Теоретический минимум, страница 3

. . + () = 0, ∀ = 1, −→ ∈ RОпределение Уравнение + 1 −1 + . . . + = 0 называется характеристическим уравнением для рассматриваемого ОДУ.Пример Рассмотрим однородное линейное уравнение 2-го порядка ′′ − = 0Характеристическое уравнение для данного ОДУ2 − 1 = 02023) Запишите математические постановки задач Коши для нормальнойсистемы ОДУ 1-го порядка и линейного ОДУ -го порядка.1. Рассмотрим нормальную систему ОДУ→−→−→−−−−− ′ () = (, → ()), (, → ()) = {1 (, → ()), . . . , (, → ())}− ()) определена в замкнутой области D+1 =∀ = 1, −→ (, →= [0 − , 0 + ] × [10 − 1 (), 10 + 1 ()] × . .

. × [0 − (), 0 + ()], ∈ R.−−Задача Коши состоит в отыскании решения → =→ () данной си→−−стемы, удовлетворяющего начальным условиям ( ) = → .002. Пусть ⊆ R, ∀ = 1, −→ () ∈ (), () ∈ ()Рассмотрим линейное ОДУ -го порядка ≡ () + 1 () (−1) + . . . + () = ()Задача Коши состоит в отыскании решения = () данного уравнения, удовлетворяющего начальным условиям(0 ) = 0 , ′ (0 ) = 1 , . .

. , (−1) (0 ) = −1 , 0 ∈ 24) Что такое фундаментальная матрица однородной системы линейныхОДУ? Приведите пример.См. Вопрос 15).25) Что такое матрица Коши однородной системы линейных ОДУ? Приведите пример.См. Вопрос 13).26) Сформулируйте теорему Ляпунова об устойчивости и неустойчивости по первому приближению.21Вспомогательные сведения:Теорема Если функция ( ) = (1 , . . .

, ) +1 раз дифференцируема ∀ (1 , . . . , ) : (, 0 ) < , то ∀ (1 , . . . , ) : (, 0 ) < −→⃒⃒⃒⃒0⃒ (1 − 10 ) + . . . +⃒ ( − (1 , . . . , ) = (10 , . . . , 0 ) +)+⃒⃒1 0 0⃒⃒⃒1 2 ⃒⃒1 2 ⃒⃒1 ⃒⃒0 20 2(1 −1 ) +. . .+(1 −10 )+( − ) +. . .+2⃒⃒⃒22 1 02 0! 1 0⃒⃒⃒1 ⃒⃒10 +1 ⃒+... +(−)+⃒ .⃒! ( + 1)!00⏟⏞+1Данное выражение называетсяформулой Тейлора.√︀00 )2 - расстояние междуЗдесь (, 0 ) ≡(1 − 1 )2 + .

. . + ( − 0точками (1 , . . . , ) и 0 (10 , . . . , ), +1 - остаточный член.→−Определение Всякое решение () нормальной системы= (, 1 , . . . , ), = 1, можно интерпретировать геометрически как кривую в ( + 1)-мерномпространстве переменных , 1 , .

. . , , которую принято называть интегральной кривой.В теории устойчивости исследуют расходимость интегральных кривых,отвечающих различным начальным условиям одной и той же задачи Коши. В функции, являющейся решением задачи Коши, указывают зави−−симость от начальных условий как от параметров: → (, →0 ). Можно показать, что с помощью замены переменных в рассматриваемой задачеисследование решения на устойчивость сводится к выяснению устойчи→−−вости тривиального решения → = 0.22Исследование на устойчивость по первому приближению позволяет выяснить устойчивость тривиального решения автономной нормальной системы= (1 , . .

. , ), = 1, Само название метода связано с заменой правых частей уравнений нормальной системы линейным приближением формулы Тейлора в окрестности точки 0 (0, . . . , 0)⃒⃒ ⃒⃒ ⃒⃒ (1 , . . . , ) ≈ (0, . . . , 0) +(1 − 0) + . . . +( − 0) =⏟⏞1 ⃒0 ⃒00⃒⃒ ⃒⃒ ⃒⃒1 + . . . + .=1 ⃒0 ⃒0Таким образом приходим к однородной системе линейных уравнений.Рассмотрим однородную систему линейных ОДУ→−− ′ () = → ()Здесь - постоянная матрица размера ( × ). Пусть 1 , . .

. , - ее ХЧ.Теорема Тривиальное решение однородной системы линейных уравнений устойчиво и притом асимптотически, если ∀ = 1, −→ Re < 0, инеустойчиво, если ∃ = 1, : Re > 0.Рассмотрим задачу Коши для автономной нормальной системы ОДУ снулевыми начальными условиями{︃→− −→− ′ () = (→ ())→−→− (0) = 0 .Теорема Пусть в некоторой окрестности точки 0 (0, . . .

, 0) функции (1 , . . . , ), = 1, непрерывны вместе с производными до второго порядка включительно. Тогда тривиальное решение рассматриваемойзадачи Коши устойчиво и притом асимптотически при условии, что⎛⃒⃒ ⎞ ⃒⃒ ⃒⃒...⎜ ⃒ ⃒0 ⎟⎜ 1 0⎟⎜ ........ ⎟∀ : det( − ) = 0 −→ Re < 0, где = ⎜ . ⃒⃒ ⎟⎜⎟ ⃒⃒ ⎠⎝ ⃒⃒...1 ⃒0 ⃒023Тривиальное решение рассматриваемой задачи Коши неустойчиво, если∃ : det( − ) = 0, Re > 027) Дайте определение устойчивого решения.

Приведите пример решения устойчивого, но не асимптотически.Вспомогательные сведения:√︀−−Норма вектора → = {1 , . . . , }: ||→ || = 12 + . . . + 2 .Рассмотрим задачу Коши для нормальной системы ОДУ{︃→−− ′ () = (, → ())→−− (0) = →0 .−−Определение Решение → (, → ) рассматриваемой задачи называется0устойчивым, если−−∀ > 0 ∃ > 0 : ∀Δ→0 : ||Δ→0 || < , ∀ > 0 −→−−−−−−→ ||→ (, → + Δ→ )−→ (, → )|| < 000−−Определение Решение → (, →0 ) рассматриваемой задачи называетсяасимптотически устойчивым, если оно является устойчивым и→−−−−−−−−∃0 > 0 : ∀Δ→0 : ||Δ→0 || < 0 −→ lim (→ (, →0 + Δ→0 ) − → (, →0 )) = 0→+∞Пример Рассмотрим задачу Коши⎧⎨ = ⎩(0) = .02Ее решение () = 0 + .

Исследуем устойчивость данного решения.2Здесь(, 0 ) = 0 +22; (, 0 + Δ0 ) = 0 + Δ0 +22Пусть |Δ0 | < , тогда |(, 0 + Δ0 ) − (, 0 )| = |Δ0 | < , то естьможно положить = (какое бы мы не выбрали всегда найдется = ).Следовательно, решение устойчиво.24При этомlim |(, 0 + Δ0 ) − (, 0 )| = |Δ0 | ≠ 0→+∞Cледовательно, решение устойчиво, но не асимптотически.28) Дайте определение асимптотически устойчивого решения. Приведитепример.См. Вопрос 27).Пример Рассмотрим задачу Коши⎧⎨ = −⎩(0) = .0Ее решение () = 0 − .

Исследуем устойчивость данного решения.Здесь(, 0 ) = 0 − ; (, 0 + Δ0 ) = 0 − + Δ0 −Пусть |Δ0 | < , тогда очевидно, что∀ > 0 ∃ > 0 : |(, 0 + Δ0 ) − (, 0 )| = |Δ0 − | < Следовательно, решение устойчиво.При этом⃒⃒lim |(, 0 + Δ0 ) − (, 0 )| = lim ⃒Δ0 − ⃒ = 0→+∞→+∞Cледовательно, решение асимптотически устойчиво.29) Дайте определение неустойчивого решения. Приведите пример.Рассмотрим задачу Коши для нормальной системы ОДУ{︃→−− ′ () = (, → ())→−→− (0) = .0−−Определение Решение → (, →0 ) рассматриваемой задачи называетсянеустойчивым, если−−∃ > 0 : ∀ > 0 : ∃Δ→0 : ||Δ→0 || < , ∃ > 0 −→−−−−−−→ ||→ (, → + Δ→ )−→ (, → )|| > 00Пример Рассмотрим задачу Коши250⎧⎨ = ⎩(0) = .0Ее решение () = 0 .

Исследуем устойчивость данного решения.Здесь(, 0 ) = 0 ; (, 0 + Δ0 ) = 0 + Δ0 Пусть |Δ0 | < , тогда очевидно, что∀ > 0 ∃ > 0 : |(, 0 + Δ0 ) − (, 0 )| = |Δ0 | > Следовательно, решение неустойчиво.30) Сформулируйте критерий устойчивости решений линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Приведите примеры.Рассмотрим линейное однородное уравнение с постоянными коэффициентами = () () + 1 (−1) () + . . .

+ () = 0, ∀ = 1, −→ ∈ RСоответствующий ему характеристический многочлен + 1 −1 + . . . + Теорма Пусть ∀ ∈ C : + 1 −1 + . . . + = 0 −→ Re < 0Тогда тривиальное решение рассматриваемого уравнения () ≡ 0устойчиво и притом асимптотически.Пример1. неустойчивое решение ′′ − 2 ′ + = 0 ⇒ 2 − 2 + 1 = 0 ⇒ 1,2 = 12. устойчивое решение ′′ + 2 ′ + = 0 ⇒ 2 + 2 + 1 = 0 ⇒ 1,2 = −131) Сформулируйте теорему о достаточных условиях устойчивости системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.26Рассмотрим однородную систему линейных ОДУ→−− ′ () = → ()Здесь - постоянная матрица размера ( × ), 1 , . . . , - ее ХЧ.Теорема Тривиальное решение однородной системы линейных уравнений устойчиво и притом асимптотически, если ∀ = 1, −→ Re < 0.32) Какое положение равновесия линейной динамической системы наплоскости называется устойчивым узлом? Неустойчивым узлом? Приведите примеры.Вспомогательные сведения:Рассмотрим автономную нормальную систему ОДУ→− −→− ′ () = (→ ())→− −→−→−−−−Пусть ∃→0 : (→0 ) = 0 , при этом →0 ′ = 0 ⇒ →0 является решениемрассматриваемой системы.

Такое решение называется положением равновесия или точкой покоя данной системы.Рассмотрим линейную динамическую систему{︃1′ = 11 1 + 12 22′ = 21 1 + 22 2(0, 0) - точка покоя данной системы. Пусть∃1 , 2 ∈ R : det( − ) = 0, ̸= 0, 1 ̸= 2(︂)︂11 12здесь = 1, 2, =21 22Тогда общее решение рассматриваемой системы1 = 1 1 , 2 = 2 2 ⇒ =12ln( ) ⇒2 21− 1 12 12221 = 1 ( ) = 1 2 2 = 22⏟ ⏞21.

Пусть 1 < 2 < 0, тогдаlim 1 = lim 1 1 = 0; lim 2 = lim 2 2 = 0→+∞→+∞→+∞27→+∞Точка покоя (0, 0) называется устойчивым узлом - асимптотическиустойчива.2. Пусть 0 < 1 < 2 , тогдаlim 1 = lim 1 1 = ∞; lim 2 = lim 2 2 = ∞→+∞→+∞→+∞→+∞Точка покоя (0, 0) называется неустойчивым узлом - неустойчива.Пример(︂1. Устойчивый узел. Пусть =−10 3−3 0)︂det( − ) = 0 ⇔ 2 + 10 + 9 = 0 ⇒ 1 = −9, 2 = −1(︂)︂10 32. Неустойчивый узел. Пусть =−3 0det( − ) = 0 ⇔ 2 − 10 + 9 = 0 ⇒ 1 = 1, 2 = 933) Какое положение равновесия линейной динамической системы наплоскости называется устойчивым фокусом? Неустойчивым фокусом?Приведите примеры.Рассмотрим линейную динамическую систему{︃1′ = 11 1 + 12 22′ = 21 1 + 22 2(0, 0) - точка покоя данной системы.

Пусть∃1 , 2 ∈ C : det( − ) = 0, 1 = 2(︂)︂11 12здесь = 1, 2, =21 22Тогда 1 = + , 2 = − , где , ∈ R/{0} и общее решениерассматриваемой системы можно записать в виде 1 = 1 cos(), 2 = 2 1222sin() ⇒ 2 + 2 = 21 21. Пусть < 0, тогдаlim 1 = lim 1 cos() = 0; lim 2 = lim 2 sin() = 0→+∞→+∞→+∞→+∞Точка покоя (0, 0) называется устойчивым фокусом - асимптотически устойчива.282.

Пусть > 0, тогдаlim 1 = lim 1 cos() = ∞; lim 2 = lim 2 sin() = ∞→+∞→+∞→+∞→+∞Точка покоя (0, 0) называется неустойчивым фокусом - неустойчива.Пример(︂)︂−2 11. Устойчивый фокус. Пусть =−2 0det( − ) = 0 ⇔ 2 + 2 + 2 = 0 ⇒ 1,2 = −1 ± (︂2 1−2 02. Неустойчивый фокус. Пусть =)︂det( − ) = 0 ⇔ 2 − 2 + 2 = 0 ⇒ 1,2 = 1 ± 34) Какое положение равновесия линейной динамической системы наплоскости называется седлом? Что можно сказать про устойчивость седла? Приведите пример.Рассмотрим линейную динамическую систему{︃1′ = 11 1 + 12 22′ = 21 1 + 22 2(0, 0) - точка покоя данной системы.

Пусть∃1 , 2 ∈ R : det( − ) = 0, 1 < 0 < 2(︂)︂11 12здесь = 1, 2, =21 22Тогда общее решение рассматриваемой системы1 = 1 1 , 2 = 2 2 ⇒ =21ln( ) ⇒2 21− 1 12 1221 = 1 ( ) 2 = 1 2 2 = 22⏟ ⏞2При этомlim 1 = lim 1 1 = 0; lim 2 = lim 2 2 = ∞→+∞→+∞→+∞29→+∞Точка покоя (0, 0) называется)︂ седлом - неустойчива.(︂0 2Пример Пусть =2 0det( − ) = 0 ⇔ 2 − 4 = 0 ⇒ 1,2 = ±235) Какое положение равновесия линейной динамической системы наплоскости называется центром? Что можно сказать про устойчивостьцентра? Приведите пример.Рассмотрим линейную динамическую систему{︃1′ = 11 1 + 12 22′ = 21 1 + 22 2(0, 0) - точка покоя данной системы.

Пусть∃1 , 2 ∈ C : det( − ) = 0, Re = 0, 1 = 2(︂)︂11 12здесь = 1, 2, =21 22Тогда 1 = , 2 = −, где ∈ R/{0} и общее решение рассматриваемой системы можно записать в виде1 = 1 cos(), 2 = 2 sin() ⇒1222+=112 22При этомlim 1 = lim 1 cos() = @; lim 2 = lim 2 sin() = @→+∞→+∞→+∞→+∞Точка покоя (0, 0) называется центром - устойчива, но не асимптотически.(︂)︂0 1Пример Пусть =−1 0det( − ) = 0 ⇔ 2 + 1 = 0 ⇒ 1,2 = ±36) Сформулируйте теорему единственности решения краевой задачи и30теорему о достаточных условиях существования только тривиального решения у однородной краевой задачи с краевыми условиями первого рода.Вспомогательные сведения:В качестве примера краевой задачи рассмотрим задачу Дирихле - линейное ОДУ 2-го порядка2 +()+ 2 () = 1 () 0 < < 12С дополнительными условиями первого рода:(0) = 0 , () = Здесь 1 (), 2 (), 1 () ∈ [0, ].