А.Н. Боголюбов, Ю.В. Мухартова, Н.Е. Шапкина - Обобщенные функции

Обобщенные решения краевых задачРассмотрение классических решений, то есть решений, имеющих все непрерывныепроизводные нужного порядка и удовлетворяющих уравнению, граничным и начальнымусловиям, накладывает существенные ограничения на исходные данные задачи. Вместе стем при выводе основных дифференциальных уравнений было показано, что если исходитьне из дифференциальных, а из интегральных уравнений, то класс решений, а значит, икласс исходных краевых задач, можно существенно расширить. Такие решения называютобобщенными. В зависимости от рассматриваемых интегральных уравнений получаютразличные классы обобщенных решений.1Некоторые сведения об интеграле ЛебегаОпределение 1.1 Множество A ⊂ Rn имеет меру нуль, если для любого ε > 0 ономожет быть покрыто шарами суммарного объема меньше ε.Всякое подмножество множества меры нуль есть множество меры нуль; объединениене более чем счетного числа множеств меры нуль есть множество меры нуль.Говорят, что некоторое свойство выполняется почти всюду в области Ω ⊂ Rn , еслимножество точек Ω, на которых оно не выполняется, имеет меру нуль.Определение 1.2 Функцию называют измеримой, если она почти всюду совпадает спределом последовательности кусочно-непрерывных функций (почти всюду конечных),сходящейся почти всюду.Если f и g — измеримые функции, то f + g, f · g, max(f, g), min(f, g), |f |, f /g (g 6= 0) —измеримые функции.Определение 1.3 Множество A ⊂ Rn называется измеримым, если его характеристическая функция 1, x ∈ AχA (x) = 0, x∈¯Aизмерима.1(1.1)Определение 1.4 Пусть {fk }, k = 1, 2, ...

— неубывающая последовательность кусочнонепрерывных функций, интегралы Римана от которых ограничены:ZZ ZZ... fk (x1 , x2 , ..., xn )dx1 dx2 ...dxn < C, k = 1, 2, ...fk (x)dx ≡RnRnПусть функция f (x) совпадает почти всюду с пределом такой последовательности {fk }.RПредел неубывающей ограниченной последовательности интегралов fk (x)dx будем назыRnвать интегралом Лебега функции f :ZZf (x)dx = limfk (x)dx(1.2)k→∞RnRnКласс таких функций f (x) обозначают L+ . Определение корректно, если интеграл Лебегафункции f ∈ L+ не зависит от выбора последовательности {fk }. Можно показать ([1],стр.18), что если f ∈ L+ , f (x) ≥ 0 почти всюду и {fk } — последовательность, определяющаяинтеграл Лебега функции f , тоZlimk→∞Rnfk (x)dx ≥ 0Пусть {gj } — некоторая другая постедовательность, определяющая интегралRf dx.

ТогдаRnlim (fk − gj ) = f − gj ≥ 0 почти всюду, откуда следует, чтоk→∞Zlimk→∞RnZ(fk − gj )dx = limk→∞RnZfk dx −gj dx ≥ 0,Rnто естьZlimj→∞RnZgj dx ≤ limk→∞Rnfk dxАналогичным образом получимZZlimk→∞Rnfk dx ≤ limj→∞Rngj dxТаким образомZlimk→∞RnZfk dx = limj→∞Rngj dxОпределение 1.5 Вещественная функция f (x) называется интегрируемой по Лебегу(суммируемой), если она представима в видеf = f1 − f2 , f1,2 ∈ L+2При этом интеграл Лебега функции f имеет видZZZf dx = f1 dx − f2 dxRnRnRn(1.3)Класс интегрируемых по Лебегу функций f (x) обобзначают L.Покажем, что определение корректно. Пусть функцию f можно также представить в виде0f = f10 − f20 , f1,2∈ L+ . Тогда f1 − f2 = f10 − f20 , и следовательно f1 + f20 = f10 + f2 , причемf1 + f20 ∈ L+ , f10 + f2 ∈ L+ иZ(f1 +f20 )dxZ=RnRnZZ(f10 + f2 )dxНо тогда(f1 − f2 )dx =Rn(f10 − f20 )dxRnчто и требовалось доказать.Если A — измеримое множество, то существует интегралZZdx = χA dx,A(1.4)Rnназываемый Лебеговой мерой множества A.Комплекснозначная функция f (x) называется интегрируемой по Лебегу, если Ref иImf интегрируемы по Лебегу.

При этомZZZf dx ≡ Ref dx + i Imf dxRnRn(1.5)RnБудем говорить, что функция f (x) интегрируема по Лебегу на измеримом множестве A,то есть f ∈ L(A), если f · χA ∈ L. ЧислоZZf (x) · χA (x)dx = f (x)dx(1.6)ARnназовем интегралом Лебега функции f по множеству A.Свойства интеграла Лебега. (Доказательства можно найти в книгах Ф. Рисса и Б.Секефальви-Надя [3], глава II, а также Колмогорова А.Н. и Фомина С.В. [2], глава V)R1. Если f ∈ L, |f (x)|dx = 0, то f (x) = 0 почти всюду и обратно.Rn2. Если f ∈ L, то |f | ∈ L; если f измерима и |f | ∈ L, то f ∈ L. При этомZ Z f (x)dx ≤ |f (x)|dxRnRn3(1.7)3.

Если g ∈ L, f — измерима и |f | ≤ g почти всюду, то f ∈ L и ZZ f (x)dx ≤ g(x)dx(1.8)RnRn4. Если f, g ∈ L, λ и µ — комплексные числа, то λf + µg ∈ L иZZZ{λf + µg}dx = λ f dx + µ gdxRnRnRn(1.9)5. Абсолютная непрерывность интеграла Лебега: если f ∈ L(G), то ∀ε > 0 ∃G0 ⊂ G:Z|f (x)|dx < ε(1.10)G\G06. Теорема Лебега (предельный переход под знаком интеграла Лебега):Теорема 1.6 Пусть последовательность измеримых функций {fk (x)} сходится почтивсюду к функции f (x). Если ∃g(x) ∈ L: |fk (x)| ≤ g(x) почти всюду, то f (x) ∈ L иZZlimfk (x)dx = f (x)dx(1.11)k→∞RnRn7. Теорема Б. Леви:Теорема 1.7 Если неубывающая почти всюду последовательность {fk (x)} ⊂ L сходитсяRпочти всюду к функции f (x), и последовательность интегралов fk (x)dx ограничена,Rnто f ∈ L иZZlimk→∞Rnf (x)dxfk (x)dx =(1.12)Rn8. Замена переменных в интеграле Лебега: пусть x = x(y) ∈ C 1 (Ḡ1 ), то естьxk = xk (y1 , ..., yn ), k = 1, 2, ..., n, xk ∈ C 1 (Ḡ1 ),где y ∈ Ḡ1 . Пусть при этом все значения x принадлежат области G, а преобразованиеявляется взаимно однозначным: G G1 , D(x/y) — якобиан перехода.

Для того, чтобыf (x) ∈ L(G), необходимо и достаточно, чтобыf (x(y)) · D(x/y) ∈ L(G1 )При этомZZf (x)dx =Gf (x(y))|D(x/y)|dyG19. Теорема Фубини о перемене порядка интегрирования:4(1.13)Теорема 1.8 Если функция f (x, y), заданная на Rn+m , x ∈ Rn , y ∈ Rm , измерима исуществует повторный интеграл Лебега функции |f (x, y)|Z{|f (x, y)|dx}dy < ∞,(1.14)Rn+mто f ∈ L. Обратно, если f ∈ L, тоZZf (x, y)dx иf (x, y)dyRn(1.15)Rmсуществуют почти всюду, интегрируемы по Лебегу, иZ ZZ ZZf (x, y)dy dx =f (x, y)dx dy ={f (x, y)dx}dyRn2RmRmRn(1.16)Rn+mОсновные функциональные пространстваОпределение 2.1 Множество E абстрактных элементов называется вещественным(комплексным) линейным нормированным пространством, если1) E — линейная система с умножением на вещественные (соответственно — комплексные) числа;2) каждому элементу u ∈ E ставится в соответствие вещественное число kuk, называемое нормой и удовлетворяющее аксиомам:a) kuk ≥ 0, причем kuk = 0 только для нулевого элемента системы E,b) ku + vk ≤ kuk + kvk для любых u, v ∈ E (неравенство треугольника)с) kλuk = |λ| · kuk.В таком пространстве можно ввести естественную метрику: расстояние между элементамиu и v определим какρ(u, v) = ku − vkОпределение 2.2 Говорят, что последовательность {un } ⊂ E сходится к элементуu ∈ E по норме E (или же сходится сильно), если kun − uk → 0 при n → ∞.Сильную сходимость обозначают как un → u.Определение 2.3 Пространство E называется полным, если для любой последовательности {un } ⊂ E, такой что kup −uq k → 0 при p, q → ∞, существует предельный элементu ∈ E.

Полное линейное нормированное простренство называют банаховым.5Определение 2.4 Гильбертовым пространством H называют частный случай банаховапространства, в котором для любой пары элементов u, v ∈ H определено скалярноепроизведение (u, v) — число, удовлетворяющее аксиомамa) (u, v) = (v, u), где черта означает комплексное сопряжение,b) (u1 + u2 , v) = (u1 , v) + (u2 , v),c) (λu, v) = λ(u, v)d) (u, u) ≥ 0, причем (u, u) = 0 только если u является нулевым элементом.pПри этом в качестве нормы элементов пространства H берут kuk = (u, u), ∀u ∈ H.Для любых u, v ∈ H справедливо неравенство Коши-Буняковского|(u, v)| ≤ kuk · kvkВ гильбертовом пространстве H кроме сильной сходимости рассматривают также слабуюсходимость:Определение 2.5 Последовательность {un } ⊂ H называется слабо сходящейся в H кэлементу u ∈ H, если (un − u, v) → 0 при n → ∞ для любого v ∈ H.Для слабой сходимости принято обозначение un * u.Пусть Ω — некоторая область в евклидовом пространстве Rn .Определение 2.6 Совокупность всех измеримых функций f (x), определенных на области Ω и имеющих конечный интеграл (в смысле Лебега)kf kLp (Ω) =ZΩ|f (x)|p dx1/p(2.1)с каким-либо фиксированным p ≥ 1, образует полное пространство Банаха, если нормув ней определить равенством (2.1).

Это пространство обозначают Lp (Ω).Элемент Lp (Ω) — это не одна какая-то функция, а целый класс функций, эквивалентныхна Ω, то есть совпадающих почти всюду на Ω. Особую роль в приложениях играютпространства L1 (Ω) и L2 (Ω). Пространство L2 (Ω) является гильбертовым пространствомсо скалярным произведением:Z(f, g)L2 (Ω) =f (x)ḡ(x)dx,(2.2)Ωгде черта над функцией g(x) означает комплексное сопряжение (это обозначение будетиспользоваться и далее по тексту, поэтому больше расшифровывать его не будем).6Определение 2.7 Множество M , расположенное в банаховом пространстве B, называется компактным в B, если всякая бесконечная последовательность элементов из Mсодержит сильно сходящуюся подпоследовательность. Если пределы всех таких подпоследовательностей принадлежат M , то M называется компактным в себе.Будем обозначать множество всех непрерывных на Ω функций, имеющих на Ω непрерывные производные до порядка p включительно, как C p (Ω), и множество всех бесконечнодифференцируемых функций, определенных на Ω, как C ∞ (Ω).Определение 2.8 Носителем функции f (x) называют множество supp(f ), такое чтоf (x) ≡ 0, если x не принадлежит supp(f ).Ċ ∞ (Ω) — подмножество C ∞ (Ω), состящее из функций с компактным носителем, которыйрасположен строго внутри Ω.Теорема 2.9 Замкнутое ограниченное множество в гильбертовом пространстве H слабокомпактно в себе, то есть из любой принадлежащей этому множеству последовательности можно выделить слабо сходящуюся к элементу того же множества подпоследовательность.Пусть область Ω является областью с "не слишком плохой границей", то есть принадлежит классу так называемых "строго липшицевых областей"[7].

К ним относятся, например,области с гладкой границей, а также звездные области (область Ω называется звездной,если уравнение ее границы ∂Ω можно задать с помощью непрерывной положительнойфункции f (θ), где θ — точка единичной сферы, в виде x = x0 +f (θ)nθ , где nθ — единичныйвектор, соответствующий точке θ).Рассмотрим совокупность C l (Ω̄) всех функций f (x), имеющих в Ω̄ (то есть в области Ωвместе с ее границей ∂Ω) непрерывные производные по x1 ,...,xn до порядка l включительнои введем в C l (Ω̄) нормуkf kWml (Ω)m 1/ml XZ Xk∂ f= ∂xk1 ...∂xkn Ωв которой m ≥ 1, аXk=0 (k)1(2.3)nесть суммирование всех возможных производных порядка k.(k)Множество C l (Ω̄) не является полным относительно указанной нормы. Рассмотрим в немвсе возможные фундаментальные последовательности, в которых сходимость понимаетсякак сходимость по норме (2.3) и пополним C l (Ω̄) пределами этих последовательностей.Такая процедура называется пополнением по норме.Определение 2.10 Банахово пространство, получаемое пополнением множества C l (Ω̄)по норме (2.3), называют пространством Соболева и обозначают Wml (Ω).7◦Подпространство Wml (Ω) пространства Wml (Ω) получается замыканием по норме (2.3)множества Ċ ∞ (Ω).Важный для приложений частный случай пространства Wml (Ω) – пространство СоболеваW21 (Ω) получается пополнением множества всех непрерывных функций f (x), имеющих вобласти Ω̄ непрерывные частные производные 1-го порядка, по нормеkf kW21 (Ω) =ZΩ2 ! 1/2n X ∂f (x) dx|f (x)|2 + ∂xk (2.4)k=1Это пространство является гильбертовым пространством со скалярным произведением!ZnX∂f (x) ∂ḡ(x)f (x)ḡ(x) +(f, g)W21 (Ω) =dx(2.5)∂xk ∂xkk=1Ωи играет важную роль при изучении краевых задач для уравнений второго порядка различ◦ных типов.