№1 (Методические разработки к лабораторным работам)

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТимени М. В. ЛомоносоваФизический факультеткафедра общей физики и физики конденсированного состоянияМетодическая разработкапо общему физическому практикумуЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОЕ ПОЛЕ(теоретическое введение к задачам №1 и №2 из раздела«Электричесво и магнетизм»)Доцент Пустовалов Г.Е.Москва - 2012Подготовил методическое пособие к изданию доц. Авксентьев Ю.И.2ПОНЯТИЕ ОБ ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕДля описания взаимодействия электрических зарядов между собойвводится понятие об электрическом поле. Предполагается, что каждый заряд впространстве создает вокруг себя нечто материальное, называемоеэлектрическим полем.

Это поле действует на другой заряд в той точкепространства, где этот заряд находится.Таким образом, основным свойством электрического поля является то, чтона заряд, помещенный в любую точку пространства, где имеется поле,действует сила. Электрическое поле обладает также рядом других свойств,которые могут быть выяснены только при более глубоком его изучении. Вчастности, оно распространяется со скоростью света, обладает энергией иимпульсом. В электростатике, т.е. в том случае, когда все характеристики поляостаются неизменными с течением времени, взаимодействие зарядов можноописать и без понятия об электрическом поле. Однако многие задачи электростатики гораздо проще решаются методами, использующими описаниевзаимодействия зарядов при помощи электрического поля, чем непосредственно при помощи закона Кулона.

Понятие об электрическом полестановится совершенно необходимым для описания явлений, связанных сдвижением зарядов. При этом оказывается, что переменное электрическое полевместе с переменным магнитным полем образуют единое электромагнитноеполе, которое может существовать в виде электромагнитных волн отдельно отзарядов, бывших первоначально причиной возникновения поля.Напряженность электрического поляНаличие электрического поля в какой-либо точке пространства можноустановить по действию силы на помещенный в эту точку заряд. Поместив этотже заряд в другую точку поля, мы снова обнаружим действие на него силы,хотя возможно, что величина и направление этой силы будут уже другими.Заряд, при помощи которого обнаруживается электрическое поле, называетсяпробным зарядом. Пробный заряд должен быть достаточно мал по своимгеометрическим размерам, т.е. быть точечным, чтобы его можно было считатьнаходящимся в рассматриваемой точке поля.

Он также должен быть мал и повеличине заряда, чтобы не вызывать заметных изменений в расположенииокружающих зарядов и, тем самым, не искажать поля, которое существовало доего внесения.В качестве основной характеристики электрического поля принимаетсяЕ ввекторная величина, которая называется напряженностью:напряжѐнностьданной точке поля равна отношению силы f , действующий на неподвижныйпробный заряд, помещѐнный в эту точку, к величине q0 пробного заряда, т.е.Ef.q0(1)3Вектор Е не зависит от q 0 , а зависит только от свойств электрическогополя в данной точке. В самом деле, величина и направление силы,действующей на пробный заряд в какой-либо точке поля, зависит, с однойстороны, от расположения и величин зарядов, создающих это поле, и, с другойстороны, от величины пробного заряда.

В частности, если поле создаетсяточечным зарядом величины q , а пробный заряд помещен на расстоянии r отнего, то на пробный заряд действует сила, величина которой согласно законуКулона (в системе единиц СИ) равнаfqq04 0r 2(2)(здесь 0 = 8,85 10 12 Кл/(В м) - электрическая постоянная). Заряженное телопроизвольной формы можно рассматривать как совокупность малых зарядов,близких к точечным. Как показывает опыт, для электрических сил справедливпринцип суперпозиции, согласно которому сила, действующая на пробныйзаряд, равна векторной сумме сил, действующих на него со стороны этихмалых зарядов.

В каждое слагаемое такой суммы войдет множителем величинапробного заряда. В результате, сила, действующая на пробный заряд состороны любого заряженного тела или произвольной системы зарядов,оказывается пропорциональной величине q0 . В отношении (1) величина q0сокращается, и поэтому Е0 не зависит от неѐ.Линии напряженности электрического поляДля наглядности электрическое поле изображают при помощи линийнапряженности (силовых линий). Это воображаемые линии, касательные ккоторым во всех точках имеют направления, совпадающие с направлениемвекторов напряженности в этих точках.

Напряженность электрического поляизменяется непрерывно во всех областях пространства, где нет электрическихзарядов. Поэтому в этих областях непрерывны и линии напряженности: онимогут начинаться и оканчиваться лишь на зарядах или в бесконечности.Принято считать, что они выходят из положительных зарядов и входят вотрицательные. Линии напряженности друг с другом пересекаться не могут,иначе в точке пересечения существовало бы одновременно два различныхнаправления силы, действующей на пробный заряд1.Нужно, однако, иметь в виду, что линии напряженности вводятся толькодля наглядности.

Во всех расчетах можно обойтись без них. Обратим вниманиетакже на то, что заряд в электрическом поле движется, вообще говоря, не вдольлинии напряженности. Движение заряда вдоль линии напряженностипроисходит только в том случае, если линия представляет собой прямую, иначальная скорость заряда направлена по этой прямой или равна нулю.1За исключением кажущихся пересечений в отдельных особых точках. Однако в этих точках напряженностьравна нулю, и ее направление остается неопределенным (см., например, на рис.12 точку, лежащую на серединеотрезка, соединяющего два одноименных равных заряда).4Поток напряжённостиПотоком вектора напряжѐнности электрического поля черезэлементарную площадку называется величина(3)Здесь E - величина вектора напряженности в области, где находится площадка,- угол между направлением вектора напряженности иdS - еѐ площадь,нормалью n к площадке, En E cos - проекция напряженности электрическогополя на направление нормали (рис.1).

Площадка предполагается практическиплоской и настолько малой, что напряженность во всех еѐ точках можносчитать одинаковой по величине и направлению.dФ EdS cosEndS.Поток напряжѐнности через произвольную поверхностьSпредставляет собой сумму потоков через элементарные площадки, на которыеразбита эта поверхность, и выражается в видеинтеграла по этой поверхности:(4)ФEn dS,SРис.

1Обычно линии напряженности проводяттак, чтобы плотность их (число линий,пересекающих перпендикулярную к нимединичную площадку) была равна величиненапряженности. При этом условии потокнапряженности через некоторую поверхностьравенчислулиний,пересекающихэтуповерхность. Действительно, как видно из рис.2,через малую площадку dS и еѐ проекцию dS , наплоскость,перпендикулярнуюнаправлениюнапряженности, проходит одинаковое число линийdN EdS .

Но dSdS cos , где- двугранныйугол между площадками, равный углу междунормалью n к площадке dS и направлениемвектора напряженности Е (углы со взаимноперпендикулярными сторонами). Таким образом,Рис. 2(5)Сравнивая формулы (5) и (3), убеждаемся в справедливости утверждения о том,что поток dФ через площадку dS равен числу линий напряжѐнности,пересекающих эту площадку.Знак потока зависит от угла между вектором напряженности и нормалью кповерхности и, следовательно, от выбора направления нормали. Приопределении потока через замкнутую поверхность принято выбирать внешнююнормаль к поверхности.dNEdSEdS cos .5ТЕОРЕМА ГАУССАНайдем поток dФ напряженности электрического поля, создаваемоготочечным зарядом q , через произвольную элементарную площадку dS ,расположенную от заряда на расстоянии r , значительно превышающем еѐразмеры (рис.3).

Величину вектора напряженности в том месте, гдерасположена площадка, найдем, поделив выражение (2) на q0 . Подставимполученное выражение в формулу (3). В результате получитсяdФq40r2dS cos .Здесь уголмежду вектором напряженности E , направленным вдоль линии,идущей от заряда к площадке, и нормалью к площадке n , зависит оториентацииплощадки.Учитывая,чтоdS cosdS получим отсюдаq dS(6)Ф4 0 r2r 2 поПримем во внимание, что величина dSопределению является значениемэлементарного телесного угла d ,составляющего часть пространства,выделенную конической поверхностью сРис. 3вершиной в точке, где находится заряд q , иопирающийся на площадку dS .

При малыхразмерах площадки dS , когда образующие конической поверхностипрактически параллельны, эта поверхность проходит также и через краяплощадки dS . Таким образом, из (6) следует, чтоq(7)dd ,4 0т.е. поток напряженности электрического поля, создаваемого точечнымзарядом, через площадку dS не зависит от формы площадки, ее ориентации впространстве и расстояния до заряда и определяется лишь величиной q заряда ителесным углом d , опирающимся на площадку.Возьмем теперь замкнутую поверхность S , окружающую точечный зарядq (рис.4,а). Для простоты сначала предположим, что поверхность S выпуклая.Найдем потокнапряженности поля, создаваемого зарядом q , через этуповерхность.

Для этого построим конические поверхности, выделяющиеэлементарный телесные углы d с вершинами в точке, где находится заряд q ,и заполняющие все пространство вокруг этой точки. При пересечении этихконических поверхностей с поверхностью S на последней образуютсяэлементарные площадки dS , заполняющие всю поверхность. Потоки d через6эти площадки определяются формулой (7). Полный потокповерхность найдем, суммируя потоки через площадки dS :qdd .40SSчерез всю(8)Интегрирование сводится к нахождению суммарного телесного угла d ,Sсоставляющего все пространство вокруг точки, в которой находится заряд q .Как известно, такой телесный угол равен 4 .