Лекция 6 - Анализкачества (PDF-лекции)

Лекция 6. Анализ качества линейных непрерывныхсистем автоматического регулирования6.1. Понятие качества регулированияЕсли к системе прикладывается внешнее воздействие, то в ней возникает переходный процесс, при котором выходная (регулируемая) величина изменяется во времени.В устойчивой реальной системе с течением времени устанавливается значение выходной величины в соответствии с задающим воздействием, т.е. переходный процесс является затухающим.При синтезе систем управления появляется возможность влиять путем подбора параметров регулятора на вид переходного процесса и поведение системы в установившемсярежиме.

Одним из первых этапов процедуры синтеза является задание показателей качества.На рис. 6.1 приведены три характерныхпереходных процесса для выходной величиныу(t), вызванных в некоторой системе, единичнымступенчатым изменением g (t )  1(t ) задающеговоздействия при отсутствии возмущающего воздействия f (t )  0 . Переходный процесс 1 является колебательным, переходный процесс 2 – монотонным, переходный процесс 3 – апериодическим.Рис. 6.1.

Виды переходных процессовНаиболее полной характеристикой качества системы управления является ошибка (рис. 6.2, а).e(t )  g (t )  y (t ) .Так как, y (t )  W yg ( p) g (t )  W yf ( p) f (t ) где W yg ( p) и W yf ( p ) – передаточные функ-ции относительно выхода у и входов g и f соответственно, тоe(t )  g (t )  W yg ( p) g (t )  W yf ( p) f (t )  Weg ( p) g (t )  W yf ( p) f (t ) .(6.1а)Здесь Weg ( p)  1  W yg ( p ) – передаточная функция относительно выхода e и входа g, которая называется передаточнойфункцией ошибки по задающемувоздействию.Используя передаточнуюфункцию Wef ( p) относительновыхода e и входа f, называемуюа)б)передаточной функцией ошибкиРис. 6.2.

Схемы приложения возмущений: а – возмущениеприложено не на входе; б – возмущение приложено на вхопо возмущению, формулу (6.1а)де сравнивающего устройстваможно записать в виде(6.1б)e(t )  Weg ( p) g (t )  Wef ( p) f (t ) .Эта формула совпадает с (6.1а) и определяет ошибку только в том случае, когдавозмущение f приложено не на входе сравнивающего устройства, как это показано на рис.6.2, а. Только в этом случае Wef ( p)  W yf ( p) .

Если возмущение приложено на входесравнивающего устройства (рис. 6.1, б), то для определения ошибки нужно пользоватьсяформулой (6.1а).Как видно, ошибку можно представить в виде суммы(6.1в)e(t )  eg (t )  e f (t ) ,где eg (t )  Weg ( p ) g (t ), e f (t )  Wef ( p ) f (t ) , или, если возмущение приложено на входе сравнивающего устройства (в точке приложения задающего воздействия), e f (t )  W yf ( p ) f (t ) .1Первая составляющая eg (t ) называется ошибкой от задающего воздействия, втораясоставляющая e f (t ) – ошибкой от возмущения.Ошибка e(t), являясь функцией от времени, не очень удобна для оценки качествасистем управления.

Поэтому на практике при оценке качества чаще используют числовыепоказатели, которые прямо или косвенно характеризуют точность воспроизведения заданного движения. Показатели качества делятся на показатели качества в переходном режимеи показатели качества в установившемся режиме.О качестве системы управления имеет смысл говорить, если она устойчива. Поэтому показатели качества определяют при предположении, что система устойчива.Ошибка e(t) зависит как от свойства системы управления, так и от внешнего воздействия. По этой причине показатели качества системы определяют при определенныхвнешних воздействиях, называемых типовыми.При оценке качества в переходном режиме в качестве типового воздействия используют ступенчатую функцию A  1(t ) (А – константа), а при оценке качества в установившемся режиме – полиномы времени t: At , At 2 , Качество регулирования проверяют раздельно для задающего и возмущающеговоздействий.

При этом одно воздействие, например возмущающее f(t), выбирается типовым, а другое (задающее g(t)) предполагается постоянным или равным нулю. Показателикачества регулирования проверяют либо по значениям выходной (регулируемой) величины, либо по значениям ошибки.6.2. Показатели качества в переходном режимеПоказатели качества в переходном режиме делятся на прямые и косвенные показатели. Последние делятся на корневые, частотные и интегральные.6.2.1. Прямые показатели качества.

При определении показателей качества в переходном режиме в качестве типового воздействия используется ступенчатое воздействиеA  1(t ) . Характер переходного процесса не зависит от величины А. Реакция системы y(t) навходное воздействие A  1(t ) пропорциональна переходной функции h(t), являющейся реакцией системы на единичное ступенчатое воздействие. Поэтому обычно принимают А=1.При ступенчатом воздействии ошибкаe(t )  1(t )  h(t )отличается от переходной функции на постоянную величину.

Поэтому при оценке качества в переходном режиме вместо ошибки также используют переходную функцию.Прямыми показателями качества называются показатели, которые получаютсянепосредственно по переходной характеристике. Из прямых показателей качества наиболее часто используют время регулирования и перерегулирование.Временем регулирования t р называетсяминимальное время, по истечении которого (смомента подачи ступенчатого воздействия) отклонение выходной величины от установившегося значения h() не превышает некоторой заданной величины  (рис.

6.3). Обычно принимают  (0,05  0,1)h() .Перерегулирование (максимальную динамическую ошибку) определяют следующимРис. 6.3. Переходная характеристикаобразомh  h( ) m100%(6.2)h ( )где hm – максимальное значение переходной функции.2Если ступенчатое воздействие податьнавход,гдедействуетвозмущение( f (t )  A0  1(t ) ), то установившееся значениевыходной переменной может быть малым илиравным нулю, и кривая переходного процессабудет иметь вид, показанный на рис.

6.4. Вэтом случае перерегулирование определяетсякак максимальное отклонение, выраженное впроцентах по отношению к величине входногоРис. 6.4. Кривая переходного процесса (повоздействия:возмущению)y  m 100%(6.3)A0Кроме времени регулирования и перерегулирования, иногда также рассматриваютчисло колебаний N к за время регулирования t р и время нарастания t н – время первогодостижения установившегося значения (см. рис. 6.3).Для непосредственного расчета переходного процесса в системах, состоящих избольшого количества динамических звеньев и, следовательно, описываемых дифференциальными уравнениями высокого порядка, используются ЭВМ, позволяющие численнорешить уравнения при единичной входной функции и нулевых начальных условиях.6.2.2.

Корневые показатели качества. В качестве корневых показателей используют степень устойчивости и степень колебательности (колебательность).Степенью устойчивости  системы управления (или характеристического полинома) называют расстояние от мнимойоси до ближайшего корня ее характеристического уравнения(рис. 6.5):(6.4)  min Re v   max Re vvРис. 6.5vСтепень устойчивости характеризует быстродействие системы. Это связано с тем, что быстрота затухания переходногопроцесса в значительной мере определяется вещественной частью корня, наиболее близко расположенного к мнимой оси.Обозначим через  v угол, образованный отрицательнойвещественной полуосью и прямой, проведенной из начала координат к v -му корню (рис.

6.6). Тогда степень колебательностисистемы (или ее характеристического полинома) можно определить следующим образом:  max tg v  tg max(6.5a)vили, что то же,  maxvРис. 6.6Im v.Re v(6.5б)Степень колебательности, называемая также колебательностью,косвенно характеризует колебательность системы. Если степень колебательности равнанулю, то переходный процесс будет апериодическим. В общем случае можно ожидать, чтопри одинаковой степени устойчивости число колебаний за время регулирования будетбольше у той системы, у которой больше степень колебательности.Вместо колебательности может быть использован связанный с ней другой показатель – степень затухания. Затухание за период определяется соотношением, связывающим две соседних амплитуды переходного процесса:3AlT.AlСвязь между двумя этими показателями определяется соотношениями:T  1 221ln1  TТаким образом, чем меньше колебательность  , тем больше затухание за период T .При анализе линейной системы управления важно понимать связь между положением на комплексной плоскости корней ее характеристического полинома (или, что то жесамое, полюсов передаточной функции) и поведением системы во времени в виде реакциина ступенчатое и иные входные воздействия – см.

рис. 6.7.T  1  e, Рис. 6.7. Реакция системы на импульсное воздействие при различном положении корнейна комплексной плоскости6.2.3. Интегральные показатели качества. Ошибку системы можно представитьв виде суммы:e(t )  eп (t )  eгде eп (t ) – переходная составляющая ошибки, e – установившаяся ошибка.В качестве интегральных оценок наиболее часто используют интегральную квадратическую ошибку (рис. 6.8):J 20   eп (t )dt2(6.6)0Смысл показателя J20 ясен из его названия, и J 20  0 при max eп (t )  0 .

Однакоtвозможны случаи, когда при малых J20 система становится сильно колебательной. Это послужило одной из причин использования обобщенных интегральных квадратических оценок:(k ) 2 22 22J 2 k   eп (t )   1 eп (t )     k eп (t ) dt , k  1, 2,  , m(6.7)0 4где  i (i  1, 2,  , k ) – весовые коэффициенты.Интегральные показатели широко используются при синтезе оптимальных систем управления. Вычисление интегралов возможно как аналитически с использованиемпреобразования Лапласа, так и численно. В последнемслучае бесконечный верхний предел заменяют значениемвремени, большим, чем время регулирования t р .Рис. 6.86.2.4.