t) = 0,t > 0.Поэтому оказывается, что решение v(x, t) вспомогательной задачи (5.2) является также решением задачи (5.1) на полупрямой3 :u(x, t) ≡ v(x, t),x > 0, t > 0.А для решения задачи (5.2) на всей прямой у нас есть формула Даламбера, по которой вслучае f (x, t) ≡ 0 получаем:ϕ1 (x + at) + ϕ1 (x − at)1v(x, t) =+22ax+atZψ1 (s)ds.x−atОтвет:ϕ1 (x + at) + ϕ1 (x − at)1u(x, t) =+22ax+atZψ1 (s)ds,x−atгде функции ϕ1 (x) и ψ1 (x) определены равенствами (5.3).3То, что другого решения у задачи (5.1) нет, следует из соответствующей теоремы единственности.c Д.С.

Ткаченко-5-УМФ – семинар – К 5 – 46. № 450Найти решение задачи для волнового уравнения на полупрямой в случае однородного краевогоусловия второго рода:utt − a2 uxx = f (x, t),x > 0, t > 0;u(x, 0) = 0,x > 0;(6.1)ut (x, 0) = 0,x > 0;ux (0, t) = 0,t > 0.Пока мы ещё не умеем решать задачи на полупрямой, зато всё знаем о решении задачи Кошина прямой. Рассмотрим вспомогательную задачу на прямой:x ∈ (−∞, +∞), t > 0; vtt − a2 vxx = f1 (x, t),v(x, 0) = 0,x ∈ (−∞, +∞);(6.2)vt (x, 0) = 0,x ∈ (−∞, +∞),где функции f1 (x, t) построена по функции f (x, t) её чётным продолжением по переменнойx на всю числовую ось:f (x, t),при x > 0;f1 (x, t) =(6.3)f (−x, t),при x < 0.Рассмотрим, каким условиям удовлетворяет v(x, t) на промежутке x ∈ (0, +∞).

Так как v –решение (6.2), то:1) из первого равенства (6.2) следует, чтоvtt − a2 vxx = f (x, t),x ∈ (0, +∞), t > 0;2) из второго равенства (6.2) следует, чтоv(x, 0) = 0 ≡ ϕ(x),x ∈ (0, +∞), t > 0;3) из третьего равенства (6.2) следует, чтоvt (x, 0) = 0 ≡ ψ(x),x ∈ (0, +∞), t > 0.Наконец, в силу утверждения из № 446, для решения v(x, t) вспомогательной задачи (6.2)справедливо соотношениеvx (0, t) = 0,t > 0.Поэтому оказывается, что решение v(x, t) вспомогательной задачи (6.2) является также решением задачи (6.1) на полупрямой4 :u(x, t) ≡ v(x, t),x > 0, t > 0.А для решения задачи (6.2) на всей прямой у нас есть формула Даламбера, по которой вслучае ϕ(x) = ψ(x) ≡ 0 получаем:1v(x, t) =2aZtx+a(t−τZ )f1 (s, τ )dsdτ.0 x−a(t−τ )Ответ:1u(x, t) =2aZtx+a(t−τZ )f1 (s, τ )dsdτ,0 x−a(t−τ )где функция f1 (x, t) определена равенством (6.3).4То, что другого решения у задачи (6.1) нет, следует из соответствующей теоремы единственности.c Д.С.

Ткаченко-6-УМФ – семинар – К 5 – 47. № 452Найти решение задачи для волнового уравнения на полупрямой в случае однородного краевогоусловия второго рода:utt − a2 uxx = f (x, t),x > 0, t > 0;u(x, 0) = ϕ(x),x > 0;(7.1)u(x,0)=ψ(x),x > 0;tux (0, t) = 0,t > 0.Рассмотрим две вспомогательные задачи на полупрямой:2v−av=0,x,t>0;wtt − a2 vxx = f (x, t),ttxxv(x, 0) = ϕ(x),x > 0;w(x, 0) = ϕ(x),иvt (x, 0) = ψ(x),x > 0;wt (x, 0) = ψ(x),vx (0, t) = 0,t>0wx (0, t) = 0,x, t > 0;x > 0;x > 0;t > 0.(7.2)Как легко заметить, функцияu(x, t) ≡ v(x, t) + w(x, t)является решением исходной задачи (7.1).C другой стороны, задачи (7.2) мы уже решили, соответственно, в номерах 448 и 450.

Воспользуемся их результатами:1ϕ1 (x + at) + ϕ1 (x − at)+v(x, t) =22ax+atZψ1 (s)ds,x−at1w(x, t) =2aZtx+a(t−τZ )f1 (s, τ )dsdτ,0 x−a(t−τ )где функции ϕ1 (x), ψ1 (x) и f1 (x, t) определены равенствамиϕ(x),при x > 0;ψ(x),ϕ1 (x) =ψ1 (x) =ϕ(−x),при x < 0,ψ(−x),f (x, t),при x > 0;f1 (x, t) =f (−x, t),при x < 0.при x > 0;при x < 0,(7.3)(7.4)Поэтому для решения u(x, t) ≡ v(x, t) + w(x, t) задачи (7.1) получаем:Ответ:ϕ1 (x + at) + ϕ1 (x − at)1u(x, t) =+22ax+atZ1ψ1 (s)ds +2ax−atZtx+a(t−τZ )f1 (s, τ )dsdτ,0 x−a(t−τ )где функции ϕ1 (x), ψ1 (x) и f1 (x, t) определены равенствами (7.3) и (7.4), соответственно.Результаты номеров 447 – 452 сформулируем в виде теоремы:c Д.С.