QML2 (И.В. Копытин, А.С. Корнев, Н.Л. Манаков - Курс лекций по квантовой теории), страница 3

е. при переходе из классически недоступнойобласти в классически доступную.Альтернативой линеаризации потенциала для вывода формул сопряжения является обход классической точки поворота в комплекснойплоскости z (вещественной осью которой является ось x) на достаточнобольшом расстоянии от x = a, удовлетворяющем условиям применимости квазиклассического приближения (метод Цваана). Данный методразбирается, например, в [1] доп. Он приводит к тем же самым формулам сопряжения (1.35), (1.36).Если же в точке поворота потенциал терпит разрыв, то квазиклассическое приближение будет применимо в сколь угодно малой ее окрестности. Поэтому в такой ситуации формулы сопряжения не требуются.Необходимо произвести обычное сшивание логарифмических производных (без дифференцирования предэкспоненциальных множителей).151.5.Формула квантования Бора–Зоммерфельда.НормировкаквазиклассическихволновыхфункцийКлассическая частица в потенциальной яме, изображенной нарис.

1.1, совершает финитное (колебательное) движение при произвольном значении энергии E > Vmin . В квантовой теории энергия частицыв потенциальной яме принимает ряд определенных дискретных значений — говорят, что энергия квантуется. Поэтому интересным представляется вопрос о выводе соотношения для квантовых уровней энергиичастицы в потенциальной яме в квазиклассическом приближении.Как было показано выше, в классически недоступных областях (I иIII на рис.

1.1) волновая функция экспоненциально затухает при удалении от точки поворота (см., например, выражение (1.29)). В то жевремя в классически доступной области (II на рис. 1.1) она осциллируети может быть записана двумя способами, исходя из формул сопряжения (1.35) или (1.36)): Z xB1π′′ΨII (x) = psin,(1.37)p(x ) dx +ℏ a4p(x)или#" ZbD1πΨ̃II (x) = p.sinp(x′ ) dx′ +ℏ x4p(x)(1.38)Функции ΨII (x) и Ψ̃II (x) обеспечивают «плавный» (в смысле, пояснённом в предыдущем разделе) переход между областями I→II и II→IIIв соответствии с (1.35), (1.36), а в области II, очевидно, они должныбыть идентичными, что и обеспечит однозначную определённость полной квазиклассической волновой функции во всех областях I–III.

Достаточным условием для этого является равенство функций ΨII (x) иΨ̃II (x) и их производных в произвольной (но достаточно удаленной отточек поворота a и b) точке x = xi . Это условие дает систему двухлинейных уравнений для определения коэффициентов B и D (точнееих отношения, поскольку система однородная), которую мы запишем вматричной форме:!  xibRR# "#− sin ℏ1 p(x′ )dx′ + π4  " sin ℏ1 p(x′ )dx′ + π4axi!  B = 0 . xiRbR0 D11ππ′′′′cos ℏ p(x )dx + 4cos ℏ p(x )dx + 4axi(1.39)16При записи этих уравнений было учтено, что квазиклассические волновые функции ΨII (x) и Ψ̃II (x) являются быстроосциллирующими, поэтому производная этих функций определяется главным образомpпроизводной от sin(.

. .) (вклад производной от плавной функции 1/ p(x)пренебрежимо мал на фоне производной от быстроосциллирующейфункции и при получении (1.39) не учитывался). Однородное матричное уравнение (1.39) имеет нетривиальное решение только при условииобращения в нуль детерминанта матрицы уравнения (1.39). Это условие даёт: bZπ1sin p(x′ )dx′ +  = 0,ℏ2aоткуда (учитывая, что значение фазового интеграла не может бытьотрицательным, т. к.

p(x) ≥ 0) получаем:Zba1p(x′ ) dx′ = πℏ n +2,n = 0, 1, . . .(1.40)С учётом (1.40) из (1.39) получается связь между B и D: B = (−1)n D.Равенство (1.40) определяет в квазиклассическом приближении допустимые значения энергии E (она параметрически входит в классический импульс и определение точек поворота), так что (1.40) представляет собой трансцендентное уравнение для E(n) ≡ En . Это такназываемое правило квантования Бора–Зоммерфельда 3 .

Как следуетиз (1.40), фаза волновой функции (1.37) в интервале (a, b) изменяетсяна π(n + 1/2). Следовательно, сама волновая функция внутри классически доступной области меняет свой знак ровно n раз. Таким образом,квантовое число n определяет число узлов волновой функции. Согласноусловиям применимости квазиклассического приближения (см.

(1.20)),решение (1.40) является хорошим приближением только в том случае,если между точками a и b укладывается достаточно много длин волн,т. е. n ≫ 1.Формула (1.40) позволяет также установить ещё один важный результат, если её переписать в виде контурного интегралаI11p(x′ ) dx′ = n + , n = 0, 1, . . . ,(1.41)2πℏ2взятого по замкнутой классической траектории частицы. Этот интеграл численно равен площади, охватываемой траекторией в плоскости3Заметим, что в старой квантовой теории Бора–Зоммерфельда правило квантования постулировалось и слагаемое 1/2 в правой части (1.40) было пропущено.17(p, x) — фазовом пространстве частицы.

Разделив эту площадь на клетки площадью 2πℏ каждая, мы получим всего n клеток. Но n есть числоквантовых состояний с энергиями, не превышающими значения En , соответствующего рассматриваемой фазовой траектории. Таким образом,можно сказать, что в квазиклассическом случае каждому квантовомусостоянию системы соответствует клетка в фазовом пространстве площадью 2πℏ. Другими словами, число квантовых состояний, приходящихся на элемент объема фазового пространства ∆p ∆x, есть∆p ∆x.(2πℏ)Понятие о «клетках» в фазовом пространстве применимо и в общемслучае системы с s степенями свободы, только теперь на элемент ∆V2s-мерного фазового объема приходится∆q1 .

. . ∆qs ∆p1 . . . ∆ps∆V=(2πℏ)s(2πℏ)sквантовых состояний. В частности, для электрона (в конечном объеме квантования V = L3 ) число состояний, приходящихся на интервалимпульсов dp (от p до p + dp), естьV dpV dpx dpy dpzV p2 dp dΩ==.(2πℏ)3(2πℏ)3(2πℏ)3(1.42)Исходя из правила квантования Бора–Зоммерфельда, можно выяснить общий характер распределения уровней в энергетическом спектре.Пусть ∆E есть расстояние между двумя соседними уровнями, т.

е. уровнями с отличающимися на единицу квантовыми числами n. Поскольку∆E мало (при больших n) по сравнению с самой энергией E, то изменением положения точек поворота a и b (или деформацией контураинтегрирования в (1.41)) при переходе от E к E + ∆E можно пренебречь. Поэтому разность выражений (1.41) для двух соседних уровней(с квантовыми числами n+1 и n) можно записать следующим образом:III∂pdx.2πℏ = p(E + ∆E) dx − p(E) dx ≈ ∆E∂EНо ∂E/∂p = v = p/m — классическая скорость, так чтоIIdx∂pdx == T.∂EvВ результате для ∆E получаем следующее соотношение:∆E ≈2πℏ= ℏω.T18(1.43)Здесь T и ω — период и частота колебательного движения классическойчастицы с энергией E в потенциальной яме.

Таким образом, расстояние между соседними уровнями оказывается равным ℏω. Хотя частотаω (как и период T ) зависит от E, для целого ряда соседних уровней(разность номеров n которых мала по сравнению с самим n) соответствующие частоты ω можно приближенно считать одинаковыми. Поэтому мы приходим к выводу, что в каждом небольшом участке квазиклассической части спектра уровни расположены эквидистантно, синтервалом ℏω.Вычислим теперь нормировочный множитель в квазиклассическойволновой функции. Поскольку волновая функция в классически недоступных областях (x < a и x > b) экспоненциально затухает, вклад внормировочный интеграл от этих областей экспоненциально мал.

Таким образом, имеем:Z∞−∞2|Ψ(x)| dx ≈Zba|ΨII (x)|2 dx = 1.(1.44)Подставляя явный вид ΨII (x) (см. (1.37)) в (1.44) и учитывая, что квазиклассическая функция быстро осциллирует (это означает, что квадрат синуса может быть заменен на 1/2), получим:" Z#−1/2 1/2 1/21 b dx4m2mωB===,2 a p(x)Tπ(1.45)где T — классический период колебаний частицы с заданной энергиейв яме, определяемый соотношением (1.43).Появление периода классического движения в нормировке (1.45)не случайно и связано с вопросом в чем состоит «классичность» квазиклассической волновой функции (1.37) 4 . Действительно, согласно (1.37), (1.45), вероятность обнаружения частицы на интервале dx(усредненная по n+1 осцилляциям квадрата синуса на интервале (a, b))есть2 dx2m dx=dW (x) = |ΨII (x)|2 dx ≈T p(x)T v(x)в точном соответствии с классическим результатом dWcl (x) == 2 dx/(T v(x)) = 2 dt/T , где dt — время, проводимое частицей на интервале dx.4А также с физическим истолкованием множителя 1/ских волновых функциях.19pp(x) в квазиклассиче-Рис.

1.31.6.Прохождение частицы через потенциальныйбарьер в квазиклассическом приближенииРассмотрим частицу, движущуюся в потенциале V (x), принимающем максимальное значение V0 (см. рис. 1.3). Если энергия частицыE < V0 , то с точки зрения классической механики барьер являетсяидеальным «зеркалом», т. е. все частицы полностью отражаются от барьера. В квантомеханическом рассмотрении возможно проникновениечастицы через потенциальный барьер в область за барьером.