№1 (Методические разработки к лабораторным работам), страница 2

Таким образом,q.(9)0Если при подсчете потока взята внешняя нормаль к поверхности, то потокчерез каждую элементарную площадку будет положительным при q 0(напряженность направлена от заряда, и угол между еенаправлением и нормалью в случае выпуклойповерхности меньше2) и отрицательным при q 0 .Следовательно, формула (9) верна в алгебраическомсмысле - при изменении знака заряда q на обратныйизменяется и знак потока Ф .Пусть заряд q находится вне замкнутойповерхности.

Построив узкие конические поверхностис вершиной в точке, где находится заряд, можновыделить на поверхности S внутри одного и того жетелесного угла d две элементарные площадки dS1 иdS2 (рис.4,б). Потоки напряженности через этиплощадки будут иметь одинаковую величину, так какони определяются одним и тем же телесным углом.Однако знаки потоков будут противоположными:Рис.

4если, например, заряд q положительный, то уголмежду направлением напряжѐнности и нормалью вслучае площадки dS1 тупой ( cos 0 ), а в случае площадки dS2 - острый( cos 0 ). При суммировании потоки через элементарные площадки,выделенные на поверхности S коническими поверхностями, попарно взаимноуничтожаются, и полный поток Ф через всю замкнутую поверхность Sоказывается равным нулю. Итак,qФ, если q внутри поверхности,0(10)0, если q вне поверхности.Если поверхность S не выпуклая, а имеет более сложную форму, то7конические поверхности с вершинами в точке, где расположен заряд, могутпересекать ее по нескольку раз.

Однако результат (10) остается в силе.Действительно, как видно из рис. 5,а , если заряд находится внутри замкнутойповерхности, то конические поверхности выделяют на ней нечетное числоплощадок, причем при суммировании некомпенсированным остается толькопоток через одну из них. Следовательно, при суммировании телесных углов вформуле (8) каждый из них следует брать лишь один раз, как и в случаевыпуклой поверхности. Если же заряд находится вне замкнутой поверхности S(рис.

5, б), то при пересечении ее конической поверхностью происходитвыделение четного числа площадок, и при суммировании потоки через этиплощадки компенсируются попарно.Пусть теперь имеется система зарядов.Вследствиепринципасуперпозициинапряженность электрического поля, создаваемогосистемой зарядов, равна векторной сумменапряженностей, создаваемых каждым зарядом вотдельности.

Отсюда следует, что поток Фнапряженности поля, создаваемого системойзарядов,черезкакую-либоповерхностьскладывается из потоков Фi через эту поверхностьнапряженностей,создаваемыхотдельнымизарядами qi . Если имеется произвольная замкнутая поверхность S ,включающая в себя часть зарядов системы, то согласно (10) те из них, которыеоказываются внутри поверхности, дадут вклады (с учетом их знаков) в общийпоток напряженности через эту поверхность.Находящиеся вне поверхности S заряды ничегоне вносят в общий поток. Таким образом,отсюда вытекает следующее утверждение,которое мы будем называть теоремой Гауссадля напряженности электрического поля:Рис. 5,апоток напряженности электрическогополя через произвольную замкнутуюповерхность равен поделѐнной на 0алгебраическойсуммезарядов,находящихся внутри этой поверхности.Рис. 5,бПриняв во внимание выражение (4) для потока напряженности, запишемтеорему Гаусса в математической форме:1qi (внутри S)(11) En dSS0iЗдесь кружок на интеграле означает, что суммирование производится по8замкнутой поверхности.Применение теоремы ГауссаТеорема Гаусса используется 1) для установления ряда общих свойствэлектрического поля, 2) для нахождения зарядов в области, внутри которойизвестнанапряженностьэлектрическогополя,3) длянахождениянапряженности электрического поля, создаваемого зарядами, распределеннымив пространстве с высокой степенью симметрии.

Кроме того, теорема Гауссаверна не только в электростатике, но также и в случае переменныхэлектромагнитных полей. Она входит в качестве одного из четырех уравнений всистему уравнений Максвелла, описывающую весь круг электромагнитныхявлений. Здесь мы будем так или иначе обращаться к теореме Гаусса вуказанных выше целях.1. Пусть имеется область, в которой отсутствуют заряды, но имеетсяэлектрическое поле, причем линии напряженности этого поля не параллельнымежду собой, т.е. густота их меняется в направлении напряжѐнности (рис.

6).Выберем мысленно поверхность в виде трубки так, чтобы линиинапряженности лежали на этой поверхности. Построив два поперечных сеченияS1 , и S 2 , образуем замкнутую поверхность S .Предположим, что трубка настолько узка, что вовсех точках каждого из сечений векторынапряженности одинаковы по величине иперпендикулярныплоскостисечения.Подсчитаем поток Ф напряженности черезповерхность S . Он складывается из потока Фбокчерез боковую поверхность трубки и потоков Ф1и Ф2 через поперечные сечения S1 и S 2 . Так какРис. 6вовсехточкахбоковойповерхностинапряженность направлена вдоль нее и проекция напряженности на нормаль кповерхности равна нулю, то Фбок 0 .

В точках сечения S1 напряженность Е1направлена в сторону, противоположную внешней нормали n1 . Поэтомупроекция напряженности на направление нормали равна величиненапряженности, взятой со знаком минус, и, следовательно, Ф1 E1S1 . В точкахсечения S 2 направления внешней нормали и напряженности совпадают,поэтому Ф2 E2 S 2 . Таким образом, полный поток через всю замкнутуюповерхность S равен Ф Ф1 Ф2 E2 S2 E1S1.

Так как по условию внутриповерхности зарядов не имеется, то согласно теореме Гаусса Ф 0 .Следовательно, E1S1 E2 S 2 . Это означает, что вдоль всей трубки для любого еепоперечного сечения произведение напряженности на площадь сечения естьпостоянная величина, и, стало быть, там где площадь сечения трубки меньше(линии напряженности идут гуще), напряженность должна быть больше, инаоборот.92. При симметричном распределении заряда в пространствеопределенную симметрию имеет и электрическое поле. Опираясь на этусимметрию, зачастую можно судить о качественных свойствах поля: как идутлинии напряженности, в каком направлении напряженность возрастает, где онаимеет одинаковые значения и т.д. Если при этом удается подобратьподходящую замкнутую поверхность, то появляется возможность, используятеорему Гаусса, найти величину напряженности в различных точкахпространства.

Для этого замкнутая поверхность должна окружать заряд (илиизвестную часть заряда) и состоять из участков только двух типов: либонапряженность во всех точках участка одинакова и перпендикулярнаповерхности, либо напряженность параллельна поверхности. В первом случаепоток напряженности через участок равен произведению площади участка навеличину напряженности (величину En E const в (4) можно вынести из подзнака интеграла, а интеграл от dS равен площади участка); во втором случаепоток через участок равен нулю при любой величине напряженности. Участкивторого типа при вычислении полного потока через всю поверхность учитыватьне надо.Найдем напряженность электрического поля, создаваемого зарядом,распределенным равномерно с постоянной поверхностной плотностьюпоповерхности бесконечно длинного цилиндрарадиуса a .

Легко видеть, что вследствиесимметричного распределения заряда напробный заряд, помещенный вблизи цилиндрабудет действовать сила, направленная порадиальной линии, т.е. линии, проходящейчерез ось цилиндра перпендикулярно ей.Линиями напряженности в этом случае будутрадиальные прямые. Благодаря симметрии вовсех точках, лежащих на равных расстоянияхРис. 7от оси цилиндра, напряженность должнаиметь одинаковую величину.Чтобы найти величину E (r ) напряженности на расстоянии r от осицилиндра, выберем замкнутую поверхность S , имеющую также вид цилиндра,коаксиального данному, с радиусом r и высотой h , ограниченного плоскимиоснованиями, перпендикулярными оси. При r a поверхность S лежит внутризаряженного цилиндра (рис.7,а), при r a , наоборот, часть заряженногоцилиндра лежит внутри поверхности S (рис.7,б).

Определим потокнапряженности через поверхность S .Во всех точках цилиндрического участка этой поверхности напряженностьнаправлена перпендикулярно поверхности и имеет одинаковую величину E (r )(участок первого типа). Площадь этого участка Sцил 2 rh . Потокнапряженности через него10Ф(12)На двух других участках поверхности S (основаниях) напряженностьпараллельна поверхности (участки второго типа). Потоки напряженности черезних равны нулю. Таким образом, выражение (12) и определяет полный потокчерез всю замкнутую поверхность S .При r a поверхность не содержит внутри себя зарядов. Согласно теоремеГаусса поток через нее должен быть равен нулю. При r a внутри поверхностиS попадает заряд, находящийся на части поверхности данного цилиндра,площадь которой равна 2 ah .

Величина этого заряда q 2 ah . В этом случаеE(r ) SцилE(r ) 2 rh.qпоток через поверхность S должен быть равенТаким образом,00 при rФ2 аhE (r ) 2 rhaпри ra.0Отсюда находим искомую зависимость величины напряженности от r :0 при rаE (r )0rпри ra(13)a.Итак, внутри бесконечного цилиндра, равномерно заряженного поповерхности, электрическое поле отсутствует. Вне цилиндра напряженностьубывает обратно пропорционально расстоянию от его оси.РАБОТА ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКИХ СИЛ НАДЗАРЯДОМНапомним, что работой силы f на элементарном перемещении dl точкиприложениясилыназываетсявеличинагде- угол междуdA fdl cosfl dl ,направлениями силы и перемещения, а fl f cos- проекция силы на направление перемещения.Работа на конечном участке BC траектории, покоторой перемещается точка приложения силы,складывается из работ, произведенных наэлементарныхучасткахтраектории,иопределяется интеграломCРис.

8ABCCf cos dlBf l dl.(14)BСила, действующая на пробный заряд q0 со стороны электрического поля,напряженность которого E , равна f q0 E . Поэтому для элементарной работы11электростатического поля над зарядом q0 имеемdA q0 Edl cos(15)q0 El dl.и для работы на конечном участке BC траектории заряда –CABCCq0 E cos dl(16)q0 El dl.BBВычислим работу электростатической силы, действующей на пробныйзаряд q0 в поле точечного заряда q . Подставляя в формулу (14) выражение (2)для силы, действующей со стороны точечного заряда на пробный заряд, изамечая, что cos dl dr - изменение расстояния r между зарядами q и q0 ,соответствующее перемещению dl (рис.8), получимCABCCf cos dlBCq0 qdr24r0Bq0 q dr4 0 B r2q0q 14 0 rB1,rC(17)где rB и rC - расстояния от заряда q до начальной и конечной точек траекториизаряда q0 .