Вопросы и задачи к экзамену 2 поток, страница 2

(L30)29.РаботавыходаэлектронасповерхностижелезаEout = 4.5 эВ . Оценитьнапряженность электростатического поля, при которой реально наблюдать ток холоднойэмиссии с поверхности железа (L30).30. Используя приближение Томаса-Ферми, оценить характерную глубинупроникновения однородного постоянного электрического поля в кристалл натрия.Концентрация свободных электронов в натрии n = 2.65 ∗1022 см−3 (L34).31. Учитывая, что обменный интеграл для электронов на одном атоме J ∼ 0.5 эВ (дляконфигурации (1s )1 ( 2 s )1 ), оценить температуру Кюри ферромагнетиков (S10).32. Масштабом обратного времени, характеризующим величину возмущения,вызывающего переходы, является частота Раби Ω = V12 , где V12 – матричный элементоператора возмущения между начальным и конечным состояниями. Оценить Ω для атома вполе излучения лазерной указки мощностью W = 3 мВт и диаметром d = 1 мм (S11).33. Оценить скорость перехода из состояния 1s атома водорода под воздействиемизлучения с интенсивностью I = 108 Вт см−2 и частотой ω = ω a 2 = 2.1⋅1016 с−1 (где ωa атомный масштаб частоты).

(L37)34. Оценить напряженность электромагнитного поля, находящегося в резонансе счастотой перехода двухуровневой системы, при которой длина π -импульса будет равнаобратной естественной ширине линии (L38).35. Интенсивность солнечного света на орбите Земли I S = 0.14 Вт см 2 . Оценитьскорость перехода под действием солнечного света для атома с частотой перехода в видимомдиапазоне (L38).36.

На гармонический осциллятор с частотой ω0 , находящийся в основном состоянии,действует импульс электромагнитного излучения с частотой ω (длина волны много большедлины локализации основного состояния). Найти максимальную вероятность переходаосциллятора в первое возбужденное состояние. Чему при этих условиях равна вероятностьперехода осциллятора во второе возбужденное состояние? (L39)37. В момент t = 0 нейтрон попадает в ядро атома и застревает в нем.

Используя для⎧⎪− qδ ( x ) , t < 0электрона в атоме модель δ -ямы: U ( x, t ) = ⎨, оценить энергию нейтрона,⎪⎩− qδ ( x − Vt ) , t ≥ 0при которой станут заметны эффекты возбуждения и ионизации атома (S11).38. Оценить сечение рассеяния медленных нейтронов на протонах в триплетномсостоянии, учитывая, что энергия связи дейтрона E0 = 2.2 МэВ (L41).39.

Оценить полное сечение рассеяния нейтронов с энергией E0 = 50 МэВ на протонах(L40).40. Оценить концентрацию фотонов в поле электромагнитного излучения,представляющего собой плоскую монохроматическую волну с интенсивностьюI = 108 Вт ⋅ см -2 и частотой ω = 1.77 ⋅1015 с −1 (S13).41. Принято считать, что одномодовый лазер излучает когерентное состояние поля.Оценить среднюю мощность импульса фемтосекундного лазера видимого диапазона длиноюτ = 100 фс , при которой вероятность того, что в импульсе окажется более одного фотона, в100 раз меньше того, что в нем окажется ровно один фотон (S13).42. Оценить частоту Раби Ω для молекулы (частота перехода ω = 1.50 ⋅1011 c −1 ,дипольный матричный элемент d12 = 1.47 ⋅10 −18 СГС ), взаимодействующей с единственнымфотоном резонансной частоты в резонаторе объемом V = 7.3 см3 (S13).43. Оценить скорость перехода между состояниями 2p и 1s в атоме водорода (L43).44.

Поток электронов с энергией E = Ea = 27.2 эВ и плотностью J = 6.2 ⋅1014 см−2 с−1падает на протон. Оценить среднее время испускания фотона видимого диапазона. (L44)45. Оценить силу давления света на свободный электрон в поле излучения синтенсивностью I = 108 Вт см−2 и частотой ω = 3.5 ⋅1015 с−1 . (L45)Задачи №2 для экзаменационных билетовпо курсу «Квантовая теория»,январь 2015 г.Задача 1 (2.2.4)Эрмитовы операторы Â, B̂, L̂ удовлетворяют следующим коммутационным соотношениям: [Â, L̂] = [B̂, L̂] = 0, [Â, B̂] 6= 0.

Показать, что средисобственных значений оператора L̂ обязательно есть вырожденные.Задача 2 (2.6.3)ˆ Показать, что среди комПусть оператор â таков, что ââ+ − â+ â = I.плексных матриц – операторов в пространстве C2 нет оператора, удовлетворяющего этому соотношению.Задача 3 (2.11.2)Вычислить матрицы τ̂i =√σ̂i , где σ̂i (i = 1, 2, 3) – матрицы Паули.Задача 4 (2.11.3)Показать, что для любых ci (i = 1, 2, 3) верно соотношение:ˆ(c1 σ̂1 + c2 σ̂2 + c3 σ̂3 )2 = c21 + c22 + c23 I,где σ̂i (i = 1, 2, 3) – матрицы Паули.Задача 5 (3.3.5)Вычислить значение разновременного коммутатора [p̂(t), x̂(t′ )] для (a)свободной частицы; (б) гармонического осциллятора.Задача 6 (3.3.7)Для одномерного гармонического осциллятора в основном состоянии вычислить корреляционную функцию C(t) = hx̂(t)x̂(0)i, где x̂(t) – операторкоординаты в картине Гейзенберга.1Задача 7 (3.4.1)Частица находится в ящике, разделенном барьером на две части.

Обозначим состояние, в котором частица с достоверностью находится в левой(правой) части ящика, как |Li (|Ri). «Туннелирование» частицы черезбарьер описывается гамильтонианомĤ = ∆ · (|Li hR| + |Ri hL|) .Как будет эволюционировать во времени состояние, имеющее в начальный момент времени вид |ψ(t = 0)i = α |Li + β |Ri?Задача 8 (3.4.5)Гармонический осциллятор находится при t = 0 в состоянии с волновойфункциейr12ϕ(x, t = 0) = √ ϕ1 (x) +ϕ2 (x),33где ϕn (x) – волновая функция n-го стационарного состояния.

Вычислитьhx(t)i.Задача 9 (4.7.1)Частица падает слева в потенциальном поле прямоугольной «ступеньки»:U(x < 0) = 0, U(x ≥ 0) = U0 .Для заданной энергии E нарисовать график зависимости коэффициентапрохождения T от параметра β = U0 /E.Задача 10 (4.9.1)Доказать, чтоhp |v̂| pi =dE,dpгде v̂ – оператор скорости, |pi – стационарное состояние частицы с квазиимпульсом p и энергией E в произвольном периодическом потенциалеV (x + d) = V (x).2Задача 11 (4.10.3)Найти в импульсном представлении вид стационарного уравнения Шредингера для частицы в поле периодического потенциала V (x + d) = V (x).Задача 12 (4.10.4)Найти волновую функцию и значение энергии дискретного уровня длячастицы в поле U(x) = − q δ(x), решая задачу в импульсном представлении.Задача 13 (4.10.5)Найти вид волновых функций частицы в однородном поле U(x) = −F xв импульсном представлении.Задача 14 (5.1.1)Без использования правил квантования Бора-Зоммерфельда получитьправило квантования энергетических уровней и найти соответствующиеим квазиклассические волновые функции для потенциала, показанногона рисунке.Задача 15 (5.2.2)Для частицы, находящейся в степенном потенциале U(x) = A |x|α , зависимость уровней энергии En от n имеет вид En ∝ nν .

Методом ВКБнайти зависимость показателя ν от α.3Задача 16 (5.2.5)Используя квазиклассическое приближение, найти значения параметровпотенциалаU0 a4U(x) = −,(x2 + a2 )2отвечающих появлению новых состояний спектра при углублении ямы.Указать условия применимости результата.Задача 17 (5.3.4)Оценить в квазиклассическом приближении коэффициент прозрачностибарьера:0, x < 0U(x) =U0 exp (−x/a), x ≥ 0Задача 18 (6.3.3)Модельный гамильтониан для спин-орбитального взаимодействия выглядит следующим образом:Ĥ =V (r)l̂ · ŝ.~2Считая, что электрон находится в состоянии с l = 1, найти собственныезначения данного гамильтониана.Задача 19 (6.3.4)Имеются две слабо взаимодействующие подсистемы 1 и 2, состояниякоторых характеризуются квантовыми числами полного момента и егопроекции на ось z: (l1 , m1 ) и (l2 , m2 ) соответственно. Указать возможные значения полногоD Eмомента L̂ совокупной системы 1 + 2 и вычислитьсреднее значение L̂2 в рассматриваемом состоянии.Задача 20 (6.4.4)Рассмотрим систему из трех расположенных в углах правильного треугольника частиц со спином 1/2, взаимодействие между которыми опи4сывается гамильтонианомĤ = J · (ŝ1 · ŝ2 + ŝ2 · ŝ3 + ŝ3 · ŝ1 ) ,где J > 0.(а) Показать, что гамильтониан можно переписать с использованием оператора квадрата полного спина системы Ŝ 2 = (ŝ1 + ŝ2 + ŝ3 )2 .(б) Каково основное состояние для данной системы и кратность его вырождения?Задача 21 (7.1.1)Показать, что в центральном поле в случае дискретного спектра минимальное значение энергии при заданном l (l – орбитальное квантовоечисло) растет с увеличением l.Задача 22 (7.1.3)Определить уровни энергии сферического осциллятора (частица в поле U(r) = mω 2 r 2 /2), кратности их вырождения, и возможные значенияорбитального момента в соответствующих стационарных состояниях.Задача 23 (7.2.8)Определить средний потенциал электрического поля, создаваемый атомом водорода в основном состоянии.Задача 24 (8.1.2)Используя пробную функцию Ферми1 − |x|, |x| ≤ ααθ(x) =,0, |x| > αнайти оценку сверху для энергии основного состояния частицы в дельтаяме U(x) = − q δ(x).5Задача 25 (8.1.6)Доказать, что фиделити F пробной функции θ(x) и точной волновойфункции основного состояния ϕ0 (x) удовлетворяет неравенствуF≥1−Ē − E0.E1 − E0Задача 26 (8.2.4)Вычислить поправки 1-го и 2-го порядков к уровням энергии гармонического осциллятора при наличии возмущения V̂ = ε x2 .

Оценить радиуссходимости ряда теории возмущений.Задача 27 (8.2.11)Вычислить поляризуемость заряженной частицы, связанной в одномерном потенциале дельта-ямы.Задача 28 (8.3.2)Пусть Ĥ = Ĥ0 + εV̂ , где Ĥ0 – гамильтониан двумерного изотропного гармонического осциллятора, а εV̂ = εxy. Найти поправки первого порядка(0)к энергиям En основного и первого возбужденного уровней системы Ĥ0 .Задача 29 (8.3.3)Используя теорию возмущений для вырожденного случая, найти дискретный спектр частицы в полеU(x) = − q [δ(x − a) + δ(x + a)] .Задача 30 (9.1.4)Кубит находится в состоянии, описываемом матрицей плотности общеговидаρ11 ρ12.ρ̂ =ρ∗12 ρ22Какова вероятность получить исходы +1 и −1 при измерении наблюдаемых, описываемых матрицами Паули σ̂x , σ̂y и σ̂z ?6Задача 31 (9.2.2)Два атома водорода, находящиеся в основном состоянии, расположенына расстоянии R друг от друга.

Считая ядра атомов покоящимися, показать, что в первом порядке теории возмущений энергия взаимодействияатомов равна нулю и что учет второго порядка теории возмущений приводит к силам притяжения Ван-дер-Ваальса.Задача 32 (9.2.7)Вычислить плотность состояний ρ(E) для частиц с законом дисперсииE = cp (ультрарелятивистский случай) в непроницаемом d-мерном ящике при d = 1, 2 и 3. Нарисовать графики ρ(E).Задача 33 (9.3.3)Эмпирическая формула Вайцзеккера для энергии связи ядер содержитчлен, учитываю- щий протон-нейтронную асимметрию:(A − 2Z)2TA = − ε,Aгде ε = 23.7 МэВ. Вычислить этот коэффициент, считая протоны и нейтроны в ядре компонентами идеального ферми-газа.Задача 34 (10.1.10a)Найти энергию основного состояния системы двух тождественных частиц с гамильтонианом k1 2Ĥ =p̂1 + r21 + p̂22 + r22 + (r1 − r2 )2 .22Найти точное решение уравнения Шредингера.Задача 35 (10.1.10b)Найти энергию основного состояния системы двух тождественных частиц с гамильтонианом k1 2p̂1 + r21 + p̂22 + r22 + (r1 − r2 )2 .Ĥ =22Решить задачу с помощью приближения Хартри.7Задача 36 (11.1.5)Вычислить в первом порядке нестационарной теории возмущений зависимость вероятности W12 перехода между уровнями 1 и 2 под действиемнестационарного возмущения, представляющего собой импульс неизменной формы: tV̂ (t) = V̂ (t)0 f,τот параметра γ = ω12 τ (τ – характерная длительность импульса).Задача 37 (11.2.7)Двухуровневая система находится в основном состоянии.