lection 2 (2009) (Лекционный курс)

Лекция 2ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОПРОВОДНОСТИ МЕТАЛЛОВ ИПОЛУПРОВОДНИКОВКраткие сведения из квантовой механики. Электроны. Волны де Бройля.Соотношение неопределенности. Волновая функция.Спектр электронных состояний в атомах, молекулах и кристаллах. Частица водномерной потенциальной яме. Атом водорода. Спектр электронных состоянийатома водорода. Энергетические состояния электронов в многоэлектронныхатомах. Квантовые числа. Электронные оболочки. Виды химической связи.Понятие о зонной структуре твердых тел.

Принцип разделения веществ напроводники (металлы), полупроводники и изоляторы (диэлектрики).Электропроводность твердых тел. Модель электронного газа. Квантоваямодель электропроводности. Трехмерный ящик. Энергия Ферми.Оценка числасостоянийю. Плотность энергетических состояний.Распределение Ферми. Электроны и дырки. Количество электронов в зонепроводимости. Собственная концентрация носителей заряда в полупроводнике.Уровень Ферми в беспримесном полупроводнике.Собственная и примесная проводимость полупроводников.

Полупроводники n- иp-типа. Положение уровня Ферми в электрически нейтральном полупроводнике.Технологии легирования полупроводников.КРАТКИЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИПо электрическим свойствам вещества делятся на три основные класса:проводники, полупроводники и диэлектрики. В рамках ближайшего цикла из трехлекций нас будут интересовать особенности строения и основные свойства этихвеществ, а также принцип действия, конструкция и характеристики простейшихэлектронных компонент и устройств, использующих эти свойства.Для того, чтобы разобраться в этом необходимо опереться на квантовомеханическое представление и строении вещества.ЭлектроныСовременная физика рассматривает строение вещества на основеквантовомеханических представлений, открытых и сформулированных в началеXX в. Большинство современных прорывных технологий, объединяемых понятиемнанотехнологии, самым непосредственным образом опирается на этипредставления.Атомы состоят из положительно заряженных ядер, окруженныхэлектронными оболочками.

Электроны относятся к категории микрочастиц,которые подчиняются принципу дуализма, то есть обладают как свойствамичастицы, так и свойствами волны.Электрон имеет массу m e = 9.1 ∗ 10 −31 кг и электрический зарядe = 1.6 ∗ 10 −19 Кл . Размер электрона является бесконечно малым, поскольку ни в1одном из экспериментов не было получено результата, подтверждающего, чтоэлектрон характеризуется конечным размером. Электрон нельзя увидеть илиосязать, а для описания его поведения и свойств приходится пользоватьсямодельными и абстрактными представлениями.Волны де БройляВ 1923 году де Бройль предположил, что по аналогии с длиной волныфотона движение любой частицы, имеющей импульс p , описывается волновымпроцессом, длина волны которогоhλ=или= ,pphгде постоянная Планка h = 6.62 ∗ 10 −34 Дж ⋅ с или== 1.06 ∗ 10 −34 Дж ⋅ с2πГипотеза де Бройля о наличии волновых свойств у электрона былаподтверждена в 1927 году в экспериментах Дэвиссона, Джермера по дифракцииэлектронов на поверхности кристаллов.Оказалось, что электроны дифрагируют, подчиняясь условию максимумов,как при дифракции рентгеновских лучей (формула Брэгга-Вульфа):a ⋅ sin ϑ = n ⋅λ2Пример.

Пучок электронов с энергией 15 эВ падает на поверхностькристалла по нормали к его кристаллической плоскости и испытывает дифракцию.Угол первого дифракционного максимума составляет 300. Определить периодкристаллической решетки a .2Решение: 2a ⋅ sinϑ = n ⋅λ2= 1⋅hh==p me vh2m e E k, ⇒ a=h2 sin ϑ 2me E k⇒ a = 3.2 ∗ 10 −10 м = 3.2 ǺВопрос. Предыдущий пример показывает, что электрон проявляет волновыесвойства, то есть является квантовой частицей. Может ли макроскопическаячастица проявлять волновые (квантовые) свойства? Например, частица с массойm = 1 г и скоростью v = 1м/с.hhλ= =≈ 6.6 ⋅ 10 − 31 мp mvРеально ли зарегистрировать проявление волновых свойств с подобнойдлиной волны? Размер нуклона в атомном ядре составляет ~ 10 −15 м , что на 16порядков больше. То есть нельзя представить ситуацию, в которой волновыесвойства подобного объекта проявятся.Соотношение неопределенностиОдним из парадоксальных проявлений волновых свойств микрочастицявляется так называемое соотношение неопределенности.Рассмотрим свет, распространяющийся через щель с шириной, сравнимой сдлиной волны λ .

В соответствии с принципом Гюйгенса каждая точка волновогофронта является источником вторичной волны. Волны, исходящие из разных точекв плоскости щели интерферируют между собой, образуя на экране распределениеинтенсивности.Условие минимума:Δxλλили sin β =⋅ sin β =22ΔxУгловая ширина центрального максимума оказывается тем шире, чем уже щель.Самым удивительным оказывается тот факт, что даже если мы ослабимпучок света до уровня, при котором поток будет состоять из отдельных квантов,все равно на экране будет формироваться интерференционная картина. То есть,даже отдельные кванты дают интерференционную картину. Каким-то3непостижимым образом они друг с другом складываются, хотя испускаютсяотдельно.Оказывается, что если проделать то же самое не для квантов, а дляэлектронов, то картина будет очень похожая.

Если направить достаточно многоэлектронов, то они будут давать не равномерное затемнение, а тожеинтерференционную картину. Эта наглядная демонстрация была придумана ужепосле того, как были доказаны волновые свойства электрона. Каждая частица тоже есть волна. Есть полная аналогия между фотоном и электроном. Конечно укаждого из них свои свойства. Но при этом каждый из них представляет собой какчастицу, так и волну.h, ⇒ будет дифракция. Аналогичноpпредыдущему случаю, условие первого минимума:λ 2sin β =Δx 2то есть, у импульса появляется составляющая, перпендикулярнаяпервоначальному распространению света. Опыты показывают, что на экранедействительно будет интерференционная картина, причем, она формируется, еслиинтенсивность снизить до отдельных электронов.Заметим, что чем меньше Δx , тем больше p x :λ2hΔp x = 2 p x = 2 pили Δp x ⋅ Δx = 2h=Δx ΔxТо есть, чем точнее мы задаем координату, тем менее определенно намизвестен импульс.Фундаментальное утверждение о невозможности одновременно определитькоординату и импульс составляет принцип неопределенности Гейзенберга(1927г.):( Δy ⋅ Δp y ≥ h, Δz ⋅ Δpz ≥ h ).Δ х ⋅ Δp х ≥ hЭлектрону соответствует волна с λ =4Если напротив, импульс известен точно, ничего нельзя сказать о положениичастицы в пространстве.Получим несколько иную формулировку принципа неопределенности:⎛ mv 2 ⎞Δx⎟⎟ ⋅ Δt = ΔE ⋅ Δt ≥ hΔp ⋅ Δ x = m ⋅ Δ v ⋅ Δ x = m ⋅ Δ v ⋅⋅ Δt = m ⋅ v ⋅ Δv ⋅ Δt = Δ ⎜⎜Δt⎝ 2 ⎠То есть, для того чтобы абсолютно точно указать энергию какого-либо состояниясистемы ( ΔE = 0 ), необходимо, чтобы это состояние существовало бесконечнодолго.Δp ⋅ Δx ≥ ,ΔE ⋅ Δ t ≥Более строго:22Принцип неопределенности является следствием волновых свойствмикрочастиц и отражает попытки физиков описать поведение микрочастиц спомощью характеристик, используемых в макромире (импульс, координата).Волновая функцияКак можно видеть, при описании микрочастиц их состояние можноохарактеризовать лишь с определенной долей точности.

Можно сказать, чтоописание носит вероятностный характер. То есть, о том, что даннаяквантовомеханическая система находится в том или ином состоянии можноговорить только с определенной долей вероятности.Каждой квантовомеханической системе можно поставить в соответствие2волновую функцию Ψ ( x , y, z , t ) , квадрат модуля которой Ψ ( x , y, z , t ) ипредставляет вероятность обнаружить частицу в некоторой точке в данный моментвремени, а сама волновая функция Ψ представляет амплитуду вероятности.

Еслисостояние может реализовываться двумя способами Ψ1 и Ψ2 , тоΨ = Ψ1 + Ψ2Если система может находиться в каких-то нескольких состояниях, то ее общеесостояние может описываться на основе суммы волновых функций, которымихарактеризуется система.В этом состоят основные допущения квантовой механики, которыепозволяют объяснить и описать основные свойства и особенности квантовыхсистем.Пример. Свободная частица, о которой мы знаем, что она движется вдольоси x и имеет импульс p0 . В соответствии с формулой де Бройля мы можемприписать ее вполне определенную длину волны:hp = p0 ⇒ λ0 =p0То есть, длина волны строго фиксирована и не изменяется во времени – этомонохроматическая волна, не имеющая ни начала, ни конца.5Попробуем найти волновую функцию этой частицы. Поскольку это волна, томожно считать, что волновая функция должна изменятся по закону синуса иликосинуса.Допустим,Ψ = A ⋅ cos(k0 x − ωt ) ,2π p0где A – коэффициент, k 0 ==- волновое число.В этом случаеλ0Ψ = A cos (k0 x − ωt ) содержит нули, то есть, не соответствует равновероятномураспределению.

То есть, допущение косинусоидальной волновой функцииоказалось неверным.Примем, чтоΨ = Ae i (k0 x −ωt ) ,2тогда Ψ = Ψ ∗ Ψ = A ⋅ e i ( k0 x −ωt ) ⋅ A ⋅ e − i ( k0 x −ωt ) = A 2 .222[][]То есть, вероятность равномерно распределена вдоль оси x и обнаружить частицуможно в любой точке с равной вероятностью. Делаем вывод, что данный видволновой функции удовлетворяет условиям.СПЕКТР ЭЛЕКТРОННЫХ СОСТОЯНИЙ В АТОМАХ, МОЛЕКУЛАХИ КРИСТАЛЛАХВажнейшим свойством атомов и молекул как квантовых систем, состоящихиз связанных между собой микрочастиц, является то, что они могут приниматьлишь определенные разрешенные значения энергии.

Покажем это на основеследующего упрощенного подхода.Частица в одномерной потенциальной яме.Одномерная потенциальная яма (одномерный ящик сстенками) является грубым, но наглядным приближением дляописания основных закономерностей поведения электрона в атоме.атоме, электрон локализован в замкнутой области и не выходит заесть, ящик с бесконечными стенками можно рассматривать какупрощенную аналогию атомной системы.6бесконечнымипонимания иТак же как и вее пределы, тоопределеннуюВопрос 1. Почему частица в ящике не может покоиться, лежа на дне?Вопрос 2. Какой максимальной длиной волны может характеризоваться частица?Частица в ящике не может покоиться, но может двигаться либо в одну, либов противоположную сторону:Ψ = Ψ+ + Ψ−i (kx −ωt )и Ψ− ( x , t ) = − B ⋅ e i (− kx −ωt ) .

Знак «-» перед второй частьюгде Ψ+ ( x , t ) = B ⋅ eволновой функции выбирается из тех соображений, что Ψ должна обращаться в«0» при x = 0 и должна быть непрерывной.e ikx − e − ikx= 2iB ⋅ sin kx ⋅ e − iωt2i2iB ⋅ sin kx = A ⋅ sin kx - пространственная часть волновой функции.Получаем:Ψ = Ψ+ + Ψ− = B ⋅ e ikx − iωt − B ⋅ e − ikx − iωt = 2iB ⋅ e − iωtΨ( x ) =A ⋅ sin kx , 0 ≤ x ≤ L0 , x ≤ 0, x ≥ LИз условия непрерывности вблизи стенок sin kx = 0 . Это выполняется, еслиnπ, где n = 1,2,...k ⋅ L = π ⋅ n , ⇒ kn =LДля импульса получаемp=hλ=2πλ⋅h= kn ⋅ .2πВ итоге получаем:7pn =π ⋅ ⋅nLEn =p n2π2 2 2=n2m 2m ⋅ L2Вывод: уровни энергии в потенциальной яме квантуются.Пример.