№ 79 (Лабы по оптике), страница 4

Если ограничиться рассмотрением малых угловдифракции и, соответственно, не слишком большой областьюдифракционной картины вблизи центра экрана, то tg sin, так чтоx F . Из этого выражения при помощи формул (5)-(6), в которых sinзаменѐн на , легко найтихм инxм аксnFb(2n 1)- положение минимумов ,(7)F- положение максимумов .2b(8)Распределение интенсивности дифракционной картины вдоль оси хпредставлено на рис.

11. Из формулы (7) следует, что расстояния междусоседними минимумами такие же, как и между соседними максимумами(кроме расстояний между центральным и первым максимумами). Как видно16из рисунка, интенсивность света в максимумах быстро убывает сувеличением порядка максимума. Наибольшая доля полной световой энергиина экране (более 90 %) приходится на центральный максимум.Рассмотрим зависимость дифракционной картины от ширины щели. Изформул (7) и (8) следует, что координаты минимумов и максимумов обратнопропорциональны ширине щели. Поэтому по мере сужения щели максимумыи минимумы удаляются от центра, при этом максимумы становятся болееразмытыми (рис. 11). Если ширина щели равна длине световой волны , тоиз формулы (5) для первого минимума получается условие sin 1 и,Рис.

11следовательно,2. При таком угле отклонения лучей, идущих к первомуминимуму, этот минимум на экране располагается в бесконечности. Врезультате, интенсивность от центра экрана к его краю будет убыватьмонотонно. Такой характер дифракционной картины сохранится и придальнейшем уменьшении ширины щели. Наоборот, с увеличением шириныщели координаты максимумов и минимумов уменьшаются, максимумыстановятся более узкими и яркими – дифракционная картина сжимается. Приочень большой ширине щели она стягивается к центру экрана и обращается визображение источника, даваемое системой линзы Л1 и Л 2 (рис.

8), т.е.согласуется с законами геометрической оптики.Заметим в заключение, что на практике вместо точечного источникасвета обычно используют узкую светящуюся щель, параллельную щели, накоторой происходит дифракция. Различные точки щели даютдифракционные картины, смещѐнные по оси y .

На экране при этомполучается картина, представляющая собой чередование светлых и тѐмныхполос, параллельных оси y . Яркость такой картины значительно больше, чемпри пользовании точечным источником света.17ДИФРАКЦИОННАЯ РЕШЕТКАДифракционная решѐтка представляет собой непрозрачный экран, вкотором имеется N параллельных щелей одинаковой ширины b ,расположенных на одном и том же расстоянии a друг от друга. Величинаd a b называется периодом, или постоянной решѐтки. Дифракция нарешѐтке осуществляется по схеме Фраунгофера, разобранной в предыдущемпункте для одной щели.

Эта схема в сечении плоскостью, перпендикулярнойщелям решѐтки, представлена на рис. 12. Здесь S - источник, испускающийсвет с длиной волны , Л1 - коллиматорная линза, N1 N 2 - сечение решѐтки,ось х расположена на экране, находящемся в фокальной плоскости линзыЛ2 .Колебания в точку наблюдения В , расположенную на поверхностиэкрана, приходят от находящихся внутри щелей участков вспомогательнойРис. 12поверхности , которая совпадает с плоскостью решѐтки. Так как этаповерхность является волновой поверхностью для световых волн,испускаемых источником S и прошедших через коллиматорную линзу, токолебания вторичных источников, расположенных на ней, имеютодинаковую фазу.

На каждой щели происходит дифракция. Однакодифракционная картина на экране не будет простым наложениемдифракционных картин, получающихся от каждой из щелей. Пучки света,идущие от щелей, когерентны между собой и поэтому интерферируют вточке наблюдения. Интерференция приводит к существенному усложнениюдифракционной картины. Поскольку дифракционная картина от отдельной18щели нам уже известна, сосредоточим внимание на том, что вноситинтерференция.Разобьѐм вспомогательную поверхностьвнутри каждой щели наодинаковые узкие полоски, параллельные краям щели. Пусть A и A' соответственные полоски двух соседних щелей (рис.

13). Расстояние междуэтими полосками равно периоду решѐтки d . Рассмотрим параллельные лучи,идущие от вторичных источников, расположенных на вспомогательнойповерхности, под углом к нормали n . Пользуясь рис. 13, легко установить,что оптическая разность хода лучей 2 и 2' , идущих от соответственныхполосок к точке наблюдения, равна d sin и равна разности хода лучей 1 и 1' ,идущих к точке наблюдения от соответственных краѐв соседних щелей.2Стало быть, для любой пары соответственных полосок соседнихщелей условия интерференции одинаковы.

Поэтому, рассматриваяинтерференцию света, приходящего в точку наблюдения от щелей решѐтки,можно решѐтку считать совокупностью Nточечныхкогерентныхисточников,испускающих световые колебаний содинаковойначальнойфазойирасположенных так, что оптическая длинапути от каждого следующего источника доточки наблюдения увеличивается навеличину(9)l d sin(здесь за первый источник принимаетсящель, от которой оптическая длина путидо точки наблюдения наименьшая).Чтобынайтиособенностираспределенияинтенсивностивдифракционной картине, связанные синтерференцией света от совокупностищелей, обратимся к методу векторныхдиаграмм.Рис. 13Амплитуды колебаний, приходящихв точку наблюдения от всех щелей, одинаковы.

Поэтому на векторнойдиаграмме векторы А1 , А2 , ... AN , изображающие эти колебания, имеютодинаковую величину. Вместе с тем, колебание, пришедшее от какой-либощели, будет отставать по фазе от колебания, пришедшего от предыдущейщели, на некоторый угол Ф , обусловленный наличием разности хода l .Учитывая, что при разности хода, равной , отставание по фазе равно 2 , изпропорции2Напомним, что в случае прохождения через линзу параллельного пучка лучей оптическая длина пути отплоскости, перпендикулярной пучку, до точки их схождения на экране для всех лучей одинакова.19Ф2lнайдѐм при помощи формулы (1.9)ФСледовательно,наизображается векторомA2 dsin .векторнойNдиаграмме(10)суммарноеколебаниеAi , представляющим собой замыкающуюi 1ломаной линии, которая состоит из звеньев одинаковой величины, причѐмкаждое звено повѐрнуто по отношению к предыдущему на один и тот же уголФ (рис.

14, а). Величина вектора А определяет амплитуду суммарногоколебания, а еѐ квадрат – интенсивность света в точке наблюдения.Наибольшая интенсивность будет в тех точках экрана, в которыеколебания от всех щелей приходят в одинаковой фазе, т.е. для которыхФ 2 n, (n 0, 1, 2, ...) .(11)В этих случаях все векторы Ai на векторной диаграмме имеют одинаковоенаправление, ломаная превращается в прямую, и при сложении векторовРис. 14получается максимально возможная суммарная амплитуда A NAi (рис.

14,б). Эти точки экрана соответствуют так называемым главным максимумамдифракционной картины, даваемой решѐткой. Из формул (10) и (11) дляглавных максимумов получается следующее условиеd sinn .(12)Модуль целого числа n , входящего в эту формулу, называется порядкоммаксимума и определяет номер максимума от центра картины (центральныймаксимум при0 считается нулевым).В тех точках экрана, в которых приходящие от всех щелей колебанияпри сложении взаимно уничтожаются, будут наблюдаться минимумыдифракционной картины.

Навекторной диаграмме им соответствуют такиерасположения векторов Ai , при которых конец последнего вектора AN20совпадает с началом первого вектора Ai (рис. 14, в). В этих случаях ломанаяпревращается в правильный многоугольник, имеющий N сторон.Направление каждой из сторон этого многоугольника получается поворотомна угол Ф направления предыдущей стороны. Направление последнейстороны, будучи повѐрнуто на тот же угол относительно направленияпредыдущей стороны и в то же время на угол N Ф относительнонаправления первой, совпадает с направлением первой стороны.

Этовозможно, если выполняется условие(13)N Ф 2 m,где m - целое положительное или отрицательное число, но такое, что m nN .В самом деле, при m nN условие (13) превращается в условие (1.11),соответствующее главным максимумам. При помощи формулы (10) получимиз (13) условие минимумов в видеd sinmN(mnN ) .(14)Формулы (1.12) и (1.14) можно объединить в одну:d sinmNmnNm nNусловие минимумов,(15)условие главных максимумов.Полагая в этой формуле последовательно m 0, 1, 2, 3, ...

, найдѐм, чтоглавные максимумы и минимумы будут располагаться по мере удаления отцентра экрана в следующем порядке:sin0 - центральный главный максимум ( n 0 ),1N d2sinN d.....................N 1sinN dsin- главный максимум 1-го порядка ( n 1 ),sindN 1sinN dN 2sinNd...........................2N 1sinNdsinN 1 минимумов,2dN 1 минимумов,- главный максимум 2-го порядка ( n 2 ),212N 1Nd..........................sinN 1 минимумов…1, 2, 3, ... , получимПридавая m отрицательные значенияаналогичное чередование максимумов и минимумов, отличающееся лишьзнаками углов , т.е. дифракционная картина оказывается симметричнойотносительно значения0.Таким образом, между соседними главными максимумамирасполагается N 1 минимумов, между которыми, естественно, в своюочередь, находятся максимумы (вторичные максимумы), однако ихинтенсивность весьма мала по сравнению с главными максимумами (неболее 5 % от интенсивности ближайшего главного максимума).На распределении интенсивности в дифракционной картине, даваемойрешѐткой, кроме интерференции световых пучков, идущих от щелей,сказывается и дифракция, происходящая на каждой из щелей по отдельности.Рис.

15Во-первых, ясно, что минимумы картины от отдельной щели,определяемые формулой (5), сохраняются и в картине, даваемой решѐткой,так как в эти точки ни одна щель не посылает света вообще (все Ai 0 ). Вовторых, интенсивность света в главных максимумах пропорциональнаинтенсивности I щел и , которую даѐт отдельная щель в соответствующемнаправлении: действительно, амплитуда суммарного колебания в главныхмаксимумах A NAi , откуда, возводя это равенство в квадрат и учитывая, чтоI ~ A2 и I щел и ~ Ai2 , находим I N 2 I щел и . На рис. 15 показана зависимостьинтенсивности I в дифракционной картине, даваемой решѐткой, имеющейпять щелей, от величины sin . Штрихами показана зависимость от sin22величины N 2 I щел и . Таким образом, наиболее яркими оказываются главныемаксимумы, расположенные в области центрального максимума картиныодной щели, т.е., как это следует из формулы (5), для которыхbsinb.Число этих максимумов зависит от соотношения между шириной щели b ипериодом решѐтки d ; изображѐнная на рис.

15 картина соответствуетрешѐтке, у которойd4bd. Наоборот, те главные максимумы, которые3находятся вблизи минимумов дифракционной картины одной щели, будутслабыми и могут вообще отсутствовать, если их положение совпадает сположением минимума от отдельной щели. В частности, если d 2b , тоотсутствуют все главные максимумы чѐтных порядков.Итак, дифракционная картина решѐтки в монохроматическом светепредставляет собой чередование главных максимумов, разделѐнных тѐмнымипромежутками, поскольку ввиду малой интенсивности вторичныемаксимумы практически не видны. Существенно, что с увеличением числащелей ширина максимумов уменьшается, так как ограничивающие их собеих сторон минимумы сближаются.