А.Н. Боголюбов, Ю.В. Мухартова, Н.Е. Шапкина - Обобщенные функции (1125173), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

В частности, его подпространство W21 (Ω) используется при исследовании задачДирихле.3Обобщенные производные порядка k и их свойства.Пусть Ω — ограниченная область в n-мерном евклидовом пространстве Rn . ИспользуяравенствоZ uΩ∂kv∂kuk+1+(−1)v∂xk11 ...∂xknn∂xk11 ...∂xknndx = 0; k1 + k2 + ... + kn = k(3.1)справедливое для любых двух бесконечно дифференцируемых в области Ω функций u(x)и v(x), где v(x) ∈ Ċ ∞ (Ω), можно ввести понятие обобщенной производной функции u(x),а именно:Определение 3.1 Назовем функцию ωk1 ...kn , интегрируемую по любой строго внутренней∂kuподобласти Ω0 области Ω, обобщенной производной видафункции u, интегри∂xk11 ...∂xknnруемой по любой Ω0 , если для любой функции v(x) ∈ Ċ ∞ (Ω) имеет место тождествоZ ∂kvk+1u k1+ (−1) vωk1 ...kn dx = 0; k1 + k2 + ...

+ kn = k(3.2)∂x1 ...∂xknnΩОбобщенные производные сохраняют много, но не все свойства обычных классическихпроизводных [4],[5] :81. Пусть функции u1 и u2 имеют обобщенные производные видаТогда∂kв области Ω.∂xk11 ...∂xknn∂ k (C1 u1 + C2 u2 )∂ k u1∂ k u2=C+C12∂xk11 ...∂xknn∂xk11 ...∂xknn∂xk11 ...∂xknnгде C1 и C2 — произвольные константы.∂lu∂kv2. Пусть v =иw=в области Ω. Тогда∂xl11 ...∂xlnn∂xk11 ...∂xknnw=∂ k+l u∂xk11 +l1 ...∂xknn +ln(3.3)(3.4)3. Обобщенная производная не зависит от порядка дифференцирования.4.

Для сохранения правила∂(u1 u2 )∂u2 ∂u1= u1+u2(3.5)∂xi∂xi∂xi∂ukнужно потребовать, чтобы uk и(k = 1, 2) были квадратично интегрируемы в смысле∂xiЛебега по ∀Ω̄0 ⊂ Ω.∂ku5. Из существования обобщенных производных видане следует существование∂xk11 ...∂xknnпроизводных более низкого порядка. Но если функция u(x) имеет обобщенные производныеk-го порядка всех видов, и p-е степени (p > 1) модулей самой функции u(x) и этихпроизводных интегрируемы (в смысле Лебега) по ∀Ω̄0 ⊂ Ω, то u имеет все обобщенныепроизводные порядка ниже k, принадлежащие Lp (Ω0 ).6. Обобщенные производные определяются с точностью до множества меры нуль и "привязаны"к области Ω.

Их следует рассматривать не как одну функцию, а как целый классэквивалентных функций, различающихся на множестве меры нуль.Определение 3.2 Функция f (x), заданная на некотором отрезке [a, b], называется абсолютно непрерывной на нем, если для любого ε > 0 найдется такое δ > 0, что, какова быни была конечная система попарно непересекающихся интервалов (ak , bk ), k = 1, 2, ..., nс суммой длин, меньшей δnX(bk − ak ) < δ,k=1выполнено неравенствоnX|f (bk ) − f (ak )| < εk=17. Пусть функция u зависит от одной переменной x ∈ [0, l] и является абсолютно непрерывduной на [0, l]. Тогда она имеет почти всюду обычную производную, интегрируемую наdx[0, l], причемZxdu(τ )dτ ; x1 , x2 ∈ [0, l](3.6)u(x) = u(x1 ) +dτx19duявляется обобщенной производной функцииdxu на [0, l].

Верно утверждение: если u ∈ L1 (0, l), имеет на (0, l) обобщенную производнуюdu∈ L1 (0, l) (то есть u ∈ W11 (0, l)), то u(x) эквивалентна абсолютно непрерывной на [0, l]dxфункции, для которой справедливо равенство (3.6).∂u8. Пусть u(x) ∈ L1 (Ω) и ∃∈ L1 (Ω). Тогда u(x) абсолютно непрерывна по x1 при почти∂x1всех значениях x0 ≡ (x2 , ..., xn ).∂u∈ L1 (Ω), i = 1, 2, ..., n и пусть y(x) = (y1 (x), y2 (x), ..., yn (x))9. Пусть u(x) ∈ L1 (Ω),∂xi— невырожденная замена переменных в области Ω̄: yi — непрерывные в Ω̄ функции, ∂y ∂yiограничены, якобиан ≥ C > 0 в области Ω̄ и обратныеобобщенные производные∂xk∂xфункции x = x(y) имеют те же свойства.

Тогда ũ(y) = u(x(y)) ∈ L1 (Ω̃), где Ω̃ — область∂ ũ∈ L1 (Ω̃), причемизменения y, кроме того ∃∂yk∂ ũ∂u ∂xi=(3.7)∂yk∂xi x=x(y) ∂ykОпределенная таким образом производнаяТеорема 3.3 Если к интегрируемой на области Ω функции u(x) можно приблизитьсяс помощью последовательности k раз непрерывно дифференцируемых в Ω̄ функций us (x),s = 1, 2, ... в том смысле, что для любой v(x) ∈ Ċ ∞ (Ω)Zlim (us − u)vdx → 0s→∞Ωи если ∂ k us ∂xk1 ...∂xkn 1nLp (Ω)p 1/pZ ∂ k us dx=≤ C, ∂xk1 ...∂xkn 1Ωnk∂ku∂uто функция u(x) имеет обобщенную производную k1, причем ≤ ∂xk1 ...∂xkn ∂x1 ...∂xknn1nLp (Ω)C, p ≥ 1.Теорема остается справедливой, если us ∈ Lp (Ω) и обладают обобщенными производнымиуказанного типа.3.1ПримерыПример 3.1.

Пусть функция u(x) определена на отрезке [0, 1] и всюду на этом отрезке,кроме точки x0 = 1/2 является бесконечно дифференцируемой. Пусть в точке x0 этафункция имеет разрыв первого рода. Имеет ли она обобщенные производные на отрезке[0, 1]?10Решение. По определению обобщенной производной первого порядка, должно выполняться равенствоZ1 dvu(x) + w1 v dx = 0, ∀v ∈ Ċ ∞ [0, 1].dx(3.8)0Так как при x ∈ [0, 1/2) и x ∈ (1/2, 1] функция u(x) гладкая, тоZ1dvu(x) dx =dxZ1/2Z1dvdvu(x) dx + u(x) dx =dxdx001/2Z1/2Z1dudu= u(1/2 − 0)v(1/2) − v(x) dx − u(1/2 + 0)v(1/2) − v(x) dx =dxdx01/2Z1=−v(x)dudx − v(1/2)[u]x=1/2 ,dx0где [u]x=1/2 — скачек функции u(x) в точке разрыва x = 1/2. Так как в общем случаеv(1/2) 6= 0, то такой функции w1 , что выполняется равенство (3.8) для любой v ∈ Ċ ∞ [0, 1]не существует.

Следовательно, функция u(x) не имеет даже обобщенных производных.1, 0 < ε < 1. Имеет ли эта функция обобщенные производ|x|εpв круге |x| = x21 + x22 ≤ 1, и если да, то найти их.Пример 3.2. Пусть u(x) =ные вида ux1 и ux2Решение. Покажем сначала, что функция u(x) интегрируема по указанной области:Z1dx =|x|εZ2πZ1dϕ0|x|≤11ρdρ < ∞,ρε0так как 0 < ε < 1. Здесь x1 = ρ cos ϕ и x2 = ρ sin ϕ.

Пусть v(x) — произвольная функцияиз Ċ ∞ (|x| < 1). Рассмотрим интегралZ1 ∂vdx =|x|ε ∂x1Z2πZ1dϕ0|x|≤1Z2π=Z1cos ϕdϕ01ρdρ ερ∂v sin ϕ ∂vcos ϕ−=∂ρρ ∂ϕ0∂vρ1−ε dρ −∂ρ0Z1ρ−ε dρ0Z2πsin ϕ∂vdϕ =∂ϕ0 1Z2πZ1ZZ2πρ=1ϕ=2π1−ε−ε−ε= dϕ ρ cos ϕv ρ=0 − (1 − ε)ρ cos ϕvdρ − ρ dρ sin ϕv|ϕ=0 − v cos ϕdϕ =00Z2π=Z1dϕ0ερ0−ε0Z2πcos ϕvdρ =Z1dϕ00Z x1ρ cos ϕvρdρ =ε 2+ε vdxε 2+ερ|x|0|x|≤111x1x2. Аналогичным образом можно показать, что ux2 = −ε 2+ε .2+ε|x||x|При этом рассматриваемую функцию u(x) нельзя сделать непрерывной (и даже ограничен-Таким образом ux1 = −εной) с помощью ее преобразования на множестве меры нуль.4Теоремы вложенияПусть B1 и B2 — два банаховых пространства, обладающих тем свойством, что все элементыB1 одновременно принадлежат и пространству B2 , и выполняется неравенствоkukB2 ≤ C · kukB1для любого u ∈ B1 , где C > 0 — некоторая константа. Тогда говорят, что пространство B1вкладывается (ограниченно) в пространство B2 .

Если же при этом всякое ограниченноев B1 множество оказывается компактным в B2 , то такое вложение пространства B1 в B2называют компактным.Для Соболевских пространств Wml (Ω) доказан достаточно широкий круг теорем вложения [4]-[6]. В данном пособии будут приведены только те из них, которые понадобятся приисследовании существования и единственности решения краевых задач для уравненийэллиптического типа.Определение 4.1 Говорят, что норма k·k1 эквивалентна норме k·k2 , если существуюттакие числа α > 0 и β > 0, чтоα · k · k2 ≤ k · k1 ≤ β · k · k2◦Пусть Ω — ограниченная область в Rn . В пространстве W21 (Ω) можно ввести новоескалярное произведениеZ[u, v] =ΩZ Xn∂u ∂vdx,ux vx dx ≡∂xk ∂xkk=1(4.1)Ωпорождающее норму, эквивалентную исходной. Очевидно, что [u, u] ≤ (u, u)W21 (Ω) для◦любого u ∈W21 (Ω), поэтому для доказательства эквивалентности норм достаточно показать,◦что ∀u ∈W21 (Ω) справедливо неравенство Пуанкаре - ФридрихсаZZ22u dx ≤ CΩ u2x dxΩ(4.2)Ωгде CΩ — постоянная, которая зависит только от области Ω.◦Доказательство.

Пусть u ∈W21 (Ω). К этому элементу можно приблизиться по норме12◦W21 (Ω) с помощью функций {um } ⊂W21 (Ω). Если для um неравенство (4.2) справедливо,то, переходя в нем к пределу по норме W21 (Ω) при m → ∞, получим соответствующее◦неравенство для u ∈W21 (Ω).

Эта процедура называется "замыканием по норме".Пусть u ∈ Ċ ∞ (Ω). Заключим область Ω в какой-либо параллелепипед Π = {x : 0 < xi <li ; i = 1, ..., n}. Пусть l1 — наименьшая из длин его сторон. Продолжим u нулем вне областиΩ. ТогдаZx10u(x1 , x ) =∂u(y1 , x0 )dy1 ,∂y1000где x = {x2 , ..., xn } ∈ Π1 = {x : 0 < xi < li ; i = 2..., n}. Следовательно22ZZl1Z Zx1Zl1Z Zl1 0∂u(y1 , x )∂uu2 dx = dx1dy1 dx0 ≤ x1 dx1dy1 dx0 =∂y1∂y10Π0Π10l2= 12Z ∂u∂x1Π102dx,(4.3)Πоткуда получаем CΩ2 =l12.2При выводе (4.3) было использовано неравенство Коши- Буняков-ского для оценки внутренноего интеграла:x22Zx1Zx1 Z 1 ∂u(y , x0 ) ∂u10dy1 dx ≤ dy1dy1∂y1∂y1000Для доказательства следующей ключевой теоремы потребуется неравенство Пуанкаре:◦для любой u ∈W21 (Π), Π = {x : 0 < xi < li ; i = 1, ..., n} справедливо2ZZ XZn1 n2udx +lk2 u2xk dx,u dx ≤|Π|2k=1ΠΠ(4.4)Πгде |Π| — объем параллелепипеда Π.

Неравенство (4.4) достаточно проверить для гладкихфункций u ∈ C 1 (Π). Пусть yi = xi /li , ũ(y) = u(l1 y1 , ..., ln yn ). Таким образом, достаточнопоказать, что2Z2Zũ dy ≤ Π̃nũdy  +2Π̃Z XnΠ̃ũ2yk dy,k=1где Π̃ = {y : 0 < yi < 1; i = 1, ..., n}.Будем считать точку y ∈ Π̃ заданной и выберем произвольную точку y 0 ∈ Π̃. ТогдаZy(1)Zy(2)ũ(y 0 ) − ũ(y) =ũτ1 (τ1 , y2 , ..., yn )dτ1 +ũτ2 (y10 , τ2 , y3 , ..., yn )dτ2 + ...yy (1)13(4.5)Zy(n)+0, τn )dτn ,ũτn (y10 , y20 , ..., yn−1(4.6)y (n−1)0где y = (y1 , ..., yn ), y 0 = (y10 , ..., yn0 ), y (1) = (y10 , y2 , ..., yn ), ..., y (n−1) = (y10 , y20 , ..., yn−1, yn ),y (n) = y 0 . Возведем обе части равенства (4.6) в квадрат: 1Z1Zũ2 (y 0 ) − 2ũ(y 0 )ũ(y) + ũ2 (y) ≤ nũ2τ1 dτ1 + ... + ũ2τn dτn00и проинтегрируем полученное равенство по y ∈ Π̃ и y 0 ∈ Π̃2ZZZ Xn2ũdy2 ũ dy − 2≤nũ2yk dy,Π̃Π̃Π̃k=1откуда получаем (4.5).Теорема 4.2 (Ф.

Реллиха) Пусть Ω — ограниченная область. Тогда ограниченное мно◦◦жество в W21 (Ω) компактно в L2 (Ω). (При этом говорят, что пространство W21 (Ω)вкладывается в L2 (Ω) компактно.)◦Доказательство. Продолжим все элементы W21 (Ω) нулем вне Ω и рассмотрим их напараллелепипеде Π = {x : 0 < xi < li ; i = 1, ..., n}, считая Ω ⊂ Π. При этом мы получим◦элементы W21 (Π), нормы которых k · kL2 (Π) и k · kW21 (Π) совпадают с k · kL2 (Ω) и k · kW21 (Ω)соответственно.Разобьем Π на N n элементарных параллелепипедов wi со сторонами lk /N , k = 1, ..., n, игранями, параллельными координатным плоскостям.

Для любой u ∈ W21 (wi ) справедливонеравенство Пуанкаре:2Z1 u dx ≤|wi |2wiZnudx +2wi2Z Xn lkwi k=1Nu2xk dxСледовательноZΩu2 dx =ZΠnu2 dx =N ZXi=1 wi2ZZ XNnnX1 n2u dx ≤udx +lk2 u2xk dx2|wi |2Ni=1k=1wi(4.7)Ω◦Пусть {u(m) } — ограниченная последовательность в W21 (Ω), то есть ku(m) kW21 (Ω) ≤ C, гдеC— некоторая положительная константа. Нужно показать, что из последовательности{u(m) } можно выделить подпоследовательность, которая сходится сильно в пространствеL2 (Ω).

Так как последовательность {u(m) } ограничена в L2 (Ω), то по теореме 2.9 она14является слабо компактной. Не ограничивая общности, предположим, что вся последовательность {u(m) } слабо сходится в L2 (Ω). Тогда, применяя неравенство (4.7), для любыхp, q > 0 получимku(p) − u(q) k2L2 (Ω) =2ZNnX1 (u(p) − u(q) )2 dx ≤(u(p) − u(q) )dx +|w|ii=1ZwiΩ+nmax(lk2 )ku(p) − u(q) k2W 1 (Ω)222N k(4.8)Второе слагаемое в (4.8) выбором N может быть сделано сколь угодно малым сразу длявсех p и q. Первое слагаемое стремится к нулю при p и q, стремящихся к бесконечности, ификсированном разбиении параллелепипеда Π за счет слабой сходимости последовательности {u(m) } в L2 (Π), так какZ(p)(q)(p)(q)(u−u)dx=limu−u,1=0limL2 (wi )p→∞p→∞q→∞q→∞wiТаким образом, ku(p) − u(q) kL2 (Ω) → 0 при p, q → ∞, то есть последовательность {u(m) }сходится в L2 (Π), а значит и в L2 (Ω), что и требовалось доказать.

Пусть область Ω допускает продолжение элементов W21 (Ω) на какую-либо более широкуюобласть Ω̃ ⊃ Ω̄ в смыслеkukL2 (Ω̃) ≤ C(Ω, Ω̃) · kukL2 (Ω)(4.9)kux kL2 (Ω̃) ≤ C 0 (Ω, Ω̃) · kukW21 (Ω)(4.10)где константы C и C 0 зависят только от областей Ω и Ω̃. Тогда такого вида продолжениевозможно и на параллелепипед Π ⊃ Ω̄. Очевидно, W21 (Π) вкладывается компактно в L2 (Π),поэтому для областей Ω, допускающих указанное продолжение (4.9-4.10), пространствоW21 (Ω) компактно вкладывается в L2 (Ω).

Характеристики

Список файлов книги