А.Н. Боголюбов, Ю.В. Мухартова, Н.Е. Шапкина - Обобщенные функции, страница 3

(Такого вида продолжение элементов имеет местодля строго липшицевых областей).Теорема 4.3 Если область Ω̄ можно представить в видеΩ̄ = ∪Ni=1 Ω̄i ,где Ωi — подобласти Ω, допускающие продолжение элементов типа (4.9-4.10) на болееширокие области, то W21 (Ω) компактно вкладывается в L2 (Ω).Обратимся теперь к вопросу о следах элеметов u(x) ∈ W21 (Ω) на поверхностях размерности n−1. Пусть u(x) — гладкая функция из W21 (Ω) и Γ — область гиперплоскости x1 = 0.15Обозначим Qδ (Γ) = {x : 0 < x1 < δ; x0 = (x2 , ..., xn ) ∈ Γ}, где δ > 0 таково, что Qδ (Γ) ∈ Ω.Тогда по формуле Ньютона-ЛейбницаZx1u(x1 , x0 ) − u(0, x0 ) =∂u(τ, x0 )dτ∂τ0откуда получаемu2 (0, x0 ) =Zx1−u(x) +020∂u(τ, x )dτ∂τПроинтегрируем это равенство по Qδ (Γ):Zu2 (0, x0 )dx = δZu2 (0, x0 )dx0 =ΓQδ (Γ)Z≤2Qδ (Γ)u2 dx + 2≤2kuk2L2 (Qδ (Γ))dx+2ΓZdx00ZδZδ x10Zδ∂u(τ, x0 )∂τZx1−u(x) +Zx10ΓQδ (Γ)ZZ0002∂u(τ, x )dτdx ≤∂τ2∂u(τ, x ) dτdx1 ≤∂τ02dτ dx1 =2kuk2L2 (Qδ (Γ))0+δ2Zu2x1 dxQδ (Γ)Таким образом, мы получаем неравенство2ku(0, x0 )k2L2 (Γ) ≤ kuk2L2 (Qδ (Γ)) + δkuk2W 1 (Qδ (Γ))2δ(4.11)Это неравенство останется справедливым для любой u ∈ W21 (Qδ (Γ)).

Для такой функцииu(x) можно построить последовательность гладких функций u(m) (x) , которые сходятсяк u(x) по норме W21 (Qδ (Γ)). Отсюда и из неравенства (4.11) следует, что последовательность (m)u (0, x0 ) будет сходиться в L2 (Γ). Функцию, определяемую на Γ как предел последовательности u(m) (0, x0 ) по норме L2 (Γ), естественно считать следом u(x) на Γ. Определенный таким образом след элемента не зависит от выбора последовательности гладкихфункций, аппроксимирующих u(x).Утверждения, доказанные для плоских кусков Γ, переносятся на случай, когда Γ естьобласть на гладкой гиперповерхности, в том числе и на гладкой части границы области Ω[4]:Теорема 4.4 Для элементов u ∈ W21 (Ω) определены следы на областях Γ гладких гиперповерхностей как элементы L2 (Γ).

Если граница ∂Ω области Ω (или ее часть ∂Ω1 )есть гладкая (кусочно-гладкая) поверхность, то на ней определены следы u ∈ W21 (Ω)как элементы L2 (∂Ω) (соответственно L2 (∂Ω1 )) и справедливы неравенства1222kukL2 (∂Ω) ≤ C1kukL2 (Ωδ ) + δkux kL2 (Ωδ )δ16(4.12)ku(x − ln) −u(x)k2L2 (∂Ω)Z≤ C2 lu2x dx, 0 ≤ l ≤ δ(4.13)Ωlгде Ωδ есть множество точек области Ω, удаленных от ∂Ω на расстояние, не превышающее δ ("пограничная полоса ширины δ"), δ — достаточно малое число, n — единичнаявнешняя по отношению к Ω нормаль к ∂Ω.55.1Обобщенные решения уравнений эллиптического типаПостановка краевых задачБудем рассматривать уравнения следующего вида:!nnnnXXXX∂∂u∂u∂fi (x)L[u] =+ ai (x)u(x) ++ a(x)u = f (x) +(5.1)aij (x)bi (x)∂x∂x∂x∂xijiii=1j=1i=1i=1в некоторой области Ω, где aij = aji и при ∀x ∈ Ω̄ для этих коэффициентов имеет местосвойство равномерной эллиптичности:2νξ ≤nX22aij (x)ξi ξj ≤ µξ , ξ =i,j=1nXξi2 , ∀ξ ∈ Rn ,i=1где ν и µ — некоторые положительные постоянные.

Будем считать, что коэффициентыai (x), bi (x), a(x) — ограниченные в Ω функции. Функции aij , ai , fi , вообще говоря, необязаны иметь даже обобщенные производные. Если они имеют производные, уравнение(5.1) можно записать в традиционной форме:L[u] =nXaij uxi xj +i,j=1где ãi = bi +nX∂aijnXãi uxi + ãu = F(5.2)i=1nX∂ainX∂fi (x)+ ai , ã = a +, F = f (x) +.∂xj∂xi∂xii=1i=1Будем рассматривать в области Ω следующие краевые задачи:j=1задачу Дирихле: u|S = ψ(p), p ∈ S, где S — граница области Ω;nX∂u ∂uзадачу Неймана:= ψ(p), где≡aij uxj cos(nx̂i ), n — единичная внешняя∂N S∂Ni,j=1нормаль к S, nx̂i — угол между n и осьюOxi ;∂uтретью краевую задачу:+ σ(p)u = ψ(p).∂NSВо всех этих задачах определению подлежит только функция u, все остальные функции,равно как и области, в которых должны выполняться уравнения, считаются заданными.Все перечисленные задачи можно свести к задачам с однородными граничными условиями17(ψ ≡ 0).

Действительно, если ввести новую неизвестную функцию v(x) = u(x) − Φ(x), гдеΦ(x) — произвольная функция, удовлетворяющая только краевому условию, то для vполучится задача с соответствующим однородным краевым условием. При этом v должнабыть решением уравненияL[v] = F̃ +nX∂ F̃ii=1где F̃ = f −nXbi Φxi − aΦ и F̃i = fi −i=15.2nX∂xi,aij Φxj − ai Φ.j=1Обобщенные решения, принадлежащие пространству W21 (Ω)Рассмотрим задачу Дирихле: n!nnnX ∂XXX∂fibi uxi + au = f +, x∈Ωaij uxj + ai u +∂x∂xiii=1i=1i=1j=1 u| = 0(5.3)SnX2Пусть aij = aji , νξ ≤aij ξi ξj ≤ µξ 2 для любого ξ ∈ Rn , где ν, µ = const > 0,i,j=1vu nuXta2i ≤ µ1 ,i=1vu nuXtb2i ≤ µ1 ,i=1vu nuXt (ai − bi )2 ≤ µ2 , µ3 ≤ a(x) ≤ µ4 .i=1Пусть f и fi квадратично суммируемы по Ω:kf kL2 (Ω) < ∞, kf kL2 (Ω)vu nXu2tfi = i=1 <∞L2 (Ω)Формально из тождестваZ−ΩnX∂fiL[u] − f −∂xii=1!ηdx = 0, ∀η ∈ Ċ ∞ (Ω)(5.4)с помощью однократного интегрирования по частям (применяя формулы Грина) получим!!!Z XZnnnnXXXaij uxj ηxi + ai uηxi −L(u, η) ≡bi uxi η − auη dx =−f η +fi ηxi dxΩi=1j=1i=1Ωi=1(5.5)Определение 5.1 Назовем обобщенным решением из W21 (Ω) уравнения в задаче (5.3)функцию u ∈ W21 (Ω), удовлетворяющую интегральному тождеству (5.5) при любойη(x) ∈ Ċ ∞ (Ω).18Если коэффициенты aij , ai имеют ограниченные обобщенные производные первого∂fiпорядка, функции fi имеют обобщенные производные∈ L2 (Ω), а u(x) ∈ W21 (Ω) ∩∂xiW22 (Ω0 ), ∀Ω̄0 ⊂ Ω, то обобщенное решение удовлетворяет уравнению в задаче (5.3) почтивсюду в Ω.

Однако тождество (5.5) имеет смысл и тогда, когда aij , ai и fi недифференцируемы, а относительно u(x) известна лишь принадлежность W21 (Ω). Поэтому определение 5.1действительно является расширением общепринятого понятия решения уравнения.Определение 5.2 Назовем обобщенным решением задачи (5.3) из пространства W21 (Ω)◦◦функцию u ∈W21 (Ω), удовлетворяющую тождеству (5.5) при ∀η(x) ∈W21 (Ω).5.3Исследование разрешимости задачи Дирихле в пространствеW21 (Ω) (три теоремы Фредгольма)◦Введем в W21 (Ω) новое скалярное произведениеn ZX[u, v] =aij uxj vxi dx(5.6)i,j=1 ΩВ силу тех условий, что были наложены на функции aij (x), норма kuk1 =p[u, u] экви-валентна норме kux kL2 (Ω) и исходной норме kukW21 (Ω) .

Тождество (5.5) можно записать ввидеnX[u, η] + l(u, η) = −(f, η)L2 (Ω) +(fi , ηxi )L2 (Ω) ,(5.7)i=1гдеnXZl(u, η) ≡ai uηxi −i=1ΩnX!bi uxi η − auη dx(5.8)i=1Очевидно, что l(u, η) является билинейной формой на W21 (Ω) ⊗ W21 (Ω). В самом делеl(αu1 + βu2 , η) = αl(u1 , η) + βl(u2 , η)l(u, αη1 + βη2 ) = αl(u, η1 ) + βl(u, η2 )Оценим модуль l(u, η)ZnXΩi=1|l(u, η)| ≤|ai | · |u| · |ηxi | +nX!|bi | · |uxi | · |η| + |a| · |u| · |η| dx ≤i=1vvu nu nZZZuXuX22tt≤ µ1|u||ηxi | dx + |η||uxi | dx + max(|µ3 |, |µ4 |) |u| · |η|dx ≤Ωi=1Ωi=1Ω≤ µ1 kukL2 (Ω) kηx kL2 (Ω) + kux kL2 (Ω) kηkL2 (Ω) + max(|µ3 |, |µ4 |)kukL2 (Ω) kηkL2 (Ω) ≤19≤ C · kuk1 · kηk1(5.9)◦Если мы фиксируем произвольное u ∈W21 (Ω) и будем рассматривать l(u, η) для всех◦возможных η ∈W21 (Ω), то получим ни что иное, как линейный функционал над элементами◦η в пространстве W21 (Ω), причем в силу оценки (5.9) этот функционал является ограниченным.

В дальнейшем это позволит нам сформулировать обобщенную постановку задачи◦(5.3) в виде операторного уравнения в пространстве W21 (Ω).Приведем одну полезную теорему о свойствах линейных ограниченных функционаловнад элементами гильбертовых пространств.Определение 5.3 Линейное подпространство M гильбертова пространства h называютзамкнутым, если для любой сходящейся последовательности {uj } элементов из M пределэтой последовательности также принадлежит M .Теорема 5.4 (Рисса) Для любого ограниченного функционала l на гильбертовом пространстве h найдется один единственный элемент w ∈ h: l(u) = (u, w), u ∈ h.Доказательство. Пусть M = {u ∈ h : l(u) = 0}, тогда M — замкнутое линейноеподпространство пространства h.

Если M = h, то можно взять w = 0. Если M 6= h, то∃u0 ∈ h: l(u0 ) 6= 0. Не ограничивая общности можем положить l(u0 ) = 1. Этот элементможно представить в виде u0 = v0 + w0 , где v0 ∈ M , w0 ∈ M ⊥ (ортогональное дополнениеM ). Тогда (u0 , w0 ) = kw0 k2 6= 0, так как в случае w0 = 0 u0 ∈ M , то есть l(u0 ) = 0, чтоневозможно.Пусть u — произвольный элемент h, тогда v = u−l(u)u0 ∈ M , так как l(v) = l(u)−l(u) = 0.Поэтому0 = (v, w0 ) = (u, w0 ) − l(u)(u0 , w0 ) ⇒l(u) =(u, w0 )1∀u ∈ h ⇒ w = w02kw0 kkw0 k2Такой элемент w единственный, так как если ∃w̃ 6= w, тоl(u) = (u, w̃) ⇒ (u, w − w̃) = 0 ∀u ∈ h ⇒ w − w̃ = 0,что невозможно.

Теорема Рисса позволяет сделать важный вывод об ограниченной билинейной формеl(u, η):◦существует линейный ограниченный оператор A, действующий в пространстве W21 (Ω),такой что◦l(u, h) = [Au, η], ∀η ∈W21 (Ω),20причем этот оператор A единственный.◦В самом деле, если зафиксировать произвольное u ∈W21 (Ω), то по теореме Рисса найдется◦единственный элемент v ∈W21 (Ω), такой чтоl(u, η) = [v, η]Так как u было выбрано произвольно, и для каждого u единственным образом определеносвое v, то существует оператор A, ставящий элемент v в соответствие элементу u:Au = v,и этот оператор определен однозначно.

Так как l(u, η) — линейная по аргументу u форма,тоl(αu1 + βu1 , η) = [A(αu1 + βu1 ), η] = αl(u1 , η) + βl(u2 , η) == α[Au1 , η] + β[Au2 , η] = [αAu1 + βAu2 , η],то есть оператор A линейный. Покажем, что он ограниченный. Используя неравенствоКоши-Буняковского, получаем|[Au, η]| ≤ kAuk1 · kηk1Следовательно, если kηk1 = 1, тоkAuk1 = sup |[Au, η]| = sup |l(u, η)| ≤ Ckuk1kηk1 =1kηk1 =1По определению нормы оператораkAk = sup kAuk1 ≤ Ckuk1 =1Сумма−(f, η)L2 (Ω) +nX!(fi , ηxi )L2 (Ω)◦также определяет линейный функционал в W21 (Ω)i=1◦над η, и в силу теоремы Рисса существует единственный элемент F ∈W21 (Ω):n◦X−(f, η)L2 (Ω) +(fi , ηxi )L2 (Ω) = [F, η], ∀η ∈W21 (Ω)i=1Таким образом, тождество (5.7) эквивалентно тождеству◦[u, η] + [Au, η] = [F, η], ∀η ∈W21 (Ω)(5.10)или же операторному уравнениюu + Au = F21(5.11)◦в пространстве W21 (Ω).◦Покажем, что A — вполне непрерывный оператор в W21 (Ω).