А.Н. Боголюбов, Ю.В. Мухартова, Н.Е. Шапкина - Обобщенные функции, страница 5

Введем в W21 (Ω) новое скалярноепроизведениеZnXΩi,j=1[u, v] =!aij uxj v̄xi + uv̄ dxПорождаемая этим скалярным произведением норма эквивалентна исходной норме пространства W21 (Ω) в силу условий, наложенных на коэффициенты aij . Тождество (5.26) можнопреобразовать к виду[u, η] + [Au, η] − λ[Bu, η] + [Cu, η] = [F, η],где операторы A, B и C определяются своими линейными по первому аргументу и косолинейными по второму аргументу формами!Z Xn[Au, η] = −bi uxi η̄ + (a + 1)uη̄ dxΩ(5.27)i=1Z[Bu, η] = −uη̄dx(5.28)σuη̄ds(5.29)ΩZ[Cu, η] =Sа элемент F пространстваW21 (Ω)определяется равенствомZ[F, η] = − f η̄dx(5.30)ΩИспользуя компактность вложенияW21 (Ω)в L2 (Ω) и L2 (S), можно показать, что опера-торы A, B и C вполне непрерывны.

Таким образом, мы приходим к операторному уравениюв пространстве W21 (Ω):u + Au − λBu + Cu = F,для которого, как и для рассмотренного в случае задачи Дирихле, справедливы тритеоремы Фредгольма.5.6Задача Неймана для уравнения ЛапласаИсследуем задачу Неймана для оператора Лапласа в качестве примера. ∆u = f (x), x ∈ Ω∂u = ϕ(p), p ∈ S∂n S28(5.31)Сформулируем обобщенную постановку задачи: нужно найти такую функцию u ∈ W21 (Ω),которая для любой η ∈ W21 (Ω) удовлетворяет тождествуZZZux η̄x dx = − f η̄dx + ϕη̄dsSΩΩРассмотрим соответствующую спектральную задачуZZux η̄x dx = −λ uη̄dx, ∀η ∈ W21 (Ω)(5.32)ΩΩВ данном случае она совпадает со спектральной задачей для сопряженного оператора.Очевидно, что λ = 0 является собственным значением, которому соответствует собственнаяфункция, равная константе.

Поэтому исходная задача разрешима только в том случае,когда выполнено условиеZZ[F, w0 ] = −f w̄0 dx +Ωϕw̄0 ds = 0Sгде w0 — собственная функция спектральной задачи для сопряженного оператора. Таккак w0 = const, то условие разрешимости задачи приобретает видZϕds = 0SЕсли оно выполнено, то задача (5.31) имеет обобщенное решение из W21 (Ω), определенноес точностью до аддитивной константы.Если поверхность S является поверхностью Ляпунова, функция f (x) непрерывна вместес первыми производными, а ϕ(p) непрерывна на S, то полученное обобщенное решениебудет классическим.Список литературы[1] В.С.

Владимиров Уравнения математической физики. - М.: Наука , Главная редакцияфизико-математической литературы, 1981 г.[2] А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин Элементы теории функций и функциональногоанализа. -М.: Наука, 1976 г.[3] Ф. Рисс, Б. Секефальви-Надь Лекции по функциональному анализу. -М.Мир, 1979 г.[4] О.А. Ладыженская Краевые задачи математической физики. -М.: Наука, 1973 г.29[5] С.Л. Соболев Некоторые применения функционального анализа в математическойфизике.

Изд.-во ЛГУ, 1950 г.[6] О.А. Ладыженская, В.А. Солонников, Н.Н. Уральцева Линейные и квазилинейныеуравнения параболического типа, М.:"Наука 1967 г.[7] Morrey C.B. Multiple Integrals in the Calculus of Variations, Springer-Verlag, BerlinHeidelberg-New York, 1966.[8] Stummel F. Rand- und Eigenwertaufgaben in Sobolewschen Räumen.// Berlin-HeidelbergNew York: Springer, 1969.[9] В.Т.

Волков, А.Г. Ягола Интегральные уравнения. Вариационное исчисление. Курслекций. Учебное пособие — М.:КДУ, 2008.30.