Лекция 6 - Анализкачества (PDF-лекции), страница 2

Частотные показатели качества. В качестве частотных показателей качества используют резонансный пик, полосу пропускания, запас устойчивости по фазе и запас устойчивости по амплитуде.Резонансный пик и полосы пропускания определяются по амплитудной частотной характеристике (рис.6.9).Резонансным пиком или показателем колебательности называется отношение максимального значенияAmax к начальному значению А(0):AM  maxA(0)В большинстве систем управления считается желательным, чтобы резонансный пик находится в пределах от1,1 до 1,5. Частота  р , при которой A( ) достигает мак-симального значения, называется резонансной частотой.Полосой пропускания называют диапазон частот(0,  п ) , где  п – частота, при которой A( п )  0,707 A(0) .Рис.

6.9. АЧХЗапасы устойчивости по фазе и амплитуде определяются по амплитудно-фазовой частотной характеристике (АФЧХ) и логарифмическимчастотным характеристикам (ЛЧХ) разомкнутой системы (как мы уже рассмотрели).6.3. Показатели качества в установившемся режимеНаиболее полной характеристикой качества системы в установившемся режиме является установившаяся ошибка. Когда внешние воздействия являются функциями времени, установившаяся ошибка как вынужденная составляющая ошибки также являетсяфункцией времени.

Поэтому в общем случае установившуюся ошибку будем обозначатьeв (t ) . Установившаяся ошибка определяется следующим образом:eв (t )  lim e(t ).t Если на систему действуют два внешних воздействия – задающие воздействия g(t)и возмущения f(t), то установившуюся ошибку можно представить в виде суммы:eв (t )  eвg (t )  eвf (t ),где eвg (t ) и eвf (t ) – установившиеся ошибки от задающего воздействия g(t) и возмущенияf(t) соответственно.6.3.1.

Коэффициенты ошибок. Числовыми показателями качества в установившемся режиме являются коэффициенты ошибок, которые определяются следующим образом.Используя разложение функции ошибки в ряд Тэйлора, установившуюся ошибкуeвg (t ) можно представить в виде рядаdg (t )d 2 g (t )eвg (t )  C g 0 g (t )  C g1 Cg 2 ,dtdt 25(6.8а)гдеCg0i1 d Weg ( s ) Weg (0), C gi i! ds i, i  1, 2, (6.8б)s 0Здесь Weg (s) – передаточная функция относительно входа g(t) и выхода e(t). Коэффициенты C gi (i = 0,1, 2,...) называются коэффициентами ошибки по задающему воздействию.Аналогично можно представить установившуюся ошибку eвf (t ) :df (t )d 2 f (t )Cf 2 ,dtdt 2i1 d Wef ( s ) Wef (0), C fi , i  1, 2, i! ds is 0eвf (t )  C f 0 f (t )  C f 1(6.9а)Cf0(6.9б)Здесь Wef (s ) – передаточная функция относительно входа f(t) и выхода e(t).

Коэффициенты C fi (i = 0,1, 2,...) называются коэффициентами ошибки по возмущению.Первые три коэффициента ошибок имеют специальные названия: C g 0 и C f 0 – коэффициенты позиционной ошибки; C g1 и C f 1 – коэффициенты скоростной ошибки;C g 2 и C f 2 – коэффициенты ошибки по ускорению.6.3.2. Статические и астатические системы. Установившаяся ошибка при постоянном внешнем воздействии называется статической ошибкой.Система называется статической, если статическая ошибка отлична от нуля, и астатической, если статическая ошибка равна нулю.Можно говорить о статической и астатической системах относительно того илииного внешнего воздействия.Система называется статической относительно задающего воздействия (возмущения), если статическая ошибка от задающего воздействия (возмущения) отлична от нуля, и астатической относительно задающего воздействия (возмущения), если статическая ошибка от задающего воздействия (возмущения) равна нулю.Формулы (2.8) и (2.9) при постоянных g и f принимают видeвg (t )  C g 0 g , C g 0  Weg (0),eвf (t )  C f 0 f , C f 0  Wef (0).Отсюда следует, что система будет статической относительно воздействия g (возмущения f), если C g 0  0 (C f 0  0) , и астатической относительно задающего воздействияg (возмущения f), если C g 0  0 (C f 0  0) .Говорят, что астатическая система относительно задающего воздействия обладаетастатизмом r-го порядка, еслиC g 0  C g1    C gr 1  0, C gr  0.Аналогично определяется астатическая система с астатизмом r-го порядка относительно возмущения.Можно показать, что если система обладает астатизмом r-го порядка, то коэффициенты ошибок C gi (C fi ) при i = 1, 2, ..., r можно определить следующим образом:C gi Weg ( s )C fi Wef ( s )(6.10), i  1, 2,  , rs i s 0s i s 0Иначе говоря, этими более простыми, чем (6.8б) и (6.9б), формулами можно пользоваться при вычислении до первого отличного от нуля коэффициента включительно.,66.4.

Структура астатической системы управленияРассмотрим систему управления с двумя входами (см. рис. 6.10).Передаточная функция ошибки по задающему воздействию имеет вид11Рис. 6.10. Типовая схема САУWeg ( s ) ,1  W1 ( s)W2 ( s ) 1  W ( s )где W (s ) – передаточная функция разомкнутой системы.Для того чтобы система управления была астатической с астатизмом r-го порядкаотносительно задающего воздействия, как видно из (6.10), передаточная функция Weg (s)должна иметь вид:(6.11)Weg ( s )  s rW0* ( s ), W0* (0)  0 .А это возможно, если передаточную функцию разомкнутой системы можно представить в видеk(6.12)W ( s )  r W0 ( s ), W0 (0)  1sПередаточная функция разомкнутой системы имеет такой вид, если система содержит r последовательно соединенных интегрирующих звеньев.Интегрирующие звенья должны быть включены в основной контур, а не в контур,образованный местной обратной связью.

При этом они могут быть включены параллельнос какими-либо другими элементами.Таким образом, для того чтобы система управления была астатической с астатизмом r-го порядка относительно задающего воздействия, нужно чтобы она содержала r последовательно соединенных интегрирующих звеньев. При этом не важно, в какойточке замкнутого контура они включены.Передаточная функция ошибки по возмущению имеет вид W2 ( s) W2 ( s)Wef ( s) 1  W1 ( s)W2 ( s) 1  W ( s)Для того чтобы передаточная функция Wef (s ) могла быть представлена в видеWef ( s )  s rW0 ( s ), W0 (0)  0 , нужно, чтобы знаменатель передаточной функции W1 ( s ) , со-держал множитель s r .Таким образом, для того чтобы система управления была астатической с астатизмом r-го порядка относительно возмущения, нужно, чтобы она содержала r последовательно соединенных интегрирующих звеньев, включенных между точкой съема ошибкиe и точкой приложения возмущения f.Если система управления является астатической с астатизмом r-го порядка, то (см.6.12):C g 0  C g1    C gr 1  0,C gr Weg ( s )srs 011111sr r r r r .s 1  W ( s ) s0 s s  kW0 ( s ) s 0 s  kW0 ( s ) s 0 kЗдесь k – передаточный коэффициент разомкнутой системы.Когда система является астатической с астатизмом r-го порядка относительноговозмущения, передаточные функции W1 ( s ) и W2 ( s ) можно представить в видеkkW1 ( s )  1r W10 ( s ), W2 ( s )  2v W20 ( s ), W10 (0)  W20 (0)  1, (v  0),ssи передаточная функция ошибки относительно возмущения имеет вид7 s r k 2W20 ( s ) W2 ( s ). r v1  W1 ( s )W2 ( s ) s  k1k 2W10 ( s )W20 ( s )Тогда коэффициенты ошибок:C f 0  C f 1    C fr 1  0,Wef ( s ) C fr Wef ( s )srs 0sr v k 2W20 ( s )1 .k1 k1k 2W10 ( s )W20 ( s ) s 0Здесь k1 – передаточный коэффициент звена, включенного между точкой съема ошибки иточкой приложения возмущения.kПример.

Определить порядок астатизма системы (рис. 6.10) при W1 ( s )  k п  и ,skдW2 ( s ) .(Ts  1) skk s  kии передаточная функцияТак как передаточная функция W1 ( s )  k п  и  пssk ( k s  kи )разомкнутой системы W ( s )  W1 ( s )W2 ( s )  д п, то рассматриваемая система управ(Ts  1) s 2ления является астатической с астатизмом 2-го порядка относительно задающего воздействия и астатической с астатизмом 1-го порядка относительно возмущения.6.5. Определение коэффициентов ошибки для статических системДля статических систем управления (r = 0) с типовой структурной схемой (см.

рис.6.10) несложно определить коэффициенты ошибок по координатам:111;C g 0  Weg (0) 1  W ( s ) s 0 1  kW0 ( s ) s 0 1  kC f 0  Wef (0)  k 2W20 ( s ) W2 ( s )1  W1 ( s )W2 ( s ) 1  k1 k 2W10 ( s )W20 ( s )s 0k2.1  k1 k 26.6. Определение значения передаточного коэффициентаастатической системы по ЛАЧХПередаточная функция САУ в разомкнутом состоянии, обладающей астатизмом vго порядка по отношению к задающему воздействию, может быть представлена в видеkW ( s )  v W0 ( s ),(6.13)sи, следовательно, выражение для ЛАЧХ имеет видL( )  20 lg k  v  20 lg   20 lg W0 ( j ) ,При значениях  , меньших значения первой сопрягающей частоты 1 , можноприближенно написатьL( )  20 lg k  v  20 lg  , 0    1(6.14)Прямую, описываемую уравнением (6.14), называют низкочастотной асимптотойЛАЧХ. По ней достаточно просто определить передаточный коэффициент k САР при любом порядке астатизма (первый способ).Действительно, при  =1 выражение (6.14) сводится к видуLí .÷.

( )  1  20 lg k ,8из чего следует, что значение передаточного коэффициента k системы, выраженное в децибелах, определяется ординатой низкочастотной асимптоты Lí .÷. ( ) при значениях угловой частоты  =1 (рис. 6.14).В статических системах выражение длянизкочастотной асимптоты принимаетвидLн.ч. ( )    20 lg k ,1из чего следует, что продолжать низкочастотную асимптоту до значения  =1излишне, так как эта асимптота представляет прямую, параллельную осичастот, и значение k в децибелах равнорасстоянию этой прямой от оси частот.Второй способ определения kзаключается в следующем. ПродолжимРис. 6.14низкочастотную асимптоту Lí .÷.

( ) допересечения с осью частот (см. рис. 6.14). В точке пересечения    kLí .÷. ( )    0kСледовательно, согласно выражению (6.14),20 lg k  v 20 lg  k k  k .vТ. е. значение k равно значению угловой частоты  k в точке пересечения низкочастотной асимптоты с осью частот в степени v, равной порядку астатизма системы.9.