lection 2 (2009) (Лекционный курс), страница 2

L = 2ǺEn ≈ 1.5 ⋅ 10−18 Дж × n2Для измерения энергии взаимодействия на атомарных масштабах вводитсявнесистемная единица энергии эВ - электронвольт.1эВ = 1.6 ⋅ 10 −19 Кл × 1В = 1.6 ⋅ 10 −19 ДжEn ≈ ….. = 8.7 эВ ⋅ n 2E 1 ≈ 8.7 эВE 2 ≈ 35 эВХарактер квантования определяется видом потенциала взаимодействия.8Атом водородаДвижение электрона вокруг ядра происходит по строго определенныморбитам, так, что на длине орбиты укладывается целое число длин волн де Бройля:hh2πr = nλ = n = n, где n=1,2,3…pmvРадиусы круговых орбит определяются из условия, что центробежная силауравновешивается силой притяжения электрона к ядруmv 2e2=, где ε 0 =8,85·10-12Ф/м2r4πε 0 rС учетом предыдущего выражения получимn 2 h 2ε 0r=πe 2 mПри n=1 получаем r= 0,53·10-8см – 1-й Боровский радиус.

Найдем значенияэнергииmv 2e2e4m−=− 2 2 2E = EК + EП =24πε 0 r8n h ε 0Получаемe 4m1 e4m21,72 ⋅ 10 −19[ Дж ] = − 13,26 [эВ]En = − 2 2 2 = − 2=−2 22n 8h ε 0nn8n h ε 0Тот же самый результат можно получить, решая уравнение ШредингераСпектр электронных состояний атома водородаУровни сгущаются кверху (чем менее связан электрон, тем более сгущены уровни)9Энергетические состояния электронов в многоэлектронных атомах.В многоэлектронных атомах потенциальная энергия электронов зависит не толькоот расстояния до ядра, но также и от расстояния до других электронов. Поэтомурадиусы орбит и энергетические уровни электронов будут не такими, как в атомеводорода. Орбиты электронов в многоэлектронном атоме могут быть круговымиили эллиптическими. Соответственно. Форма электронного облака может иметьсферическую форму или форму гантели.

При этом электроны стремятся занять повозможности наиболее низкие энергетические состояния. В то же время,количество электронов на каждом энергетическом уровне в соответствии спринципом Паули может быть не более двух. Следовательно, чем большеэлектронов в атоме, тем более высокие энергетические состояния они занимают.Энергия каждого состояния будет определяться не только радиусом орбитыэлектрона, но также ее формой, ориентацией, а кроме того, величиной спинаэлектрона.

Возможные энергетические состояния электронов в атомехарактеризуются четырьмя квантовыми числами:Квантовые числаГлавное квантовое число n (n=1, 2, 3,..) определяется радиусом круговой орбитыили величиной большой полуоси эллиптической орбиты. Чем больше n, тембольше радиус. Состояния электрона, определяемые главным квантовым числомназывают энергетическими уровнями.Орбитальное квантовое число l (l=0, 1, 2,…,n-1) определяет величину малойполуоси эллиптической орбиты. Значение l=0 соответствует круговой орбите.Энергетические состояния, отвечающие различным l, называются подуровнями.l=0 – s-подуровень, l=1 – p-подуровень, l=2 – d-подуровень, l=3 – f-подуровень ит.д.Магнитное квантовое число m (m=0, ±1, ±2,…, ±l) определяет пространственнуюориентацию эллиптической орбиты. Каждому значению l соответствует 2l+1возможная пространственная ориентация и соответствующее количество орбит.1Спиновое квантовое число s (s = ± ) соответствует моменту количества движения2электрона вокруг собственной оси.

Вектор этого момента может быть параллеленили антипараллелен вектору орбитального момента.Электронные оболочки.n=1: 1s2n=2: 1s22s22p6n=3: 1s22s22p63s23p63d10n=4: 1s22s22p63s23p63d104s24p64d104f14Последовательность заполнения оболочек:1s22s22p63s23p64s23d104p65s24d105p66s24f145d106p67s2Атомы элементов каждой группы имеют одинаковое строение внешних идостраивающихся подуровней. Периодическая повторяемость структуры внешних10электронных оболочек определяет периодическую повторяемость химическихсвойств элементов. Элементы четвертой группы:Углерод С: 1s22s22p2Кремний Si: 1s22s22p63s23p2Германий Ge: 1s22s22p63s23p63d104s24p2При соединении атомов в молекулы и кристаллы структура энергетическихуровней претерпевает кардинальные изменения.Виды химической связиКовалентная связьКовалентная связь типична для органических молекул.

Также, имеет место и втвердых телах, например, в веществах, состоящих из элементов четвертой группы.Они имеют валентность, равную четырем, и в твердом теле образуют структуру, вкоторой каждый атом связан ковалентными связями с четырьмя ближайшимисоседями. Каждый атом оказывается окруженным восемью обобществленнымиэлектронами. Заметим, что в из-за дефектов структуры или из-за флуктуацийтепловых возмущений некоторые связи могут нарушаться.

Высвободившиесяэлектроны становятся электронами проводимости. На месте разорванной связи,называемой дыркой, остается избыточный положительный заряд. В результатезахвата электрона соседнего атома дырка может менять свое местоположение,двигаясь квазисвободно по кристаллу полупроводника.Металлическая связьМеталлический тип связи свойственен типичным металлам. Ионы металлаобразуют решетку, а электроны внешней оболочки являются «обобществленными»электронами проводимости.11Ионная связьПри ионной связи происходит перенос валентных электронов с одного атома надругой, то есть, образование положительных и отрицательных ионов, связанныхэлектростатическим (кулоновским) взаимодействием. Ионная связь характерна длясоединений металлов с наиболее типичными неметаллами, например, длямолекулы NaCl и соответствующего ионного кристалла.Молекулярная связьМежду молекулами с ковалентным характером взаимодействия.12Понятие о зонной структуре твердых телМеханизм образования энергетических зонОбозначение степени заполнения энергетических зон13Механизм образования энергетических зон в углеродных материалахШирина запрещенной зоны ΔEg:Алмаз (С)–5.3 эВ–1.1 эВКремний (Si)–0.72 эВГерманий (Ge)Принцип разделения твердых тел на проводники, полупроводники идиэлектрикиВ металле заполненные состояния граничат с незаполненными.

Вполупроводниках ширина запрещенной зоны 0,5-2,5 эВ, а в диэлектриках>5эВ.14ЭЛЕКТРОПРОВОДНОСТЬ ТВЕРДЫХ ТЕЛ.Для описания движения электронов в твердом теле необходимо выбратьадекватную модель, по возможности не слишком сложную.Модель электронного газа.Хорошая проводимость проводников (металлов) обусловлена большимколичеством обобществленных электронов, которые классическая физикарассматривает как электронный газ. Электроны находятся в состояниихаотического теплового движения со средней скоростью vT , сталкиваясь сколеблющимися ионами кристаллической решетки.mvT2 3= k BT - средняя кинетическая энергия, vT ~105 м/с при T =300К.22lτ =- время свободного пробега, средний промежуток времени между двумяvTстолкновениями, l - длина свободного пробега.Распределение электронов по энергетическим состояниям подчиняетсястатистике Максвелла-больцмана:−Ek BTp( E ) = Ae,причем, в каждом энергетическом состоянии находится любое число электронов.При наложении электрического поля электроны приобретают ускорение, врезультате чего возникает направленное движение электронов со среднейскоростью:1 eEelEτ =v Др =2 m2mvTПлотность токаe 2 nlj = env Др =E,mvT15где n – концентрация электронов.

Коэффициентом пропорциональности междуe 2 nlплотностью тока и напряженностью поля является σ =- удельнаяmvT1- удельное сопротивление.проводимость. Тогда ρ =σПолучим:1j= EρЭто выражение представляет закон Ома в дифференциальной форме. Легкоперейти к обычному виду (интегральной форме):I 11UUj= = E=⇒ I=S ρρ LRКлассическая теория дает в целом разумное представление о механизмеэлектропроводности в проводниках, но не может объяснить ряд противоречий сопытными данными и особенностей проводимости в полупроводниках идиэлектриках.Квантовая модель электропроводности.

Трехмерный ящик.Для одномерной потенциальной ямы мы ранее получилиpn =πLилиnn=LπpnКаждой координате можно привести в соответствиеквантовое число:nx =Lπp nx ,ny =Lπp n x , nz = L pnπПолный импульсp2 =π222(n2x)+ n 2y + nz2 - значенияLимпульса квантованы.p2π2 2 21=E2 =n + ny2 + nz2 ) ~ 2 , то есть,2 ( x2m 2mLLчем больше ящик, тем ближе расположеныуровни энергии. Количество уровней больше,чем количество электронов (по крайней мере,из-за принципа Паули). Электроны стремятсязанять наиболее низколежащие состояния.16zЭнергия ФермиУровень энергии E F , до которого заполнены электронные состояния,называется уровнем Ферми.

Поскольку вблизи границы заполнения электрон легкоможет перескакивать с занятого уровня на рядом лежащий свободный уровень иобратно, можно считать, что вероятность заполнения на уровне E F составляет 1/2.Оценка числа состоянийМаксимальное возможное квантовое число определяетсямаксимальным импульсом, то есть импульсом электронана уровне Ферми.Lnх max = ny max = nz max =pFπПолное число состояний – это число состояний, длякоторыхnx2 + nx2 + nx2 ≤nx , y ,z ≤LπL2π2 2pF2идля которыхpFЭто 1/8 от объема шара в пространстве квантовых чиселLnх , ny , nz радиусомpFπТогда получаем для числа состоянийS=1 4 pF3 L3p3V⋅ π 3 3 = F2 38 3 π6πС учетом принципа ПаулиS=pF3Vили, в расчете на единицу объема N =3π 2 3Отсюда находим импульс электрона на уровне ФермиpF = ( 3π 2 3 N )13Энергия Ферми:EF =223pF2=3π 2 N )(2m 2m17pF3S=V 3π 23Плотность энергетических состоянийЧтобы определить количество состояний микрочастицы, движущейсяквазисвободно, то есть, имеющую энергию в интервале ( E, E + ΔE ) вблизиэнергии Ферми перепишем последнюю зависимость:1 ⎛ 2mE ⎞N=3π 2 ⎜⎝ 2 ⎟⎠dN =2 m3 2π2332и продиффреренцируемd.

ПолучимdEE 1 2dEПолучим плотность состояний с энергией E недалеко от уровня Ферми EFN (E) =2 m3 2π23E1 2Распределение ФермиПодчеркнем, что N ( E ) описывает плотность возможных состояний. Далеко невсе они заполнены. Чтобы определить число носителей заряда (электронов) надознать вероятность заполнения состояний электронами f ( E ) . Тогдаn ( E ) =N ( E ) ⋅ f ( E )В квантовой механике вероятность заполнения энергетических уровнейэлектронами (электроны – частицы с полуцелым спином, или фермионы)определяется распределением Ферми1fF ( E ) =E − EF1 + e kBTгде EF - уровень Ферми.

Уровень, вероятность заполнения которого равна 1/2.Графический вид распределения Ферми. Для удобства аргумент (энергия E ) частообозначается на вертикальной оси, а функция ( f E ) - на горизонтальной.18Концентрация n электронов – носителей заряда может быть найдена путеминтегрирования по всем заполненным состояниям.∞n = ∫ n ( E )dE0Вид функции распределения показывает, что вероятность заполнения уровней,находящихся ниже энергии Ферми, близка к единице, выше энергии Ферми – кнулю. Уровень Ферми в металлах лежит внутри зоны разрешенных энергий, а вполупроводнике – в запрещенной зоне. Причем, в чистом, беспримесном,полупроводнике уровень Ферми оказывается ровно посередине запрещенной зоны.Поэтому в металле переход электронов с заполненных состояний нанезаполненные оказывается очень легким.

Для этого вполне достаточновозмущений из-за теплового движения, характерный масштаб которыхопределяется величиной kBT . Это способствует высокой проводимости. Вполупроводниках же валентная зона оказывается полностью заполненной, а зонапроводимости – пустой. Переход из заполненных состояний в незаполненные врезультате тепловых возмущений крайне маловероятен, поэтому чистыеполупроводники имеют низкую электропроводность.Уровень Ферми в металлеУровень Ферми в полупроводнике19Электроны и дыркиАтомы типичных полупроводников ( Si,Ge ) имеют валентность, равнуючетырем, и, как уже говорилось выше, в твердом теле образуют структуру, вкоторой каждый атом связан ковалентными связями с четырьмя ближайшимисоседями.