А.С. Холево - Курс лекций по теории вероятностей, страница 3

Теоремы Муавра – Лапласа и ПуассонаТеорема 1.5 (Муавра – Лапласа). Пусть в схеме Бернулли 0 < p < 1. Тогда при n → ∞,x21P (Am ) = p· e− 2 (1 + o(1)),2πnp(1 − p)(22)m − npгде x = p, а o(1) — равномерно по |x| 6 C.np(1 − p)Эта теорема доказывается с использованием формулы Стирлинга. Она является следствием ЦПТ (центральная предельная теорема).Теорема 1.6 (Пуассона). (Полезна при p → 0, p → 1). Рассмотрим последовательность схем Бернулли,mгде pn = nλ (λ > 0).

Тогда Pn (Am ) → λm! e−λ , при n → ∞. m n−mn!λλPn (Am ) =1−=m!(n − m)! nn(23)n−mλm n(n − 1) · . . . · (n − m + 1)λλm −λ=·· 1−→e при n → ∞.m!n · n · ...·nnm!λm −λe — распределение Пуассона редких событий.m!В применениях n велико, а np = λ ∼ 1, p — малое фиксированное.Пример 5.1. Рассмотрим n ≫ 1 независимых радиоактивных атомов. Вероятность распада за время t для(λT )m −λTTатома: p = 1 − eλt ∼ λT.n , t = n .

Вероятность того, что к моменту T распадется m атомов, равнаm! e2. Случайные величины. Функции распределения2.1. Определения и примеры2.1.1. Случайные величиныСлучайная величина X(ω) — числовая функция от элементарного события.10Определение. Пусть (Ω, A , P ) — вероятностное пространство. Случайной величиной X на Ω называетсяфункция X : Ω → R, измеримая относительно A , т.е. ∀ x ∈ R имеем X −1 (−∞; x) = {ω : X(ω) < x} ∈ A .Замечание. События {ω : X(ω) 6 x}, {ω : X(ω) > x}, {ω : x1 6 X(ω) 6 x2 }, {ω : X(ω) = x} и тому подобныесобытия тоже лежат в A .Решение.1. {ω : X(ω) 6 x} =∞ Tω : X(ω) < x + n1 , переходя к пределу получаем нужный результат, по свойствуn=1σ-алгебры бесконечное пересечение принадлежит A .2.

{ω : X(ω) > x} = {ω : X(ω) < x} ∈ A , поскольку со всяким событием в σ-алгебру входит и его дополнение.3. {ω : x1 6 X(ω) 6 x2 } = {ω : x1 6 X(ω)} ∩ {ω : X(ω) 6 x2 }.4. Надо положить x1 = x = x2 и применить 3.Определение. Случайная величина X называется дискретной, если она может принимать только конечноеили счетное число различных значений.Пусть X(ω) — дискретная случайная величина.

Перенумеруем образ: X(Ω) = {x1 , x2 , . . .}. Положим Ai =∞S= {ω : X(ω) = xi }; A1 , . . . , An , . . . попарно не пересекаются; {An } — (счетное) разбиение Ω;An = Ω; pi =n=1no∞P= P (Ai ) = P {ω : X(ω) = xi };pi = 1; pi > 0. Тогда (xi , pi ) называется распределением вероятностейi=1дискретной случайной величины X.Пример 1.1. Биномиальное распределение. X(ω) — число успехов в n испытаниях.P {ω : X(ω) = m} = Cnm pm (1 − p)n−m .(1)2.1.2. Функции распределенияНапомним, что на (Ω, A , P ) была введена функция X : Ω → R, такая что ∀ x ∈ R имеем X −1 (−∞; x) ∈ A .Определение.Функциейраспределения случайной величины X называется F (x) = P ω : X(ω) < x или −1F (x) := P X (−∞; x) .Теорема 2.1.

F (x) — функция распределения обладает свойствами:1◦ F (x) возрастает на R;2◦ F (−∞) = 0, F (+∞) = 1;3◦ F (x) непрерывна слева.1◦ Пусть x1 < x2 , A1 := X −1 (−∞; x1 ), A2 := X −1 (−∞; x2 ). Так как x1 < x2 , то A1 ⊂ A2 , поэтому P (A1 ) 66 P (A2 ) ⇔ F (x1 ) 6 F (x2 ).2◦ Пусть xn ց −∞. Покажем, что F (xn ) → 0. Рассмотрим An := X −1 (−∞; xn ).

Очевидно, что A1 ⊃ A2 ⊃∞∞TT⊃ A3 . . . иAn = ∅, так как если ω ∈An , то ∀ xn верно X(ω) < xn , но это невозможно =⇒ поn=1n=1аксиоме непрерывности вероятности получаем 0 = lim P (An ) = lim F (xn ).n→∞∞SАналогично рассмотрим xn ր +∞, A1 ⊂ A2 ⊂ . . . иAn = Ω, откуда A1 ⊃ A2 ⊃ . . . =⇒и поэтому lim P (An ) = 0 = 1 − lim P (An ). Следовательно, lim P (An ) = 1.n→∞◦n=1n→∞n→∞n→∞∞TAn = ∅,n=13 Сначала докажем ряд вспомогательных фактов.Замечание.а. Пусть A1 ⊃ A2 ⊃ . . .

Рассмотрим A :=∞TAn . Тогда P (A) = lim P (An ). В самом деле, рассмотримn→∞n=1A0n := An \ A. К ним применим аксиому непрерывности.∞Sб. Если A1 ⊂ A2 ⊂ . . ., то P (An ) = lim P (An ).n=1n→∞11Теперь докажем пункт 3◦ теоремы.Рассмотрим xn ր x0 и положим An := X −1 (−∞; xn ), A0 := X −1 (−∞; x0 ). Ясно, чтовидеть из того, что xn ր x0 ).∞SAn = A0 (несложноn=1Из пункта б замечания имеем lim P (An ) = P (A0 ), где P (An ) = F (xn ), P (A0 ) = F (x0 ). Заметим далее,n→∞∞T−1что P X (−∞; x0 ] =lim F (xn ) = F (x0 + 0). Положим A0 := X −1 (−∞; x0 ]. ОчевидноAn =xn →x0 +0n=1A0 (xn ↓ x0 ) =⇒ осталось перейти к пределу. Итак, теперьясно, что P (X −1 [a, b]) = P (X −1 (−∞; b]) −−1P(X (−∞; a))= F (b + 0) − F (a).

В итоге получаем: P ω : X(ω) ∈ [a, b] = F (b + 0) − F (a), в частностиP ω : X(ω) = a = F (a + 0) − F (a) =: ∆F (a).Задача 2.1. Как выглядит функция распределения дискретной случайной величины?Определение. Функция распределения F (X) называется абсолютно непрерывной, если ∃ p(x) : ∀ a, b(a < b)Rbимеем F (b)−F (a) = p(x) dx (интегрируемость по Лебегу). Функция p(x) называется плотностью распределениявероятности.aЗамечание. Если F абсолютно непрерывна, то она непрерывна.1. F ′ (x) = p(x) почти всюду.

(Если p(x) ∈ SegC (кусочно-непрерывные), то F ′ (x) = p(x) во всех точкахнепрерывности).Rx2. a → −∞ =⇒ F (x) =p(τ ) dτ−∞3. p(x) > 0 почти всюду.При a → −∞, b → +∞ :Пример 1.2.+∞Rp(τ ) dτ = 1.−∞1. Равномерное распределение на [a, b]: p(x) =(2. Экспоненциальное распределение: F (t) =0,t < 0;1−e−λt, t > 0.Нормальное распределение:+∞2π+∞+∞√R +∞R − x2 +y2RR − r2R − x22edx dy =dϕ ·e 2 r dr = 2π =⇒ I = 2π =⇒ p(x) =e 2 dx = I =⇒ I 2 =−∞=1b−a χ[a,b] ;2x√1 e− 22π−∞ −∞— плотность распределения. Φ(x) :=Rx−∞002τ√1 e− 22πdτ — функция нормального распределения.

Стан-дартное нормальное распределение: N (0, 1). Еще рассматриваются функции вида(x−m)21p(x) = √e− 2σ2 ,22πσσ 6= 0,m ∈ R.Обозначение таких функций: N (m, σ).Пример 1.3. Пусть X имеет плотность p(x). Найти распределение Y = X 2 .Решение.√√ FY (y) = P ω : Y (ω) < y = P ω : X(ω)2 < y = P ω : − y < X(ω) < y =√0,Zy=pX (x) dx =⇒ pY (y) =11√√ pX ( y) √ + pX (− y) √ ,√2 y2 y− yy 6 0;y > 0.(2)Замечание. Кроме дискретных и абсолютно непрерывных, бывают сингулярные случайные величины. Например функция распределения Кантора.Теорема Лебега: произвольная функция распределения разлагается как F (x) = C1 F1 (x) + C2 F2 (x) + C3 F3 (x),где Fi (x) — соответственно функции распределения абсолютно непрерывной, сингулярной и дискретной величин.122.2. Семейства случайных величин.

НезависимостьПусть Xi (ω), i = 1, . . . , n — случайные величины на (Ω, A , P ). Иначе говоря, задан случайный вектор X(ω) =(X1 (ω), . . . , Xn (ω)) ∈ Rn .Определение. Функциейсовместного распределения X1 , . . . , Xn называется F (x1 , . . . , xn ) = P ω : X1 (ω) << x1 ; . . . ; Xn (ω) < xn = P (A).TЗамечание. Функция определена корректно, так как A есть пересечение: A = Xi−1 (−∞; xi ), а так какXi — случайные величины, то каждый элемент пересечения лежит в A .2.2.1. Основные свойства1) F (x1 , . . .

, xn ) является неубывающей по каждому аргументу xj , при фиксированных остальных аргументах, поскольку вероятность возрастающего семейства множеств возрастает.2) lim F (x1 , . . . , xj , . . . , xn ) = 0 при фиксированных x1 , . . . , xbj , . . . xn . Доказательство этого свойства анаxj →−∞логично.limx1,...,xn →+∞F (x1 , . . . , xj , . . . , xn ) = 1, поскольку любая точка будет захвачена.3) F непрерывна слева по каждой из переменных.ления случайной величины x1 . Можно считать чтоx2 , . . .

, xn ↑ +∞ →limlimx2 ,...,xn →+∞F (x1 , . . . , xn ) = F (x1 ) — функция распреде-F (x1 , . . . , xn ) ==limP ω : X1 (ω) < x1 , . . . , Xn (ω) < xn =x2 ,...,xn ↑+∞= P ω : X1 (ω) < x1 , X2 < +∞, . . . , Xn (ω) < +∞ = P ω : X1 < x1 = F1 (x1 ) (3)x2 ,...,xn ↑+∞— функция распределения x1 .4) Вероятность попадания в n-мерный полуинтервал (это (x1 , . .

. , xn ) : a1 6 x1 < b1 , . . . , an 6 xn < bn )(1)(n)Рассмотрим P ω : x1 6 X1 (ω) < x1 + h1 , . . . , xn 6 Xn (ω) < xn + hn =: ∆h1 . . . ∆hn F (x1 , . . . , xn ), где(j)∆hj F (x1 , . . . , xn ) = F (x1 , . . . , xj + hj , . . . , xn ) − F (x). Доказательство для n = 2.P ω : x1 6 X1 (ω) < x1 + h1 , x2 6 X2 (ω) < x2 + h2 == P ω : X1 (ω) < x1 + h1 , X2 (ω) < x2 + h2 − P ω : X1 (ω) < x1 , X2 (ω) < x2 + h2 −− P ω : X1 (ω) < x1 + h1 , X2 (ω) < x2 + P ω : X1 (ω) < x1 , X2 (ω) < x2 =(1)(2)= F (x1 + h1 , x2 + h2 ) − F (x1 + h1 , x2 ) − F (x1 , x2 + h2 ) + F (x1 , x2 ) = ∆h1 ∆h2 F (x1 , x2 ). (4)XОпределение.

Пусть K — некоторый класс подмножеств из X : K ⊂ 2 . Пересечение всех σ-алгебр, содержащих K называется σ-алгеброй, порожденной K. Обозначается как σ(K). В частности, борелевской σ-алгебройназывается σ-алгебра, порожденная всеми открытыми1 множествами в Rn . (Обозначается B(Rn ))Теорема2.2. Пусть (X1 , . . . ,Xn ) — случайный вектор в Rn . Пусть B — событие из σ-алгебры B(Rn ).Тогда ω : (X1 (ω), . . . , Xn (ω)) ∈ B ∈ A .P PОбозначим черезвсе B ⊂ Rn : для них выполнено ω : (X1 (ω), .

. . , Xn (ω)) ∈ B ∈ A .1) P содержит все полуинтервалы в Rn .P2)является σ-алгеброй. Тогда ясно, что B(Rn ) ⊆ .Пусть X(ω)—тотсамыйслучайныйвектор.X(ω):=(X(ω),...,X(ω)).Тогдаω:(X(ω),...,X(ω))∈B1n1nимеет вид ω : X(ω)∈B .P1) Rn ∈: ω : X(ω) ∈ Rn = Ω ∈ A . PP2) Пусть ω : X(ω) ∈ B ∈ A , тогда ω : X(ω) ∈ B = ω : X(ω) 6∈ B , то есть если B ∈=⇒ B ∈ .∞∞PSP TP3) Если Bi ∈=⇒ покажем, что Bi ∈ , Bi ∈ .∞∞∞ SSTω : X(ω) ⊂ Bi =ω : X(ω) ∈ Bi ∈ A , т.к. A — σ-алгебра. Аналогично доказывается и для Bi . темPсамым доказано, что— σ-алгебра. Определение. PX (B) = P ω : X(ω) ∈ B называется распределением вероятности случайного вектораX = (X1 , . . . , Xn ), либо совместным распределением вероятности.

Здесь B ∈ B(Rn ).1 Можносчитать, что это все открытые прямоугольники (так устроена топология в Rn ).13(1)(n)В частности, если B = [x1 , x1 + h1 ) × [x2 , x2 + h2 ) × . . . × [xn , xn + hn ), то PX (B) = ∆h1 . . . ∆hn F (x1 , . . . , xn ).В силу теоремы о продолжении меры (о единственности), PX (B) однозначно определяется по F (x1 , . . . , xn )Определение. Совместное распределение PX (B) называется абсолютно непрерывным, еслиZPX (B) = p(x) dx,Bnгде B ∈ B(R ), p(x) — плотность совместного распределения, а x — n-мерный вектор.Если B — полуинтервал, то∆h F (x) =xZ1 +h1...x1xnZ+hnp(y1 .