Задача 9. Спектр водорода. Изотопический сдвиг двух первых линий серий Бальмера водорода и дейтерия. (Задачи атомного практикума), страница 2

Ещераз обратим внимание на знак (притяжение !) и отметим наличие в (11) членов, спадающих с расстоянием быстрее, нежели22кулоновский потенциал : U ≅ 1 / r .Для получения окончательного результата необходимо2Zeучесть, что U ( r ) = −(в атоме или ионе с одним электроном), где Z - заряд ядра, и что при движении электрона изменяется r - расстояние его от ядра; иначе говоря, в окончательныйрезультат должны входить усредненные величины < 1 / r > и< 1 / r 2 > . Учтя это, получим выражение для сдвига уровняэнергии:∆ E p = < δ U( r ) > ==−20E0 = U ( r ) + W0 - энергия электрона в атоме без учетаr2W = p 2 / 2m - нерелятивистская кинетическая энергияE=E −где2,(9) 22 12 4 1 E0 − 2 E0 Z e < > + Z e < 2 >rr 2 m0 c 129(12)1<где скобки> означают усреднение величиныkr1rkпо воз-r .

По определению среднее значение лю-можным значениямбой функции есть< f ( r ) > = ∫ f ( r ) ϕ ( r ) drгде(13)ϕ (r ) - плотность вероятности обнаружить электрон в интер-kВеличины < 1 / r > не зависят от спинового и внутреннего квантовых чисел. Это обусловлено тем обстоятельством,kчто средние значения величин 1 / r зависят от размеров иформы электронной «орбиты», определяемых квантовыми числами n и l , и не зависят от направления спина и полного момента количества движения электрона.Подставляяdr вблизи r .валеСогласно квантовой механике плотность вероятности2найти электрон в точке r есть Ψ ( r ) , где Ψ (r ) - волновая<1r> = ∫ Ψ(r )k12rkdτ ,()<1>=r<здесь2n1rZ3a0 =;<ra0Z>=nh1332Z>=n3a022 1l +  2.(15)( ) l +12.(15)12m0 e2- радиус первой боровской орбиты;главное и орбитальное квантовые числа, соответственно.10n и l1rздесьα2nα = e 2 / hc = 1 / 137E0 = − Z2Z22> в (12) получим окончатель- 13 ,− l + 1 4 n 2(16)- постоянная тонкой структуры ,4122me2h3a0 l l +∆ E p = E0(14)здесь dτ - элемент объема.Нерелятивистская волновая функция электрона в атоме водорода Ψ r может быть найдена точно; интегралы (14) вычисляются аналитически, они равны:r>, <ное выражение для релятивистской поправки к энергетическомууровню - формулу Зоммерфельдафункция электрона в атоме; так что, согласно (13), получим<1n= − Z 2 Ry / n 2энергия атома водорода без учета релятивистских эффектов.

Из(16) видно, что постоянная тонкой структуры определяет масштаб релятивистской энергетической поправки, сдвигающей2−3уровни атома вниз на величину ∆ E ≅ α E ≅ 10эВ.Учет спин-орбитального взаимодействия приведет к качественно иному результату - расщеплению уровней.

Механизмспин-орбитального взаимодействия обусловлен наличием уэлектрона магнитного спинового момента связанного с механическим спиновым моментом импульса; этот собственный момент импульса не зависит от состояния движения (перемещения) электрона и является присущим электрону «свойством», таким, как его масса и заряд .Собственный (спиновый)магнитный момент электрона направлен противоположно механическому (заряд электрона отрицателен) и равен11→µs = −→2SeПодставляя в (20) электрическое поле ядра(17)2mc→здесь S - механический спиновый момент импульса, множи-→→E = Z e r r 3 находим, что магнитное поле коллинеарно ор→битальному моменту импульса l :тель 2, выражающий аномальные гиромагнитные свойства спина, является эмпирическим фактором (гиромагнитный фактордля орбитального движения равен 1). Как всякий момент импульса, спиновый момент согласно квантовой механике имеетсвойство:→ 2 2S =h s( s +1 ) ;(18)→H =→ → →elr ⋅p = Z32 m c r32mcr ZeВ системе отсчета, связанной с электроном и движущейся вместе с ним в электрическом поле ядра, индуцируется магнитное поле обусловленное движением (в этой системе!) заряженного ядра.

При v << c это поле есть :→ 1  → →H =  E ⋅v c →1 → → H = E ⋅v 2c (20)Энергия взаимодействия спинового магнитного момента(17) с этим полем (20) - энергия спин-орбитального взаимодей-22ствия - одинакова (с точностью до членов ~ v / c ) в обеихсистемах координат - связанных и с электроном и с ядром:)Для энергии спин-орбитального взаимодействия, такимобразом, получаем :2 e δU (r ) = Z ls2mc( 19 )Вообще говоря, эта формула справедлива для инерциальнойсистемы отсчета ; учет ускорения электрона приводит к появлению в формуле множителя 1/2 – фактора Томаса - Френкеля.(22)разумеется, орбитальный момент импульса ( как и всякий момент импульса ! ) имеет свойство→ 2l= h 2 l l +1 .(23)(s = 1 / 2 - спиновое квантовое число электрона.;→→1r32 l ⋅s;(24)Существенно, что это взаимодействие зависит от угла между→→моментами импульса l и s .Квантовая механика дает следующий рецепт для вычисления скалярного произведения моментов: квадраты моментовв выражении для квадрата суммарного (полного) момента импульса2222→j→ →=l+s→=l+→→→s+ 2⋅ l ⋅ s→ →δ U = − µ s ⋅H12(21)следует заменить их значениями, выраженными через квантовые числа моментов132( )2( )2( )→→h j j + 1 = h l l +1 + h s s +1 + 2⋅ l ⋅ s.

(25)Подставляя (25) в (24) и усредняя затем полученноевыражение по положениям электрона найдем величину энергии спин-орбитального взаимодействия :2 eh  <δ Els = Z > nl [ j ( j + 1 ) − l ( l + 1 ) − s ( s + 1 )] ;r3 2mc1(26)здесь e h / 2 m c = µ - магнетон Бора. Эта поправка к энергииуровня «выглядит как» энергия взаимодействия точечных магнитных моментов, равных магнетону Бора, разнесенных на расстояние ~ r , механизм же спин-орбитального взаимодействия,описанный выше, не соответствует концепции точечных магнитных моментов.Воспользовавшись формулами (15), получим окончательное выражение для энергии спин-орбитального взаимодействия :δ E l s = E0( α Z ) 2 j ( j + 1 ) − l ( l + 1 ) − s (s + 1)n2 l (l + 1 / 2 )( l + 1 )результатом являются два значения поправки (27) для каждогозначения l и, следовательно, расщепление уровня энергии сзаданными квантовыми числами( Enl = E0 + δ E p )на два уровня с различными величинами полного момента им2пульса j .

Из формулы (27) видно, что δ El s ≅ α E0 . Такимобразом, оба эффекта - собственно релятивистский и связанныйсо спин-орбитальным взаимодействием имеют один и тот же по−32рядок величины: α E ≅ 10эB ; энергетическая поправка0δE должна быть учтена, следовательно, совместно с реляти-()lsвистской поправкой при определении энергии электрона в атоме.Таким образом, энергия атома равнаE = E0 + δ E p + δ El s .(30)Подставляя в (30) соотношения (16), (27), для обоих возможныхзначений полного момента j = l ± 1 / 2 получим :E n , j = E0 + ∆ El s = E0 + δ E p + δ El s =.(27)Зависимость от угла между взаимодействующими моментами→ →l и s проявляется в (27) в величине квантового числа суммарного момента j , а именно, в зависимости от взаимной ори→→ентации l и s квантовое число j (для одного электрона) α 2 Z 2  13 = E0 1 +−n  j + 1/ 24 n Таким образом, суммарная поправка есть2∆E n , j = δ E p + ∆ El s = E0= − Ryможет принимать два значенияj = l + s = l + 1/ 2 ;j = l − s = l −1/ 2 ;n, l(28)(29).(31)α Z4 n313 −  = j + 1 / 2 4n α 2Z 4 n313  .− j + 1 / 2 4n (32)Отметим, что сдвинутые и расщепленные релятивистскимиэффектами уровни оказываются ниже бальмеровскогоEn = − Ry / n 2 .

Таким образом, вследствие влияния обоих факторов все уровни одноэлектронного атома, согласно (31) расще-1415пляются на два подуровня по числу возможных значений квантового числа j , ( s -уровни не расщепляются, j имеет единственное значениеj=масштаб мал ( ≈ αs = 1/2 ).

Это расщепление, поскольку его2E0 ; α = 1 / 137 ), называется тонкимрасщеплением. Поэтому безразмерная постоянная α , определяющая масштаб расщепления, называется постоянной тонкойструктуры. Из (31, 32) следует, что величина расщепленияуровня (разность энергий между подуровнями j = l + 1 / 2 и1j = l − 1 / 2 одного и того же уровня n , l ) равна :2∆ E j1 j 2 = Ryα 2Z 4n31.l(l +1)(33)jГлавное квантовое число n определяет в первом, самом грубом,приближении энергию электрона в атоме и принимает значенияиз натурального ряда:n = 1, 2, 3, ...

.(35)l , определяющее величинуквадрата момента количества движенияно условиемl = 0, 1, 2, ..., n − 1.h 2 l ( l + 1 ) , ограниче(36)При заданном n имеется n состояний, отличающихся величиной квантового числа l. Состояния одного электрона, отличаю-16l =012345.....символсостоянияspdfgh.....Квантовое число полного момента импульса j (внутреннее квантовое число) определяет величину квадрата полного момента2импульса электрона в атоме h j ( j + 1) и принимает значенияj = l ± 1/ 2 .Из (33) видно, что величина расщепления уровня сильно зависит4от заряда ядра ( ~ Z ) и быстро убывает с увеличением главно32го ( ~ 1 / n ) и орбитального ( ~ 1 / l ) квантовых чисел .Согласно современной теории атома (это частично видноиз изложенного выше) состояние электрона в атоме может бытьзадано набором из четырех квантовых чисел, например:n, l , j , m.(34)Орбитальное квантовое числощиеся величиной орбитального квантового числа, принято обозначать строчными латинскими буквами в соответствии со схемой:Магнитное квантовое число mj определяет величинупроекции полного момента импульса электрона на какое-либонаправление (например, на направление магнитного поля) ипринимает, при заданном j значения :mj = j , j - 1 , .....