Лекция 7 - Синтез КУ (PDF-лекции)

Лекция 7. Синтез корректирующих устройствсистем автоматического регулирования7.1. Постановка задач синтезаНа предыдущих лекциях мы детально обсудили понятие качества систем управления и ввели основные количественные показатели качества. Мы установили, что системауправления должна:1) быть устойчивой;2) обладать адекватной реакцией на входные эталонные сигналы;3) она должна быть как можно менее чувствительной к изменению параметров(быть робастной);4) иметь по возможности минимальную установившуюся ошибку;5) быть в состоянии компенсировать влияние нежелательных возмущений.Замкнутая система, которая изначально обладала бы оптимальным качеством, бездополнительной коррекции ее характеристик – это весьма редкий случай. Обычно бываетневозможно удовлетворить одновременно все требования, предъявляемые к качеству системы, поэтому возникает проблема поиска компромисса между рядом требований, средикоторых могут быть и противоречащие друг другу.Иногда желаемое качество системы можно обеспечить просто путем настройки еепараметров.

Однако часто этого оказывается недостаточно, и для достижения желаемогорезультата должна быть изменена структура системы.Поэтому в общем виде задача синтеза заключается в таком выборе структурысистемы, параметров и конструкции устройств, чтобы обеспечивались устойчивость,требуемые показатели переходных процессов и заданная точность регулирования.Если структура системы известна, то параметры входящих в нее устройств могутбыть выбраны с помощью рассмотренных ранее методов оценки качества регулированияпо степени устойчивости, колебательности, установившейся ошибки.Если структура системы полностью неизвестна, то используют методы синтеза,при которых выделяется некоторая часть системы, называемая неизменяемой.

К неизменяемой части относят объект, исполнительные элементы регулятора или управляющейсистемы а в ряде случаев усилители и чувствительные элементы. Параметры этих устройств являются заданными или их определяют из энергетических расчетов и требований,предъявляемых к статическим характеристикам системы. Кроме перечисленных элементов, регуляторы и управляющие системы обычно имеют корректирующие устройства,структура и параметры которых могут быть выбраны при синтезе. Корректирующие устройства относятся к изменяемой части системы. К изменяемой части системы иногда присоединяют также чувствительные элементы и промежуточные усилители. При таком подходе решение задачи синтеза сводится к нахождению структуры и параметров изменяемойчасти системы, причем, главным образом, корректирующих устройств.

Таким образом,корректирующее устройство – это элемент или схема, дополнительно вводимые в систему управления с целью исправления ее динамических характеристик.Общая задача синтеза предусматривает выбор и расчет всех элементов регулятораисходя из условий оптимального управления объектом. Методы решения задачи синтеза втакой постановке будут рассмотрены в следующих лекциях.7.2. Исследование типовых законов управленияРанее нами были рассмотрены типовые законы управления. Для выбора того или иного закона управления необходимо знать, какое влияниеоказывает каждое из слагаемых, входящее в законуправления, на устойчивость и качество системы1Рис. 7.1.

Типовая схема системыуправленияуправления. Для выяснения этого вопроса рассмотрим систему управления (рис. 7.1) притиповых законах управления, когда передаточная функция объекта имеет вид1.W0 ( s )  2 2T s  2Ts  1П-закон. При П-законе передаточная функция регулятора W p ( s )  k п и передаточ-ная функция разомкнутой системы имеет видkп.T s  2Ts  1Характеристическое уравнение замкнутой системыT 2 2  2T  1  k п  0имеет корниW ( s )  W p ( s )W0 ( s ) 2 2 2T  (2T ) 2  4T 2 (1  k п )     2  (1  k п ).1,2 2T 2TОтсюда видно, что если объект управления является колебательным звеном(0    1) , то замкнутая система при любом k п  0 является также колебательным звеном,т.е.

имеет два комплексно сопряженных корня2  j (1  k п )  1,2 .TTПри этом степень колебательностиIm i  maxRe i(1  k п )   2с ростом k п растет.Когда объект является апериодическим звеном 2-го порядка (  1) , замкнутая система также является апериодическим звеном 2-го порядка при k п   2  1 и колебательным звеном при k п   2  1 .Передаточные функции ошибки по задающему воздействию и по возмущениюимеют вид1T 2 s 2  2Ts  1,Weg ( s )  2 21  W ( s ) T s  2Ts  1  k п W0 ( s )1Wef ( s )  2 2,1  W ( s ) T s  2Ts  1  k пи для коэффициентов позиционной ошибки имеем11,.C g 0  Weg (0) C f 0  Wef (0) 1  kп1  kпОтсюда видно, что при П-регуляторе рассматриваемая система является статической, и статическая ошибка убывает с ростом k п . Однако начиная с k п   2  1 с ростомk п увеличивается степень колебательности.Таким образом, можно сделать вывод: с увеличением k п качество системы в установившемся режиме улучшается, а в переходном режиме ухудшается.kПИ-закон.

В этом случае W p ( s )  k п  и , передаточная функция разомкнутой сисsтемы имеет видk п s  kиW ( s )  W p ( s )W0 ( s ) 2 2s (T s  2Ts  1)2и характеристическое уравнение имеет видT 2 3  2T2  (1  k п )  k и  0Коэффициенты этого уравнения положительны, следовательно, необходимое условие устойчивости выполнено.

Определитель Гурвица 2-го порядка2Tkи2  2 2T (1  k п )  T 2 kиT1  kп22(1  k п ) больше нуля и система устойчива, а при k и (1  k п ) меньше илиTTравен нулю и система неустойчива. Следовательно, увеличение коэффициента при интегральном члене приводит к неустойчивости системы. Естественно ожидать, что с увеличением k и в области устойчивости запасы устойчивости убывают, а степень колебательности увеличивается.Так как передаточные функции ошибки имеют вид1s (T 2 s 2  2Ts  1)Weg ( s ) ,1  W ( s ) s (T 2 s 2  2Ts  1)  k п s  k и W0 ( s )sWef ( s) ,2 21  W ( s) s (T s  2Ts  1)  k п s  kито коэффициенты ошибок имеют видпри k и C g 0  Weg (0)  0,C g1 C f 0  Wef (0)  0,Weg ( s )sCf1 s 0Wef ( s)s1 ,kиs 01.kèТаким образом, при включении интегрального слагаемого в закон управления система становится астатической, и с увеличением k и уменьшается скоростная ошибка.

Однако при этом ухудшается качество системы в переходном режиме, и с определенного k исистема становится неустойчивой.ПД-закон. При этом законе W p ( s )  k п  k д s , а передаточная функция разомкнутойсистемыW ( s )  W p ( s )W0 ( s ) k п  kд s,T s  2Ts  12 2и характеристическое уравнение имеет видT 2 2  (2T  k д )  1  k п  0Корнями этого уравнения являются1,2  (k д  2T )  (k д  2T ) 2  4T 2 (1  k п )2T 2Когда подкоренное выражение неотрицательно, т.е.(k д  2T ) 2  4T 2 (1  k п )  0,.илиk д  2T ( k п  1   ) ,система управления является апериодическим звеном 2-го порядка.Если выполняется противоположное неравенство, т.е.k д  2T ( k п  1   )3(7.1)(7.2)то система является колебательным звеном, а степень устойчивости  и степень колебательности  соответственно принимают вид  min Re i k д  2T,2T 2  maxIm i4T (1  k п )1Re i(k д  2T ) 2Следовательно, при выполнении условия (7.2) с ростом k д степень устойчивостивозрастает, а степень колебательности убывает.

При выполнении условия (7.1) степеньустойчивости имеет видk д  2T  (k д  2T ) 2  4T 2 (1  k п )2T 2и, продифференцировав это выражение по k д , получим,k д  2Td1   0,122dk д 2T 2 kTTk(2)4(1)дп Следовательно, в этом случае степень устойчивости с ростом k д убывает.Передаточные функции ошибки имеют видT 2 s 2  2Ts  11Weg ( s )  2 2,1  W ( s ) T s  (2T  k д ) s  1  k п W0 ( s )1 2 2Wef ( s ) ,1  W ( s ) T s  (2T  kд ) s  1  k пи для коэффициентов позиционной ошибки имеемC g 0  Weg (0) 1,1  kп1.1  kпТаким образом, введение в закон управления дифференцирующего члена улучшаеткачество системы в переходном режиме. На качество системы в установившемся режиме(при постоянных внешних воздействиях) он никакого влияния не оказывает.

Но следуетиметь в виду, что при чрезмерном увеличении k д качество системы в переходном режимеможет ухудшиться.kПИД-закон. В этом случае W p ( s )  k п  k д s  и , передаточная функция разомкнуsтой системы имеет видk s  k s 2  kèW ( s )  W p ( s )W0 ( s )  2ï 2 ä(T s  2Ts  1) sи характеристическое уравнение имеет видT 2 3  (2T  k ä )2  (1  k ï )  k è  0 .Коэффициенты этого уравнения положительны, следовательно, необходимое условие устойчивости выполнено. Определитель Гурвица 2-го порядка2T  k äkè2  (2T  k ä )(1  k ï )  T 2 k è2T1  kïC f 0  Wef (0) выбором kä всегда можно сделать положительным.Таким образом, введение в закон управления интегрирующего члена может сделатьустойчивую систему неустойчивой, а введение дифференцирующего члена может сделатьнеустойчивую систему устойчивой.Передаточные функции ошибки имеют вид4Weg ( s) 1(T 2 s 2  2Ts  1) s, 2 31  W ( s) T s  (2T  k ä ) s 2  (1  k ï ) s  k è W0 ( s )s 2 3,1  W ( s ) T s  (2T  k ä ) s 2  (1  k ï ) s  kèи для коэффициентов позиционной ошибки имеемWef ( s ) C g 0  Weg (0)  0,C f 0  W fg (0)  0,C g1 Cf1 Weg ( s )ss 0W fg ( s )s1,kès 01.kèВсе основные выводы о влиянии дифференцирующего и интегрирующего членовна качество системы, полученные на основе рассмотрения ПИ-закона и ПД-закона управления, сохранятся и при рассмотрении ПИД-закона.Итак, основные выводы таковы:1) введение в закон управления интегрирующего члена делает систему астатической и улучшает качество системы в установившемся режиме, но оказывает дестабилизирующее влияние (т.

е. может сделать систему неустойчивой) и ухудшает качество системыв переходном режиме;2) введение в закон управления дифференцирующего члена оказывает стабилизирующее влияние (может сделать неустойчивую систему устойчивой) и улучшает качествосистемы в переходном режиме, не оказывая влияния на качество системы в установившемся режиме.Хотя эти выводы получены на основе исследования системы с объектом 2-го порядка, есть основания считать, что они в основном справедливы и в более общем случае.7.3. Синтез корректирующих устройствНеобходимость введения в системы автоматического регулирования корректирующих устройств можно пояснить, рассмотрев их влияние на изменение частотных характеристик системы.Пусть САУ имеет АФХ W ( j ) , изображенную на рис.7.2, (кривая 1).

Система, имеющая такую характеристику, будетнеустойчивой. Для ее стабилизации можно уменьшить передаточный коэффициент k (кривая 3).Но, как правило, коэффициент k уменьшать нельзя (от значения k зависит статическая точность системы). В этом случае необходимо скорректироватьформу АФХ на средних частотах (1 2 ) так, как это показано на рис. 7.2, (кривая 2). Система станет устойчивой и обеспечит заданную точность регулирования. Это может быть реализовано при помощи корректирующего устройства.Рис. 7.2.Корректирующие устройства могут включаться в систему так, что в структурной схеме системы по отношению к ее неизменяемой части будутявляться последовательными звеньями или звеньями обратной связи.Предположим, что структурная схемаСАУ задана и приведена к виду, показанному на рис.