№ 79 (Лабы по оптике), страница 3

Расчѐты дифракционных картин в случае дифракцииФраунгофера несколько проще, чем в случае дифракции Френеля. Длядифракции на некоторых препятствиях сравнительно простой формы можнонайти строгие формулы как для положения дифракционных максимумов иминимумов, так и для полного распределения интенсивности вдифракционной картине и, следовательно, имеется возможность точногосравнения результатов эксперимента с расчѐтом.

Благодаря этому дифракцияФраунгофера широко используется на практике и, прежде всего, для точныхизмерений длин световых волн. Из теории дифракции Фраунгофера следуютважные выводы о формировании изображения в оптических приборах и обих разрешающей способности.Вместо удаления источника света и точки наблюдения на большоерасстояние от препятствия, для получения параллельного пучка света,падающего на препятствие, и для выделения идущих по разнымРис. 7направлениям параллельных пучков дифрагирующих лучей используютлинзы. При этом существенными являются следующие свойства линз. Еслиточечный источник света помещѐн в фокальной плоскости собирающейлинзы, то сферическая световая волна, идущая от источника, послепрохождения через линзу становится плоской.

Это означает, что плоскостьN1 N 2 , перпендикулярная параллельному пучку лучей, вышедшему из линзы,является волновой поверхностью (рис. 7). Время распространения световоговозмущения от источника до любой из точек этой плоскости одно и то же.Это свойство называется таутохронизмом. Верно и обратное: если на12линзу падает параллельный пучок лучей, то световое возмущение от любойиз точек плоскости, перпендикулярной пучку, пройдя через линзу, доходитдо еѐ фокуса за одинаковое время.

Иначе говоря, оптическая разность ходалучей между плоскостью N1 N 2 , перпендикулярной параллельному пучкулучей, проходящему через линзу в том или ином направлении, и точкой ихсхождения в фокальнойплоскости линзы равнанулю.МырассмотримздесьдифракциюФраунгофера на узкойщели,наблюдаемуюсогласносхеме,изображѐнной на рис. 8.Расходящийсяпучокмонохроматическогосвета с длиной волны ,идущий от точечногоисточникаприS,помощи линзы Л1 (такРис. 8называемойколлиматорной линзы)превращается в параллельный пучок, падающий на узкую щель. Щель, вчастности, может быть образована двумя пластинками, острые края которыхрасположены параллельно друг другу.

Вторая линза Л 2 выбирает издифрагирующих лучей параллельные пучки: все лучи, имеющие одинаковоенаправление, сводятся этой линзой в одну точку экрана, помещѐнного вфокальной плоскости линзы; имеющие другое направление, сводятся вдругую точку и т.д.При отсутствии препятствия на экране наблюдается светящаяся точка0 , представляющая собой изображение источника, даваемое системой двухлинз. Примем точку 0 за начало декартовой системы координат,расположенной в плоскости экрана, и направим ось y вдоль щели, а ось х поперѐк неѐ. Так как продольные размеры щели обычно в сотни и тысячи разбольше поперечных, то дифракция происходит практически лишь внаправлении оси х .

Для исследования дифракционной картины вдоль оси худобно изобразить сечение системы плоскостью, в которой лежит оптическаяось S 0 и ось х , и которая пересекает щель по линии N1 N 2 (рис. 9).ПрименяяметодГюйгенса-Френеля,возьмѐмвкачествевспомогательной поверхностиплоскость, проходящую по поверхностипластин, образующих щель. На рис.

9 эта поверхность изображается линиейN1 N 2 . Вторичные источники располагаются только на участке плоскости,который находится внутри щели (участок М 0 М ). Этот участок поверхностиявляется волновой поверхностью для параллельного пучка света,13проходящего через линзу Л1 . Поэтому колебания всех вторичных источниковпроисходят в одной фазе. Хотя от вторичных источников лучи идут по всемнаправлениям, но на рис.

9 изображѐн лишь ряд параллельных лучей,образующих угол с оптической осью системы и сходящихся в фокальнойплоскости линзы Л1 (на экране) в точке наблюдения В .Проведѐмчерезточкуплоскость,перпендикулярнуюМ0рассматриваемым лучам (рис. 9). На рисунке эта плоскость изображаетсялинией М 0 Р . В дальнейшем мы будем называть еѐ плоскостью М 0 Р . От точекэтой плоскости, согласно сказанному ранее, световое возмущение идѐт доточки В вдоль всех лучей одинаковое время.

Поэтому разности фазколебаний, приходящих от вторичных источников в точку В , возникаюттолько за счѐт разности хода лучей в промежутке между плоскостью М 0 Р иповерхностью .Разобьѐм участок поверхности , на котором расположены вторичныеРис. 9источники, на зоны Френеля. Для этого в промежутке между плоскостьюМ 0 Р и точкой М построим ряд плоскостей, параллельных плоскости М 0 Ртак, чтобы расстояния между двумя соседними плоскостями было равно2(изображены пунктиром). Эти плоскости пересекут участок поверхности ,находящейся внутри щели, по линиям, параллельным краям щели.

На рис. 9эти линии проходят через точки М1 , М 2 и т.д. перпендикулярно плоскостирисунка. В результате поверхность внутри щели оказывается разбитой наполосы, параллельные краям щели. Эти полосы и представляют собой зоныФренеля. Согласно построению, разности хода лучей, идущих в точку В от14противоположных границ одной и той же зоны, определяемые длинойотрезков М1Р1, М 2 Р2 и т.п., равны2.Выделим в двух соседних зонах одинаковые по ширине узкие полоски,параллельные границам зони расположенные на одноми том же расстоянии l отграниц(соответственныеполоски). На рис.

10 этиполоскизаштрихованы.Легко видеть, что разностьхода лучей 1' и 2' , идущихот этих полосок в точку В ,равна разности хода лучей 1и 2 , идущих в эту точку отпротивоположных границзоны, т.е. равна2. Такимобразом,колебанияотсоответственных полосокприходят в точку В вРис. 10противоположныхфазах.Амплитуды этих колебаний равны вследствие равенства как площадейполосок, так и углов, которые составляют лучи 1' и 2' с нормалью n кповерхности. Следовательно, колебания, приходящие в точку В отсоответственных полосок соседних зон, полностью погашают друг друга.

Таккак все зоны имеют одинаковую ширину (отрезки М 0 М1 , М М 2 и т.д. на рис. 9равны между собой), то каждой полоске в одной зоне найдѐтсясоответственная полоска в соседней зоне и, стало быть, колебания,приходящие в точку В от двух соседних зон, взаимно уничтожаются.Поэтому интенсивность света в точке наблюдения В определяетсячислом зон, укладывающихся на открытом участке вспомогательнойповерхности . Как видно из рис. 9, число зон k , укладывающихся в щели,равно числу полуволн, укладывающихся на отрезке МР - разности ходалучей, идущих от краѐв щели:MPk2.(4)Дифракционная картина на экране выглядит следующим образом. Вцентре экрана при х 0 будет максимум интенсивности, так как в этом0 , плоскость М 0 Р совпадает с вспомогательной поверхностьюслучаеиот всех участков этой поверхности в точку В колебания приходят водинаковой фазе.

По мере удаления точки В от центра экрана возрастаетуголи вместе с ним увеличивается отрезок МР , а, следовательно, растетчисло зон в щели. На экране при этом чередуются минимумы и максимумы15интенсивности. Минимумы будут в тех точках, для которых в щелиукладывается чѐтное число зон ( k 2n , MP n ), поскольку колебания откаждой пары соседних зон взаимно погашаются, а максимумы – в тех точках,для которых в щели укладывается нечѐтное число зон ( k 2n 1,MP (2n 1)2), поскольку колебание от одной целой крайней зоны присложении остается нескомпенсированным. Выразим величину отрезка МРчерез ширину щели b M0M и угол .

Так как угол MM0 P в прямоугольномтреугольнике MM0 P равен углу(это углы с взаимно перпендикулярнымисторонами), то MP b sin . Отсюда легко получить следующие условия длямаксимумов и минимумов:b sinn- условие минимумов,(5)b sin(2n 1)2- условие максимумов,(6)n 1, 2, 3, ...Здесь под n подразумевается число зон, которое может быть толькоположительным; знаки же плюс и минус соответствуют областям0, x 0 и при0, x 0 . С другой стороны,дифракционной картины причисло n представляет собой номер максимума, считая от центра. При этомцентральному максимуму, для которого0 и который не укладывается вформулы (5)-(6), приписывается нулевой номер.

Число n называют такжепорядком дифракционного максимума. Следует заметить, что строгий расчѐтдаѐт условия максимумов несколько отличные от (6) в то время как дляминимумов и в этом случае сохраняются условия (5).В формулах (5)-(6) положение максимумов характеризуется углом ,который составляет с оптической осью системы параллельный пучок лучей,сходящихся после прохождения линзы в точке экрана, где и наблюдаетсяданный максимум или минимум. Определим непосредственно координаты хточек максимумов и минимумов. Как следует из рис. 9, координата х 0Вточки В экрана связана с углом соотношением: x Ftg , где F - фокусноерасстояние линзы.