№1 (Методические разработки к лабораторным работам), страница 3

Из (17) следует, что работа ABC зависит только от положенийначальной B и конечной C точек траектории и не зависит от ее формы, так какпри выводе последняя предполагалась произвольной.Пользуясь принципом суперпозиции, легко показать, что вывод онезависимости работы электростатических сил от формы траектории пробногозаряда справедлив и в случае поля, создаваемого произвольной системойзарядов. Следствием независимости работы электростатических сил от формытраектории заряда является то, что при возвращении заряда в начальную точкудругим путем (при обходе им контура) работа этих сил оказывается равнойнулю. Напомним, что такие силы называются консервативными, илипотенциальными.Подчеркнем, что это верно лишь в случае электростатики.

Работаэлектрических сил над зарядом в переменном электромагнитном поле приобходе зарядом замкнутого контура, вообще говоря, не равна нулю.Потенциал и разность потенциаловВозьмем в некоторой области электростатического поля фиксированнуюточку C . Как было сказано ранее, работа ABC , которую совершат над пробнымзарядом q0 электростатические силы при его перемещении из какой-либо точкиB в точку C не зависит от траектории заряда. Отношение этой работы квеличине q0 , равное согласно (16)BABCq0CEl dl ,(18)Bне зависит также и от q0 Значение B определяется, таким образом, свойствамиполя в данной области и выбором точки B и поэтому может служитьхарактеристикой поля в точке B .

Величина B называется потенциаломточки B электростатического поля. Если точка B совпадает с точкой C , то в12(18) пределы интеграла оказываются одинаковыми, и, следовательно,потенциал обращается в нуль. Стало быть, выбором точки C определяетсяточка поля, в которой значение потенциала принимается за нуль. Если область,в которой распределены заряды, создающие поле, ограничена, то при расчетахв качестве точки с нулевым значением потенциала обычно выбираетсябесконечно удаленная точка. На практике часто считают, что нулевойпотенциал имеют проводники, связанные с землей.Положив в формуле (17) rCи rB r , найдем выражение для потенциалаполя точечного заряда q на расстоянии r от него, если за нуль принятьпотенциал бесконечно удаленной точки:ABq0(r )q40r.(19)Из принципа суперпозиции для электрического поля следует, что,представив произвольное распределение зарядов в виде системы точечныхзарядов, вычисление потенциала поля в любом случае можно свести кнахождению суммы потенциалов точечных зарядов.Разностью потенциалов точек B и D (напряжением между точками B и D )электростатического поля называется величина(20)U BDBD.Если в качестве линии, вдоль которой вычисляется интеграл в формуле(18), взять линию BDC (рис.9), то разность потенциалов точек B и D можнопредставить в видеCU BDCEl dlBDEl dlDCEl dlBCEl dlDDEl dlDEl dl.(21)BСравнивая формулы (21) и (16), найдем, что работа ABD , совершаемаяэлектростатическими силами над зарядом q при егоперемещении из точки B в точку D , равнаABD qU BD q( B(22)D ).Разность потенциалов dU между точками,лежащими на концах элементарного отрезка dl ,равна подынтегральному выражению в (21), т.е.( 23)dU El dl E cos dl.Здесь - уголмежду направлениями напряженностии отрезка dl .Рис.

9Следует обратить внимание на то, что привычислении разности потенциалов (20) из потенциала точки B , принятой заначальную, вычитается потенциал точки D , принятой за конечную, в то времякак в математике изменение какой-либо величины определяется разностью ееконечного и начального значений. Поэтому изменение (приращение)потенциаламежду точками B и D имеет обратный знак поDBU BD . Это касается исравнению с разностью потенциалов этих точек, т.е.13элементарного приращения потенциала d , которое согласно (23) должно бытьравно(24)dduEl dlE cos dl .СВЯЗЬ МЕЖДУ НАПРЯЖЕННОСТЬЮ ИПОТЕНЦИАЛОМЕсли известно распределение напряженности Е в некоторой областиэлектрического поля и точка С , в которой потенциал принят за нуль, лежит вэтой же области, то, пользуясь формулой (18), можно найти потенциалпроизвольной точки B , находящейся в данной области. Линию, идущую отточки B до точки С , вдоль которой производится интегрирование в (18),можно выбрать произвольно, сообразуясь лишь с удобствами вычисления.Таким образом, если распределение напряженности известно, то можно найти ираспределение потенциала.Покажем обратное - как по известному распределению потенциала найтивеличину и направление напряженности в произвольной точке поля.

Пусть вокрестности точки P известно распределение потенциала.Будем откладыватьот точки P по всем возможным направлениям отрезок dl . Концы этого отрезкабудут лежать на сфере радиуса dl с центром в точке P (рис. 10). Так какпотенциал считается известным во всех точках, то для каждого направленияотрезка dl можно найти приращение потенциала d на расстоянии от точки Pдо конца отрезка dl . Из формулы (24) следует, что проекция El E cosвектора напряженности E на направление отрезка dl равна взятому с обратнымзнаком отношению приращения потенциала d вдоль отрезка к величинеотрезка dl :dEl.(25)dlС математической точки зрения выражениеddlпредставляет собойпроизводную потенциала по направлению вектора dl(предполагается, что величину dl следует устремить кнулю).

Величина этой производной характеризуетбыстроту изменения потенциала в направлении dl , а знакпоказывает, возрастает или убывает потенциал в этомнаправлении. Если в качестве направления отрезка dlвзять направление вектора E (0 ), то величина ElРис. 10примет максимальное значение, равное E . В этом случаемаксимальное значение будет иметь и правая часть выражения (25), т.е.14Eddl.м акс(26)Таким образом, в точке P электрического поля вектор напряжѐнности Eнаправлен в сторону наибыстрейшего убывания потенциала и по абсолютнойвеличине равен взятой с обратным знаком производной потенциала по этомунаправлению.Вектор, имеющий направление наибыстрейшего возрастания функции ,зависящей от координат, величина которого равна производной функции поэтому направлению, называется градиентом функциии обозначаетсяgr ad .gr ad . Таким образом, согласно (26) EЭквипотенциальные поверхностиГеометрические места точек, имеющих одинаковые значения потенциала,называютповерхностямиравногопотенциала,илиэквипотенциальными поверхностями (эквипотенциалями).

Из формулы(24) следует, что изменение потенциала равно нулю ( d 0 ) в направлении,перпендикулярном вектору напряженности.Такимобразом,потенциалостаетсяпостоянным на участке поверхности,перпендикулярном линии напряженности(рис.11). Следовательно, если известныэквипотенциальные поверхности в какойлибо области электростатического поля, томожно построить линии напряженности,Рис.

11проведя их так, чтобы они пересекалиэквипотенциальныеповерхностиподпрямыми углами. На чертежах обычно изображаются эквипотенциальныелинии, представляющие собой линии пересечения эквипотенциальныхповерхностей плоскостью чертежа. Нарис.12показаныдляпримераэквипотенциальные линии (сплошные) илиниинапряженности(штриховые)электрического поля, создаваемого двумяшарами,заряженнымиодноименнымиравными по величине зарядами.Пусть эквипотенциальные поверхностис потенциалами B и D проведены такблизко друг к другу что в рассматриваемойРис.

12области (например, в области, выделеннойна рис. 12 штрихпунктирными линиями) электрическое поле можно считатьоднородным. Свяжем разность потенциалов точек B и D , находящихся на этихэквипотенциальных поверхностях и лежащих на одной линии напряженности, с15величиной напряженности E в этой области. Обратившись к формуле (21),учтем, что интегрирование в данном случае проводится вдоль линиинапряженности и что напряженность предполагается всюду одинаковой,т.е. El E const . ПоэтомуDU BDBDE dlE l,(27)Bгде lDdl - расстояние между эквипотенциалями. Отсюда следует, чтоBEBDlU BD.l(28)т.е.

величина напряженности обратно пропорциональна расстоянию l междуэквипотенциалями. Если на чертежах семейство эквипотенциалей изображатьтак, что разности потенциалов между двумя любыми соседнимиэквипотенциалями одинаковы, то по густоте эквипотенциалей можно судить онапряженности поля: напряженность больше в тех местах, где эквипотенциалиидут теснее.ПРОВОДНИКИ В ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОМ ПОЛЕКак известно, проводники отличаются от изоляторов тем, что онисодержат так называемые свободные заряды, которые могут легкоперемещаться внутри проводника на макроскопические расстояния.

Вметаллических проводниках свободными зарядамиявляются электроны, в электролитах - ионы разныхзнаков. При помещении проводника в постоянноеэлектрическое поле или при сообщении ему заряда впроводнике происходит перераспределение зарядов.Как показывает опыт, движение зарядов, в концеконцов, прекращается. Из самого факта наступленияравновесия следует, что напряженность электрическогополя внутри проводника в случае электростатикидолжна быть равна нулю, иначе на свободные заряды вРис. 13проводнике действовала бы сила, и их движение немогло бы прекратиться.

Направление напряженности вне проводника внепосредственной близости к его поверхности должно быть перпендикулярнымповерхности, т.е. таким, чтобы не было составляющей напряженности вдольповерхности.В отсутствии электрического поля проводник обычно нейтрален. Онсодержит одинаковое количество разноименных зарядов, которыераспределены внутри него равномерно, так что происходит их полная взаимнаякомпенсация.