§ 1 . Принцип Гюйгенса-Френеля. Метод зон Френеля (С.Н. Козлов, А.В. Зотеев - Колебания и волны. Волновая оптика)

Колебания и волны. Волновая оптикаГЛАВА IV. ДИФРАКЦИЯ ВОЛН§ 1. Принцип Гюйгенса-Френеля. Метод зон ФренеляПоддифракциейобычнопонимаютявлениеогибанияволнами препятствий. В частности, свет может проникать вобласть геометрической тени за непрозрачными объектами напутиегораспространения*).наблюдаетсячередованиеПриэтомзамаксимумовпрепятствием,иминимумовосвещённости, как и при интерференции когерентных световыхпучков.

Это позволяет сделать вывод о том, что природа явленийдифракции и интерференции одна и та же. Дифракция проявляетсебя и в тех случаях, когда форма фронта воны нарушаетсяпрозрачнымителамисоптическимихарактеристиками,отличными от остальной среды. Таким образом, в широкомсмысле дифракцией света можно назвать любое отклонение отзаконов геометрической оптики при распространении света в средес резкими **) оптическими неоднородностями.Наше дальнейшее рассмотрение дифракции состоит врасчётераспределенияпрепятствиемосвещённостиопределенныхразмероввпространствеиформы.заОсновойметодологии решения этой задачи, а также понимания дифракционныхявленийслужитпринципГюйгенса-Френеля,сформулированный в законченной форме в первой четверти XIX в.Принцип Гюйгенса-Френеля состоит из двух положений:1. Любоймалыйэлементволновогофронтаможетрассматриваться как самостоятельный источник сферических*)Первое научное описание этого явления, а также и само название «дифракция» принадлежитФ.

Гримальди (1665 г.).**)Т.е. изменяющихся на масштабах, сравнимых с длиной волны.85Глава IV. Дифракция волнволн. Эти волны обычно называют “вторичными”.2. Интенсивность волн в любой точке пространства можнонайти,вычисливрезультатинтерференциикогерентныхвторичных волн в этой точке.ПроиллюстрируемпринципГюйгенса-Френелятакимпримером. Пусть имеется точечный источник монохроматическихволн А. Пусть поверхность Σ – положение волнового фронтасвета, испущенного этим источником, в некоторый моментвремени – рис.4.1. РазобьёмdSiАriRэту поверхность на малыеВ*ω•элементыlΣкоторыхРис.4.1источником.dSi,ибудем“вторичным”Длявычислениякаждыйизсчитатьточечнымамплитудыколебанийэлектромагнитного поля в некоторой произвольной точке В,лежащей в области за волновым фронтом, можно, по Френелю,вместо волн от источника А рассматривать только вторичныеволны от всех элементов dSi.

Результирующее колебание в точкеВ есть результат сложения колебаний, возбуждённых волнами отвсех вторичных источников. Вторичные источники (расстояние откаждого вторичного источника ri до точки В должно быть многобольшеразмераэлемента)считаемточечными,араспространяющиеся от них волны – сферическими:ξi = ∑ ξ i = ∑iiЕ0 i⋅cos(ωt – kri + ϕ0),ri(4.1)Частота колебаний ω для всех вторичных волн такая же, какчастота первичного источника А; k = 2π/λ – волновое число;86Колебания и волны.

Волновая оптикапоскольку все вторичные источники принадлежат волновомуфронту начальные фазы ϕ 0 для них одинаковы и определяютсяфазой колебаний, дошедших до соответствующего элементаповерхности dSi из точки А.Суммирование колебаний согласно равенству (4.1) можетбыть выполнено методами интегрального исчисления. Однако вряде простейших, но практически весьма важных случаев, егоможно заменить алгебраическим или геометрическим сложением.Вчастности,использованиепринципаГюйгенса-Френеляпозволяет предсказать основные закономерности дифракцииволн на преградах простой формы – круглых отверстиях и дисках.Дифракция на круглом отверстии.Начнём с наиболее простого случая – рассмотрим дифракциюплоской монохроматической волны, падающей нормально нанепрозрачную плоскую преграду с круглым отверстием (этосоответствует случаю, когда источникудалён от преграды набесконечность) – см.

рис.4.2. Определим интенсивность волн вточке В за препятствием, котораялежитнаперпендикулярекплоскости преграды, проходящемчерезФренельцентротверстияпредложилCmО.λl + mλ/2rml + λ/2О•lΣизящныйРис.4.2способ решения такой задачи –r«метод зон Френеля».Метод зон Френеля состоит втом, что часть волнового фронта,В•O•Несколькопервых зонФренелявнутриотверстияограниченную краями препятствия (в рассматриваемом случае –87Глава IV. Дифракция волнкруг, совпадающий с отверстием) разбивают на участки конечныхразмеров таким образом, чтобы расстояния от границ этихучастков до точки наблюдения В отличались на λ/2.

Первая зонаФренеля представляет собой круг, причём расстояние С1Вбольше ОВ на λ/2; остальные зоны – кольца с внешним радиусомОСm (m – номер зоны-кольца). Найдем радиусы границ таких зонФренеля, используя теорему Пифагора для треугольника ОСmВ:l 2 + rm2 = (l + mλ / 2 ) .2(4.2)Будем считать, что точка В располагается за преградой нарасстоянии l, много большем длины световой волны. Тогда lλ >>λ2 и после возведения суммы в квадрат, получаем:rm2 = mλl ⇒ rm = mλl .(4.3)Рассмотрим теперь более общий случай.

Пусть теперьисточник А находится на конечном расстоянии L от препятствия –см. рис.4.3.Как видно из рисунка, внешний радиус m-й зоныФренеля удовлетворяет условию:rm2 = L2 − ( L − xm ) 2 = (l + mλ / 2 ) − (l + xm ) 2 .2(4.4)Используя допущение о малости длины волны λ по сравнению срасстояниямиlиL,изравенства (4.4) находим сначалаxm, а затем и интересующий насLА•rmВxmL•lΣРис.4.388радиус:l + mλ/2xm =mλ l;2( L + l )rm = mλlL.L+l(4.5)Колебания и волны. Волновая оптикаУдобно ввести вспомогательную характеристику, учитывающуюгеометрию опыта и имеющую размерность длиныl* =Легковидеть,чтоLl.L+lвыражение(4.6)длярадиусазонФренеляприобретает с использованием этой величины точно такую жеформу, как и в случае плоского волнового фронта:rm = mλ l * .КаковыплощадизонФренеля(4.7)сразныминомерами?Оказывается, в рассматриваемом приближении они одинаковыдля всех зонLl  LlS m = π rm2 − π rm2−1 = π m= π λ l *.− (m − 1)L+l L+l(4.8)Итак, построение Френеля разбивает волновой фронт наравновеликие участки – зоны Френеля.

Сначала посмотрим, какэто помогает определить интенсивность волн в центре экрана.Пусть радиус отверстия точно равен радиусу первой зоныФренеля. Дополнительно разобьём эту зону на много кольцевыхучастководинаковой площади (номераучастков i = 1, …, n)столь малых, чтобы волны, приходящие в точку В от разных точекодного и того же кольцевого участка, имели одинаковую фазу.Амплитуду результирующих колебаний определим, выполняясложение графическим методом векторных диаграмм (см.

§5).Колебание, возбуждаемое в точке В волнами от первого (i = 1,центрального) участка первой зоны Френеля изобразим вектором89Глава IV. Дифракция волнrrЕ1( I ) *), второго участка – Е2( I ) и т.д. (см. рис.4.4). Учтём, чтоколебания от каждого следующего участка приходят в точку В снекоторым запаздыванием по фазе ∆ϕ i , т.к.

соответствующиеволны проходят до точки В больший путь. Запаздыванию по фазесоответствует поворот вектора по часовой стрелке на угол ∆ϕ i .rДлины векторов Еi( I ) почти (но не совсем! – см. ниже) одинаковы.rВектор Еn( I ) , соответствующий колебанию, возбуждаемомуволнами от последнего (i = n) участка первой зоны, повернут наrугол ∆ϕ n = πпо отношению к вектору Е1( I ) , так каксоответствующее колебание отстает по фазе на π – ведьразность хода между соответствующими лучами равна λ/2.Векторная диаграмма для случая, когда открыта только однапервая зона Френеля, представляет собой полуокружность – см.рис.4.4**). Суммируя все n векторов от n участков, получаем, чтоrрезультирующее колебаниеЕ1( I )rможет быть представленоЕi(I )rрезультирующим вектором Е (I ) .∆ϕi = i⋅π/nrЕ (I )rЕ (1/ 2 )Совершенно аналогичнопоступим, определяя результирующие колебания в точкеВ от остальных зон Френеля,Рис.4.4*)rЕn(I )оказавшихсявпределахотверстия:r (I)Е1 – вектор напряженности электрического поля волны, приходящей в точку В от центральногоучастка первой зоны Френеля.**)Ломаная линия превращается в плавную дугу при увеличении числа участков разбиения зоны (т.е.при n → ∞ ).90Колебания и волны.

Волновая оптикаа) разбиваем каждую зону на n узких кольцевых участков;rб) первый вектор каждой последующей зоны Е1(k +1) “пришиваем”,учитывая небольшой сдвиг по фазе, к последнему векторуrпредыдущей зоны Еn(k ) ;rв) суммируем все векторы Еi – вектор, соответствующийрезультирующему колебанию, соединяет на векторной диаграмменачало первого вектора с концом последнего.На рис.4.5,а изображена векторная диаграмма для первыхдвух зон Френеля, на рис.4.5,б – трёх зон. На рис.4.5,в показанавекторная диаграмма, получающаяся в результате сложенияколебанийотвсехвторичныхисточников,принадлежащихоткрытому волновому фронту (препятствие отсутствует, зонФренеля бесконечно много). На этих диаграммах учтено, что сrувеличением номера зоны размеры векторов Еi(k ) постепенноуменьшаются, т.к. каждая последующая зона находится от точкиВнесколькодальше,уменьшаетсяичем“диаметр”предыдущая.полуокружностей,Соответственно,определяющийамплитуду результирующего колебания в точке В при увеличенииколичества “открытых” зон (1, 3, 5, … ).

Сопоставляя рис.4.4 и4.5,в, приходим к парадоксальному на первый взгляд выводу –rЕ1( I +II )rЕ1( I +II+III )aбrЕ0вРис.4.591Глава IV. Дифракция волнамплитуда колебаний в точке В от одной первой зоны в два разабольше амплитуды колебаний от всех зон, вместе взятых. Такимобразом, если закрыть все зоны, кроме первой, то в центреэкранабудетнаблюдатьсясветлоепятно,интенсивностькоторого почти в 4 раза больше, чем в отсутствии преграды!Отсюда следует, что малое отверстие может выполнять рольлинзысослабымфокусирующимдействием,чтоииспользовалось в первых фотокамерах – “камерах-обскурах”.ЧислооткрытыхзонФренеляи,соответственно,интенсивность волн в центре экрана, существенно зависят отположения точки В за препятствием.

Пусть, например, в исходномположении величины L, l и λ таковы, что круглое отверстиерадиусом r оставляет открытыми 4 зоны Френеля (т.е. r = r4). Изрис.4.5,в следует, что при этом в точке В будет наблюдатьсяминимальная интенсивность волн. Будем приближать экран котверстию (уменьшать l); как видно из соотношения (4.7), радиусm-ой зоны Френеля при этом уменьшается, и отверстие в экранебудет “вмещать” все большее число зон. На расстоянии l, прикотором в отверстие будет “попадать” ровно пять зон Френеля, вцентре экрана будет регистрироваться максимум интенсивности(светлоепятнопридифракциисвета).Придальнейшемперемещении экрана по направлению к преграде интенсивностьволнвточкеВпульсирует–максимумыиминимумыинтенсивности сменяют друг друга в зависимости от того, открытонечётное (5, 7, 9 и т.д.) или чётное число зон Френеля (6, 8, 10 ит.д.), соответственно.

Размах этих пульсаций, уменьшается помере увеличения числа открытых зон (см. рис.4.5,в). Если экранудалять от преграды, количество видимых из центра экрана зон92Колебания и волны. Волновая оптикаФренеля будет уменьшаться (см. (4.7)). Интенсивность света вточке В также будет пульсировать до тех пор, пока не останетсяоткрытой только одна зона (r = r1). При таком положении экранабудет зарегистрирован самый большой максимум интенсивностив центре экрана (примерно 4I0). При дальнейшем удаленииэкрана пульсации интенсивности в его центре уже не будутнаблюдаться – интенсивность будет монотонно уменьшаться донуля. На рис.4.4 показано, как определить амплитуду (а значит иинтенсивность) результирующих колебаний в точке В, еслиоткрыта только часть первой зоны Френеля, например, половинапервой зоны Френеля (m = ½).

Фаза волн, приходящих в точку В отграницы*) половины первой зоны Френеляотстает на π/2отфазы колебаний, возбуждаемых волной от центра отверстия.rrПоскольку длина вектора Е (1/ 2 ) в 2 больше Е0 – интенсивностьволн в точке В оказывается равной 2I0.Обсудим теперь “радиальное” распределение интенсивностидифракционной картины. Прежде всего, очевидно, что картинасимметрична относительно ocи AB. Предположим, что из точки Ввидна только одна первая зона Френеля – рис.4.6,а.