QML2 (И.В. Копытин, А.С. Корнев, Н.Л. Манаков - Курс лекций по квантовой теории)

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕУЧРЕЖДЕНИЕВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ«ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙУНИВЕРСИТЕТ»КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯКурс лекцийЧасть 22-е издание, исправленное и дополненноеИздательско-полиграфический центрВоронежского государственного университета2011Утверждено научно-методическим советом физического факультета31 марта 2011 г., протокол № 3Авторы: И.В. Копытин, А.С. Корнев, Н.Л.

Манаков, М.В. ФроловРецензент д-р физ.-мат. наук С.Д. КургалинКурс лекций подготовлен на кафедре теоретической физики физического факультета Воронежского государственного университета.Рекомендуется для студентов 4 курса д/о и в/о.Для специальностей: 010700 — Физика, 010801 — Радиофизика и электроника, 010803 — Микроэлектроника и полупроводниковые приборы2ОглавлениеВведение . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .5Глава 1. Квазиклассическое приближение . . . . . . . . .1.1. Связь квантовой механики с классической . . . . . . . .1.2. Квазиклассическое приближение . . . . . . . . . . . . . .1.3. Метод ВКБ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.1.4. Граничные условия в методе ВКБ . . . . . . . . . . . . .1.5. Формула квантования Бора–Зоммерфельда. Нормировкаквазиклассических волновых функций . . . . . . . . . . .1.6. Прохождение частицы через потенциальный барьер вквазиклассическом приближении . . . . . . . . . . . . . .668101320Глава 2. Стационарная теория возмущений . . . .

. . . . .2.1. Теория возмущений для невырожденного уровня . . . . .2.2. Теория возмущений при наличии двух близких уровней .2.3. Теория возмущений при наличии вырождения . . . . . .23242932Глава 3. Вариационный метод . . . . . . . .

. . .3.1. Вариационный принцип . . . . . . . . . . . .3.2. Вариационный метод Ритца . . . . . . . . . .3.3. Вариационный вывод уравнения Шредингераонарных состояний . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .для стаци. . . . . . .343436Глава 4. Теория квантовых переходов .

. . . .4.1. Квантовые переходы . . . . . . . . . . . . .4.2. Нестационарная теория возмущений . . . .4.3. Адиабатическое и внезапное возмущения .4.4. Гармонические и постоянные возмущения.«Золотое правило Ферми» . . . . . . . . . .........39394243. . . . . . . .45Глава 5. Излучение и поглощение света . . . . .

. . . . . . .5.1. Гамильтониан взаимодействия квантовой системы с электромагнитным излучением . . . . . . . . . . . . . . . . . .5.2. Дипольное приближение . . . . . . . . . . . . . . . . . . .493........................163849515.3.5.4.5.5.5.6.Правила отбора для дипольных переходов .Поглощение и вынужденное излучение светаСпонтанное излучение . . . . . .

. . . . . . .Фотоэффект . . . . . . . . . . . . . . . . . . .....53555760Глава 6. Элементы теории рассеяния . . . . . . . . . . . . . .6.1. Рассеяние как квантовый переход в низшем порядке теории возмущений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6.2. Задача рассеяния частиц и граничное условие для волновой функции непрерывного спектра . . . . . . . . . . .6.3.

Точное выражение для амплитуды рассеяния . . . . . . .6.4. Функция Грина свободного движения . . . . . . . . . . .6.5. Первое борновское приближение для амплитуды рассеяния и условия его применимости . . . . . . . . . . . . . .6.6. Рассеяние на кулоновском потенциале .

. . . . . . . . . .62Приложение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .А. Дельта-функция Дирака . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Б. Функции Бесселя . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7474754........................626466676972ВведениеНастоящее пособие представляет собой вторую часть курса лекцийпо дисциплине «Квантовая теория», читаемого студентам всех специальностей физического факультета, и посвящено изложению приближенных методов квантовой теории и их приложениям.Первая глава знакомит читателя с квазиклассическим приближением и его приложениями к решению одномерного уравнения Шредингера.

Во второй и третьей главах обсуждаются стационарная теория возмущений и вариационный метод. В четвертой главе излагаетсятеория квантовых переходов на основе нестационарной теории возмущений. В пятой главе теория квантовых переходов используется дляанализа взаимодействия квантовой системы с классическим электромагнитным полем. В шестой главе обсуждаются постановка задачи иприближенные методы (борновское разложение амплитуды рассеяния)в квантовой теории рассеяния.Ниже приводятся численные значения фундаментальных физических констант (в системе СИ), встречающихся в настоящем пособии:– постоянная Планка ℏ = 1.055 · 10−34 Дж·c;– масса электрона me = 9.11 · 10−31 кг;– масса протона mp = 1.67 · 10−27 кг;– элементарный заряд |e| = 1.602 · 10−19 Кл;– скорость света в вакууме c = 3.00 · 108 м/с.5Глава 1.Квазиклассическое приближениеАналитическое решение стационарного уравнения Шредингера существует лишь для весьма ограниченного круга потенциалов (осцилляторный, кулоновский и некоторые другие), так что в большинствеслучаев для определения волновых функций и спектра энергий требуется использование численных методов.

Поэтому важным вопросомквантовой теории является развитие методов приближенного решенияуравнения Шредингера с той или иной точностью в замкнутом (аналитическом) виде, основанного на ряде допущений (приближений), связанных с характером конкретной задачи (или целого класса таких задач). Несмотря на то, что все приближенные методы имеют ограниченную область применимости, зависящую от характера сделанных приближений, они позволяют качественно, а порой и количественно, описать конкретный квантовый процесс. Одним из приближенных методоврешения квантовомеханических задач является квазиклассическое приближение. Как будет показано ниже, в некоторых случаях (например,при плавном изменении потенциала внешнего поля) поведение квантовой системы определяется классическими законами, а квазиклассическое решение уравнения Шредингера с асимптотической точностью(т. е.

решение тем ближе к точному, чем точнее выполняются условияприменимости) определяет точное решение. Более того, несмотря наназвание, квазиклассическое приближение позволяет предсказать рядэффектов, не имеющих классических аналогов (например, туннельныйэффект), а также с экспоненциальной точностью рассчитать их наблюдаемые характеристики.1.1.Связь квантовой механики с классическойВначале рассмотрим вопрос о соотношении квантового и классического описания движения микрочастицы и покажем, что классическоеописание является предельным случаем квантового.Рассмотрим средние значения координаты hxi и импульса hpi квантовой частицы, которая находится в состоянии Ψ(x, t) в поле с потенциальной энергией V (x) (для простоты ограничимся одномерным случаем).

Изменение hxi и hpi с течением времени определяется соотноше6ниями:1dhxi = hpi;dtmdhpi = −dtdV (x)dx,(1.1)называемыми теоремами Эренфеста 1 . Из соотношений (1.1) следует:dV (x)d2 hxi≡ hF i,(1.2)=−mdt2dxdVгде F ≡ −— классическая сила, действующая на частицу со стороdxны поля.Уравнение (1.2) есть квантовый аналог уравнения Ньютона, однакоследует отметить принципиальную разницу между (1.2) и вторым законом Ньютона. Действительно, в законе Ньютона сила, действующаяна частицу, вычисляется локально в точке hxi, в которой находится частица, в то время как в «квантовое уравнение Ньютона» (1.2) входитсила, усредненная по всему пространству, а не F (hxi).

Однако, еслисостояние Ψ(x, t) локализовано в малой области ∆x , включающей точкуhxi, то соотношение (1.2) можно упростить. Основной вклад в интегралдля среднего значения дает область ∆x , поэтому, считая V (x) плавнойфункцией внутри области локализации частицы, разложим производную dV /dx в ряд Тейлора по степеням x − hxi:dV (hxi) d2 V (hxi)1 d3 V (hxi)dV=+(x−hxi)+(x − hxi)2 + . . . , (1.3)23dxdhxidhxi2 dhxiгдеdn V (hxi)dn V (x) ≡,dhxindxn x=hxiи подставим (1.3) в (1.2).

Учитывая условия нормировки волновойфункции на единицу, а также нулевой вклад линейного по x − hxi слагаемого при усреднении (1.3), имеем:md2 hxidV (hxi) 1 d3 V (hxi)=−−h(∆x)2 i + . . . .23dtdhxi2 dhxi(1.4)Отсюда видно, что условие перехода теоремы Эренфеста (1.2) во второйзакон Ньютона определяется неравенством: 3 d V (hxi) 2 dV (hxi) (1.5) dhxi ≫ dhxi3 ∆x .1Соотношения (1.1) легко получаются, если воспользоваться определениемˆ /dt = ∂ F̂ /∂t +оператора производной по времени физической величины F : dF+(i/ℏ)[Ĥ, F̂ ].7Итак, движение «центра масс» пространственного распределения частицы тем лучше описывается уравнением Ньютона, чем слабее потенциал зависит от координаты и чем ближе это распределение к точечному.

Следует отметить, что вследствие принципа неопределенностипространственная локализация волновой функции приводит к разбросузначений импульса частицы и, как следствие, к нарушению классического понимания кинетической энергии. Поэтому, помимо соотношения(1.5), должно выполняться равенство:hp2 ihpi2h(∆p)2 ihpi2=+≈.2m2m2m2mЧтобы выполнялось (1.6), необходимо выполнение условияhpi2 ≫ h(∆p)2 i.(1.6)(1.7)Таким образом, квантовая частица ведет себя подобно классической,если движется в достаточно плавном потенциале с большим импульсом.В заключение приведем численную оценку границ применимостиклассических законов на примере движения частицы массы m по круговой орбите радиуса a вокруг силового центра, создающего потенциалα/r. Подставляя явный вид V (r) = (mα)/r в (1.5), получим:a2 ≫ h(∆x)2 i,что вместе с (1.7) дает следующее неравенствоa2 p2 ≫ h(∆x)2 ih(∆p2 )i ∼ ℏ2 /4.Очевидно, что для макроскопических объектов (для которых ap/ℏ ≫ 1)данное неравенство выполняется с высокой степенью точности.1.2.Квазиклассическое приближениеВыясним теперь, как выглядит волновая функция квантовой частицы с массой m в поле V (r, t) в пределе, когда ее квантовое описание спомощью уравнения Шредингера∂ℏ2 2iℏΨ(r, t) = −∇ + V (r, t) Ψ(r, t)(1.8)∂t2mнаиболее близко к классическому, и получим более строгое условие применимости квазиклассического подхода.

Для этого представим волновую функцию в виде:i(1.9)Ψ(r, t) = exp S(r, t) ,ℏ8где S(r, t) — некоторая новая неизвестная функция. Подстановка (1.9)в уравнение (1.8) приводит к следующему уравнению для S(r, t):(∇S)2iℏ 2∂S++ V (r, t) −∇ S = 0.∂t2m2m(1.10)Если пренебречь последним слагаемым, пропорциональным ℏ, уравнение (1.10) совпадает по форме с классическим уравнениемГамильтона–Якоби:∂S(∇S)2++ V (r, t) = 0,∂t2m(1.11)где S имеет смысл классического действия. Если потенциальная энергия не зависит от времени [V (r, t) = V (r)], то в уравнениях (1.10) и(1.11) пространственные и временные переменные разделяются, и S(r, t)можно представить в виде:S(r, t) = S0 (r) − Et,(1.12)где S0 (r) — так называемое укороченное действие. Подставляя (1.12) в(1.10), получим:iℏ 2(∇S0 )2+ V (r) −∇ S0 = E,2m2mчто отличается от соответствующего классическогоГамильтона–Якоби для укороченного действия(∇S0 )2+ V (r) = E2m(1.13)уравнения(1.14)отсутствием в левой части слагаемого, пропорционального ℏ [сравни(1.10) с (1.11)].Исследуем более подробно переход от (1.13) к (1.14).