А.С. Холево - Курс лекций по теории вероятностей

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТимени М. В. ЛОМОНОСОВАМеханико-математический факультетКурс лекций потеории вероятностейЛектор — Холево Александр СеменовичII курс, 4 семестр, поток математиковМосква, 2006 г.Оглавление1.2.3.4.Основные понятия1.1. Элементарные понятия теории вероятностей . . . . . . . . . . . .

. . . .1.1.1. События и их вероятности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.1.2. Примеры вероятностных моделей . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.1.3. Комбинаторные формулы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.1.4. Опыт с непрерывным пространством элементарных событий . .1.2. Строгое определение вероятности. Аксиоматика Колмогорова .

. . . .1.2.1. Основные определения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.2.2. Вероятностное пространство и аксиомы Колмогорова . . . . . . .1.2.3. Теорема равносильности систем аксиом . . . . . . . . . . . . . . .1.3. Условные вероятности. Формула полной вероятности. Формула Байеса1.3.1. Условная вероятность . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.3.2. Формула полной вероятности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.3.3. Формула Байеса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.4. Независимость. Схема Бернулли . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.5. Простейшие предельные теоремы . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .1.5.1. Теорема Бернулли . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.5.2. Теоремы Муавра – Лапласа и Пуассона . . . . . . . . . . . . . . ................................................................................................................................................................................................................................................................4444455567778889910Случайные величины. Функции распределения2.1. Определения и примеры . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . .2.1.1. Случайные величины . . . . . . . . . . . . . . . . .2.1.2. Функции распределения . . . . . . . . . . . . . . . .2.2. Семейства случайных величин. Независимость . . . . . .2.2.1. Основные свойства . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.2.2. Независимость случайных величин . . . . . . . . .2.3. Математическое ожидание случайных величин . . . . . .2.3.1. Интеграл Лебега по вероятностной мере . . . . . .2.3.2. Свойства математического ожидания . . . . . . . .2.4. Дисперсия.

Неравенство Чебышева. Закон больших чисел2.4.1. Дисперсия и моменты . . . . . . . . . . . . . . . . .2.4.2. Неравенство Чебышева . . . . . . . . . . . . . . . .2.4.3. ЗБЧ (Закон больших чисел) . . . . . . . . . . . . .2.4.4. Применение в статистике . . . . . . . . . . . . . . ...................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................101010111313141515161919192021Характеристические функции3.1. Определения и примеры .

. . . . . . . . . . . .3.2. Свойства характеристических функций . . . .3.3. Теорема Лебега и ее трагические последствия3.4. Формула обращения . . . . . . . . . . . . . . .Наиболее суровые вопросы теории4.1. Теоремы Хелли . . . . . . . . . . . .4.2. Предельные теоремы . . .

. . . . . .4.3. Теорема Ляпунова . . . . . . . . . .4.4. Закон 0 и 1 Колмогорова . . . . . .4.5. Усиленный закон больших чисел . .............................................................................................................2121232324вероятностей. . . . . . . . . .. .

. . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . ...................................................................................................................................2626272828282............ВведениеПредисловиеТекст набирался в различное время тремя наборщиками: Д. Колосовым, Д. Мануйловым и С. Кузнецовым.Потом он был существенно отредактирован DMVN Corporation.Большая просьба к читателям сообщать об ошибках и опечатках авторам.На данном этапе возможны «дыры» в материале курса, которые образовались из-за слияния работы трёхнаборщиков. Отнеситесь синсходительно и лучше чётко скажите, чего не хватает, иже такое заметите.Раздел «Суровые вопросы» пока остаётся таким, как был. Он немного перевёрстан, часть формул сделанавыключными, чтобы было легче читать и сложнее списывать :) .В этой редакции исправлена огромная куча опечаток, замеченных при подготовке одним из студентов, коемубольшое спасибо (фамилия выясняется).Последняя компиляция: 11 июня 2006 г.Обновления документа — на сайтах http://dmvn.mexmat.net,http://dmvn.mexmat.ru.Об опечатках и неточностях пишите на dmvn@mccme.ru.31.

Основные понятия1.1. Элементарные понятия теории вероятностей1.1.1. События и их вероятностиОпределение. Детерминированное явление A (событие) — это событие, которое всегда выполняется.Определение. Недетерминированные события — случайные события, такие события и будут нас интересовать.Рассмотрим n повторений опыта, в котором может произойти событие A. Пусть n(A) — количество техопытов, где A выполнилось, тогда частота события A: ν(A) = n(A)n .Замечание.

Замечено, что ν(A) сгущаются вокруг некоторого конечного значения p(A).Пример 1.1. Бросание монет. Под событием в данном случае можно понимать выпадание решки.nn(a)ν(A)404020480.508В данном случае p(A) = 21 .24000 12012 0.5005Вероятность события A — теоретическое модельное значение, к которому приближается ν(A) при бесконечнобольшом n.Свойства частот:1.

νn (A) > 0;2. νn (Ω) = 1, где Ω — детерминированное событие;3. νn (A ∪ B) = νn (A) + νn (B), если A ∩ B = ∅.1.1.2. Примеры вероятностных моделейПример 1.2. Опыт с конечным числом равновероятных событий. Пустьω1 , ω2 , . . . , ωn — элементарные события, и в опыте может произойти одно и толькоодно из них, тогда Ω = {ω1 , . . . , ωn } — пространство элементарных событий, иливероятностное пространство.Будем бросать монету (наше вероятностное пространство будет иметь всегоРис.

1два элемента) и рассматривать кривую случайного блуждания — график, которыйподнимается на 1 вверх, если выпадает орёл, и опускается на 1 вниз, если выпадает решка. Пример такогографика изображён на рис. 1.Пример 1.3. При игре в рулетку Ω = {0, 1, . . . , 36}.Определение. A называется событием, если A ⊂ Ω, в частности, элементарное событие — это событие.Определение. Событие A ⊂ Ω, Ω = {ω1 , .

. . , ωn } осуществимо ⇔ осуществимо одно из элементарныхсобытий, составляющих A.Определение. Достоверное событие — Ω. Невозможное событие — ∅ (событие, которое не может произойти).Вероятность события A в опыте с равновероятными исходами определяется по формуле P =Пример 1.4. На рулетке P (чет) = P (нечет) =1837< 12 .|A||Ω| .Задача 1.1 (Д’Аламбера). Какова вероятность того, что при двух бросаниях монеты орёл выпадетхотя бы один раз?Решение. Пусть «О» — орёл, а «Р» — решка. Тогда Ω = {ОО , РО , ОР , РР }. Нас устраивают 3 исхода из 4,значит, P (A) = 34 . 1.1.3.

Комбинаторные формулыОпределение. Числом размещений из N по n называется число способов разместить n различных элементовна N местах. Обозначается оно через AnN .Легко видеть, чтоN!AnN = N (N − 1) . . . (N − n + 1) =.(1)(N − n)!При N = n получаем количество перестановок из N элементов: SN = N !4Число сочетаний из N по n отличается от числа размещений тем, что мы не различаем элементы:nCN=AnNN!=.n!(N − n)!n!(2)0В частном случае CN= A0N = 0! = 1.Задача 1.2. Выборочный контроль качества. Партия из N изделий, среди которых M бракованных. Наугадвыбирается n изделий.

Какова вероятность того, что среди выбранных изделий окажется ровно m бракованных?nРешение. Элементарное событие в нашем случае — произвольная выборка, значит |Ω| = CN. Надо найтивероятность события Am = {из n выбранных ровно m бракованных}. Выбираем из M бракованных изделий m,а из (N − M ) нормальных изделий — (n − m). Тогда среди n выбранных изделий будет ровно m бракованныхn−mmCM· CN−Mn−mmи |Am | = CM· CN=⇒P(A)=— гипергеометрическое распределение вероятности.

m−MnCNЗадача 1.3. Лотерея. Есть N билетов, из которых M выигрышных. Какова вероятность выигрыша у того, кто купил n билетов?Решение. Вероятность того, что не будет выигрышных билетов: P (m = 0) = P (A0 ) =вероятность того, что будут выигрышные: P (m > 0) = 1 − P (m = 0) = 1 −0nCM· CN−M.nCN0nCM· CN−M. ТогдаnCN1.1.4. Опыт с непрерывным пространством элементарных событийAЭлементарное событие ω = (x, y) ∈ Ω. A ⊂ Ω =⇒ P (A) = mesmes Ω . Отсюда следует, что A и Ω должны бытьизмеримы. Задача 1.4. Отрезок 0, 1 разламывают в 2-х местах случайным образом.

Какова вероятность того, чтоиз полученных кусков можно составить треугольник?Решение. Пусть отрезок разбивается на x, y − x, 1 − y. Рассмотрим случай x 6 y (второй вариант симметричен). Запишем неравенство треугольника для всех трех сторон:11y>2 x + (y − x) > 1 − yAAAA10.5x + (1 − y) > y − x ⇔ y − x < .AAAA2(y − x) + (1 − y) > x1x<20.5Из графика видно, что mes A = 2 ·18=14· mes Ω. 1Рис.