Вопросы и задачи к экзамену 2 поток

Вопросы и задачи к экзаменупо курсу “Квантовая теория”2-й поток; январь 2015 г.Обозначения:В первой части (“Вопросы”) метки L# означают ссылки на лекционный материал.Во второй части (“Задачи №1”) метка S# обозначает номер списказадач для семинарских занятий, а метка L# – ссылку на лекционныйматериал.Во третьей части (“Задачи №2”) меткой (#.#.#) обозначен номерзадачи в списке для семинарских занятий.ВОПРОСЫ К БИЛЕТАМдля экзамена по курсу «Квантовая теория»январь 2015 г.1.

Соотношения неопределенностей (для операторов координаты и импульса, длякомпонент вектора момента). Когерентные состояния гармоническогоосциллятора. (L5, L17, L38)2. Динамика квантовых систем в картине Гейзенберга. Теоремы Эренфеста.Эволюция волновых пакетов свободной частицы. (L7)3. Динамика квантовых систем в картине Шредингера. Эволюция фиделити.Теорема Крылова – Фока. (L8)4. Матричные элементы операторов координаты и импульса. Их связь, теоремы осуммах. Теорема соответствия для матричных элементов. (L8, L9, L15)5. Одномерное стационарное уравнение Шредингера. Общие свойства волновыхфункций состояний дискретного спектра. Методы численного решения: методстрельбы, расчет спектра диагонализацией гамильтониана.

(L9, L11, L12)6. Общие свойства дискретного спектра в одномерной потенциальной яме.Использование правила квантования Бора – Зоммерфельда для исследованиядискретного спектра. (L9, L15)7. Стационарные состояния электрона в однородном магнитном поле. (L10, L11, L19)8. Одномерная задача рассеяния. Рассеяние волновых пакетов. (L12)9.

Состояния частицы в одномерном периодическом потенциале. Теорема Блоха.Закон дисперсии, эффективная масса. (L13)10. Туннелирование в методе ВКБ. Применение к расчетам: автоионизация, времяжизни метастабильных состояний в короткодействующих центральныхпотенциалах. (L13, L15, L21)11. Квазиклассическое приближение: основы метода, пределы применимости.Теоремы соответствия для частот и матричных элементов.

(L14, L15)12. Свойства сферических гармоник как собственных функций оператора квадратаорбитального момента. Правила отбора для векторных операторов. (L18, L23)13. Система двух спинов ½. Операторы Sˆ12σˆ 1σˆ 2 и Tˆ123 σˆ 1n σˆ 2nσˆ 1σˆ 2 , гдеn - единичный вектор, их спектры. (L19)14. Состояния дискретного спектра частицы в кулоновском поле. Случайноевырождение. Зависимость пространственных размеров волновых функций отквантовых чисел.

Ридберговские атомы. (L20, L21)15. Состояния дискретного спектра частицы в короткодействующем центральномпотенциале. Потенциал нулевого радиуса. (L20, L21)116. Атом водорода в постоянном электрическом поле. Поляризуемость атома.Автоионизация. (L13, L23, L24)17. Состояния частицы в одномерном периодическом потенциале. Приближениесильной связи. (L13, L25)18. Стационарная теория возмущений для вырожденного случая. Гибридизациявекторов. (L24, L25)19.

Атом в магнитном поле. Эффекты Зеемана и Пашена – Бака. Магнитнаявосприимчивость атома с нулевым магнитным моментом. (L25)20. Метод линейных комбинаций: молекулярный ион водорода. (L25, L26)21. Метод линейных комбинаций: одномерная цепочка сильной связи. МодельАндерсона. (L26,L27).22. Условия применимости стационарной теории возмущений. (L27)23. Запутанность состояний композитных систем. Матрица плотности.Редуцированная матрица плотности. (L28)24. Принцип Паули и его следствия на примерах идеального ферми-газа имногоэлектронных атомов. Обменное взаимодействие.

(L29, L30)25. Модель идеального ферми-газа в применении к электронному газу в металлах.Теория холодной эмиссии. (L30, L31).26. Модель идеального ферми-газа в применении к электронному газу в металлах.Парамагнетизм Паули и диамагнетизм Ландау. (L31).27. Многоэлектронный атом: спектральные термы. Основные упрощения в теориимногоэлектронных атомов.

(L32)28. Прямой вариационный метод и его связь с теорией возмущений. Метод Хартри длямногоэлектронных атомов. (L22, L33)29. Многоэлектронный атом: метод Хартри, метод Хартри – Фока. (L33, L34)30. Многоэлектронный атом: уравнение Томаса – Ферми. (L34)31. Нестационарная теория возмущений. Адиабатические и внезапные возмущения.(L33, L35, L36)32. Нестационарная теория возмущений: полуклассическая теория фотоионизацииатома. (L37)33. Эволюция двухуровневой системы под воздействием постоянного возмущения ивозмущения, гармонически зависящего от времени.

(L19, L26, L38)234. Нестационарная теория возмущений: золотое правило Ферми. Примерыпостановки задач, условия применимости. (L37, L38)35. Гармонический осциллятор. Области применения модели. Описание в картинеГейзенберга. Возбуждение гармонического осциллятора переменным однороднымполем. (L5, L7, L39)36. Функция Грина в аппарате квантовой теории.

(L14, L26, L40)37. Борновское приближение в теории рассеяния: стационарный и нестационарныйподходы. Условия применимости приближения. (L39, L40)38. Метод парциальных волн в теории рассеяния. Резонансное рассеяние медленныхчастиц. (L40, L41)39. Квазистационарные состояния. (L8, L27, L42)40. Квантование свободного электромагнитного поля. Оператор взаимодействияатомной системы с квантованным электромагнитным полем. (L42)41. Спонтанное излучение атомов. Естественная форма линии. (L43)42.

Квантовая теория тормозного излучения. (L43, L44)43. Взаимодействие атома с одной модой поля в резонаторе. Модель Джейнса –Каммингса. Учет затухания поля. Эффект Перселла, подавленное спонтанноеизлучение. (L44, L45)44. Рассеяние фотона на электроне. (L45)45. Рассеяние фотона на атоме. (L45)16 DEC 14, 12:14 ■3Задачи №1 к билетамдля экзамена по курсу «Квантовая теория».Январь 2015 г.1. Оценить характерный масштаб силы в атомной системе единиц (S1).2. Используя в качестве основных масштабов постоянную Планка, массу протона иразмер ядра R = 1.25 ∗10−13 A1 3см , оценить характерный масштаб энергии ядерных процессов(S1).3.

Для рассеяния фотона видимого диапазона на свободном электроне оценитьизменение длины волны фотона и скорости электрона (S1).4. Оценить атомный масштаб электрического сопротивления (S1).5. Оценить характерный масштаб действия для молекулы азота (L1).6. Характерная энергия α -частиц при α -распаде составляет E ≈ 5 МэВ . Оценитьхарактерный масштаб действия для ядерных процессов (L1).7. Оценить масштаб длины в Планковской системе единиц (построенной на основеуниверсальных физических постоянных G , c , ) (L1).α =1образуют1, 2 , 3( −3 1 + 5 2 + 7 3 ) , где83ортонормированный базис. Каковы возможные результаты измерения в этом базисе8.Даносостояние2 0 0оператора Yˆ = 0 3 0 и какова вероятность их реализации (S2)?0 0 −69. Низковольтная электронная пушка ELG-2A, выпускаемая компанией Kimball Physics,обладает минимальной шириной энергетического распределения пучка ΔE = 0.3 эВ .

Считаясреднюю энергию электронов равной E = 1 кэВ и считая, что ширина энергетическогораспределения целиком связана с ограниченностью продольного размера волнового пакетаэлектрона, оценить его наибольшую длину L (S3).10. Оценить энергию основного состояния нейтрона, находящегося над непроницаемойгоризонтальной плоскостью в поле тяжести Земли. Оценить высоту областипространственной локализации нейтрона в этом состоянии (S4).11.Вычислитьматричныеэлементыстепенейкоординаты0 x 2015 2014 ,0 x 2015 2015 между стационарными состояниями гармонического осциллятора ϕn ( x ) ≡ n(S4).⎧−⎪ U 0 , x < a,12. Электрон находится в прямоугольной потенциальной яме U ( x ) = ⎨с⎪⎩0, x > aпараметрами a = 3 ⋅10−8 см и U 0 = 10 эВ .

Оценить энергию основного состояния в такойсистеме (S4).⎧−⎪ U 0 , x < a,13. Электрон находится в прямоугольной потенциальной яме U ( x ) = ⎨с⎪⎩0, x > aпараметрами a = 3 ⋅10−8 см и U 0 = 0.1 эВ . Оценить энергию основного состояния в такойсистеме (S4).14. Электрон находится в поле плоской монохроматической стоячей электромагнитнойволны с электрическим полемE y ( x, t ) = E cos kx cos ω tс параметрамиE = 103 Гс ,ω = 1.77 ⋅10 15 с −1 . Определить эффективный потенциал медленного движения электрона иоценить для него борновский параметр (S4).15. Оценить вероятностьα -распада тяжелого( Z ∼ 100 )ядра, если энергиявылетающих α -частиц E = 5 МэВ (S5).16.

Оценить время жизни электрона в основном состоянии атома водорода,помещенного в постоянное однородное электрическое поле с напряженностью E = 105 Гс(L13, L16).17. Атом водорода в состоянии с l = n −1 помещен в однородное постоянноемагнитное поле с напряженностью H = 104 Гс , Найти значение n , при котором шириназеемановского мультиплета будет равна частоте перехода между уровнями n и n −1 (S7).18.

Вычислить разность Δλ длин волн излучения, испускаемого при переходах междусостояниями 3 p и 2s в атомах водорода и дейтерия (S7).19. Для атома щелочного металла, внешний электрон которого находится в состоянии сn = 63 , оценить частоту перехода между соседними уровнями и максимальную величинуматричного элемента координаты для такого перехода. (L44, L15)20. Оценить, при какой напряженности однородного постоянного магнитного полязеемановское расщепление уровней превысит доплеровское уширение (L16).21. Оценить неопределенность координаты электрона, связанную с движением воднородном постоянном магнитном поле H = 104 Гс (L11).22. Атом водорода, находящийся в основном состоянии, помещен в постоянноеоднородное электрическоеэнергетического уровня (S8).полеE = 104 Гс .Оценитьпорядоквеличинысдвига23. Атом водорода, находящийся в основном состоянии, помещен в постоянноеоднородное магнитное поле H = 104 Гс .

Оценить порядок величины сдвига энергетическогоуровня (S8).24. Оценить диамагнитную восприимчивость атома гелия. (L25)25. Пусть центр масс атома водорода в основном состоянии локализован и неподвижен.Оценить кинетическую энергию протона (S9).26. Вычислить среднюю величину скорости нуклонов в ядре, считая протоны инейтроны компонентами идеального ферми-газа (радиус ядра можно принять равнымR = 1.25 ∗10−13 A1 3см ) (S9).27. Оценить концентрацию электронов, при которой электронный ферми-газ восновном состоянии становится релятивистским (S9).28. Оценить плазменную частоту для электронного газа в металле с энергией ФермиEF = 3.23 эВ .