А.В. Булинский - Курс лекций по теории вероятностей
Описание файла
PDF-файл из архива "А.В. Булинский - Курс лекций по теории вероятностей", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "теория вероятностей и математическая статистика" из 4 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст из PDF
МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТимени М. В. ЛОМОНОСОВАМеханико-математический факультетКурс лекций потеории вероятностейЛектор — Александр Вадимович БулинскийII курс, 4 семестр, поток математиковМосква, 2004 г.Оглавление1.2.3.Элементарная теория вероятностей1.1. Вероятностные пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.1.1. Предмет теории вероятностей . .
. . . . . . . . . . . . . . .1.1.2. Алгебры событий . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.1.3. Вероятность. Аксиоматика Колмогорова . . . . . . . . . .TODO: Лемма о баллотировке . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.2. Свойства вероятностных мер. Непрерывность . . . . . . . .
. . . .1.2.1. Простейшие свойства вероятности . . . . . . . . . . . . . .1.2.2. Непрерывность мер и её связь со счётной аддитивностью .1.3. Дискретные вероятностные пространства (примеры) . . . . . . .1.3.1. Схема Бернулли . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . .1.3.2. Геометрическая вероятность . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.3.3. Гипергеометрическая вероятность . . . . . . . . . . . . . .1.3.4. Распределение Пуассона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.4. Условная вероятность и формула Байеса . .
. . . . . . . . . . . .1.4.1. Понятие условной вероятности . . . . . . . . . . . . . . . .1.4.2. Формула Байеса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .TODO: пример . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.5. Функции распределения и плотности . . . . . . . . . . .
. . . . . .1.5.1. Распределения мер . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .TODO: пояснение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.5.2. Примеры распределений вероятностных мер . . . . . . . .1.6. Независимость событий. Леммы Бореля – Кантелли . . . . . . . .1.6.1. Попарная независимость и независимость в совокупности1.6.2.
Две леммы Бореля – Кантелли . . . . . . . . . . . . . . . .........................................................................................................................................................................................................................................................................5555566666677777888888999Случайные величины2.1. Понятие случайного элемента . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.1.1. Измеримые отображения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.1.2. Свойства измеримых функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.1.3. Примеры случайных величин . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . .2.2. Распределения случайных элементов. Пополнение вероятностного пространства2.2.1. Вероятностные меры и распределения случайных величин . . . . . . . . .2.2.2. Пополнение вероятностного пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.3. Независимость случайных величин . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .2.3.1. Независимые алгебры и случайные величины . . . . . . . . . . . . . . . . .2.3.2. Теорема о булочках с изюмом . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.4. Теорема о монотонных классах и её следствия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.4.1. π-системы и λ-системы множеств . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.4.2. Следствия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.5. Построение случайных величин с заданным распределением . . . . . . . . . . . .2.5.1. Последовательности равномерно распределённых величин . . . . . . .
. .2.5.2. Построение произвольной последовательности вероятностных мер . . . .................................................................................................................................................................1010101011111112121213131314151516Математическое ожидание3.1. Интеграл Лебега по вероятностной мере . .
. . . . . . . . . . . . . . .3.1.1. Определение интеграла Лебега . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.1.2. Свойства математического ожидания . . . . . . . . . . . . . .3.1.3. Теоремы о предельном переходе под знаком интеграла Лебега3.2. Дисперсия и ковариация. Пространство Lp . . . .
. . . . . . . . . . .3.2.1. Определения и свойства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.2.2. Неравенство Чебышева . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .......................................................................16161617182020212.................................................................................................................................................................................................................................................4.5.Сходимость случайных величин. Закон больших чисел4.1.
Закон больших чисел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.1.1. Простейший вариант ЗБЧ . . . . . . . . . . . . . . . . .4.1.2. Теорема Вейерштрасса . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.2. Различные виды сходимости и их взаимосвязь . . . . . . . . .4.2.1. Теорема Пуассона . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .4.2.2. Сходимость по вариации . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.2.3. Сходимость по распределению и слабая сходимость . .4.2.4. Сходимость почти всюду и сходимость по вероятности4.3. Усиленные законы больших чисел и их следствия . . . .
. . .4.3.1. УЗБЧ для некоррелированных величин . . . . . . . . .4.3.2. Теорема Этемади . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.3.3. Классическая теорема Колмогорова. Закон 0 и 1 . . . .Центральная предельная теорема5.1. Теорема Александрова . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .5.2. Характеристические функции . . . . . . . . . . . . . . . . . .5.2.1. Определение, основные свойства и примеры . . . . .5.2.2. Формула обращения . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5.2.3. Теорема Леви . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .5.3. Центральная предельная теорема в условиях Линдеберга . .5.3.1. Ещё два (а может, три) свойства характеристических5.4. Свёртки распределений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5.5. Случайные векторы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5.5.1. Основные определения . . . .
. . . . . . . . . . . . . .5.5.2. Многомерная центральная предельная теорема . . . .3............................................................................................................................................................................................................21212122222222222222222325.
. . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .функций. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .................................................................................................................................................................................252525252728292929292929................................................ПредисловиеДанное издание является результатом совместного творчества DMVN Corporation и Дмитрия Горяшина.Пока работа полностью не завершена, трудно сказать, оказался ли этот эксперимент удачным или нет. Стандартизовать обозначения и исходные TEX-исходники непросто, но ряд усилий в этом направлении всё же былоприложено.
Случайные величины мы решили обозначать греческими буквами, а не латинскими, как это былона лекциях — все-таки, это общепринятый стандарт.Порядок следования теорем, определений и т. д. в целом сохранён таким, каким он был на лекциях в 2004 году.Некоторые перестановки с целью более логичной группировки утверждений были осуществлены во второй итретьей главах настоящего издания. В частности, собраны воедино все теоремы, относящиеся к теории интегралаЛебега.В данной версии исправлено несколько опечаток, за что спасибо Игорю Приходько.Вопросы, комментарии, замечания и предложения направляйте на dmvn@mccme.ru, обновления электроннойверсии — на сайте http://dmvn.mexmat.net.Набор и вёрстка: DMVN Corporation, GorDmitПоследняя компиляция: 15 февраля 2006 годаВерсия: 0.341. Элементарная теория вероятностей1.1.
Вероятностные пространства1.1.1. Предмет теории вероятностейТеория вероятностей изучает математические модели случайных явлений. Один и тот же случайный эксперимент может быть описан с помощью разных пространств элементарных исходов. Одно и то же пространствоможет описывать разные случайные эксперименты.1.1.2.
