Теоретический минимум

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТим. М.В. ЛОМОНОСОВАФизический факультетОтветы к экзамену по курсудифференциальные уравненияИюль 20151) Сформулируйте теорему существования решения задачи Коши дляуравнения первого порядка.Вспомогательные сведения:Определение Говорят, что функция переменных (1 , . .

. , ), определенная в -мерной области D ⊆ R , принадлежит к классу непрерывных в области E ⊆ D функций: (1 , . . . , ) ∈ (E ), если∀(1 , . . . , ) ∈ E −→ lim (1 , . . . , ) = (1 , . . . , )1 →1... →.Рассмотрим задачу Коши⎧⎨ = (, )⎩( ) = .00Функция (, ) определена в замкнутой области D = [0 − , 0 + ]×× [0 − , 0 + ], где , ∈ R.Пусть:1. (, ) ∈ (D) (, )∈ (D)Тогда ∃! решение рассматриваемой задачи2.() : ∀ ∈ [0 − , 0 + ] ∩ (()) −→ (, ()) ∈ D.2) Сформулируйте теорему о существовании и единственности решениязадачи Коши для уравнения ′ () = (, ). Проверьте выполнение условий этой теоремы для задачи ′ () = 4 − 4, > 0, (0) = 0.См. Вопрос 1).Рассмотрим задачу⎧⎨ = 4 − 4⎩ > 0, (0) = 0.1.

Очевидно, что 4 − 4 ∈ (D)2.(4 − 4) = −4 ∈ (D)1.3) Сформулируйте теорему о существовании и единственности решениязадачи Коши для уравнения ′ () = (, ). Проверьте выполнение усло√вий этой теоремы для задачи ′ () = 6 , > 0, (0) = 0.См. Вопрос 1).Рассмотрим задачу⎧⎨ = √6 ⎩ > 0, (0) = 0.√1. Очевидно, что 6 ∈ (D)2. √1 1( 6 ) ≠∈ (D), так как в точке (, 0) ∈ D, ∀ > 0 функция6 561 1не определена. (, ) =6 654) Сформулируйте теорему Чаплыгина существования и единственностирешения задачи Коши для уравнения первого порядка.Рассмотрим задачу Коши⎧⎨ = (, )⎩0 < ≤ , ( ) = .00Вспомогательные сведения:⋂︀Определение Функция () ∈ 1 (0, ] [0, ] называется нижнимрешением задачи Коши, если< (, ()) , (0) < 0 .⋂︀Определение Функция () ∈ 1 (0, ] [0, ] называется верхнимрешением задачи Коши, если∀ ∈ (0, ] −→∀ ∈ (0, ] −→> (, ()) , (0) > 0 .Пусть:1.

∃ нижнее () и верхнее () решения задачи Коши:∀ ∈ [0, ] −→ () < ().22. Функция (, ) ∈ (D) удовлетворяет условию Липшица по переменной в области D, где D = [0, ] × [(), ()],∃ ∈ R : ∀ ∈ [0, ] , ∀1 , 2 ∈ [(), ()] −→−→ | (, 1 ) − (, 2 )| ≤ |1 − 2 |.Тогда ∃! решение рассматриваемой задачи () : ∀ ∈ [0, ] −→−→ () < () < ().5) Дайте определение фундаментальной системы решений линейного однородного дифференциального уравнения. Какой вид имеет общее решение такого уравнения? Приведите пример.Вспомогательные сведения:Определение Если в дифференциальном уравнении неизвестная функция зависит от одной переменной, то уравнение называют обыкновеннымдифференциальным уравнением(ОДУ).Общийвид ОДУ -го порядка(︀)︀ с одной неизвестной функцией:′′′() , (), (), (), . .

. , () = 0Определение Пусть ⊆ R, ∀ = 1, −→ () ∈ (), () ∈ ().Тогда ОДУ вида = () + 1 () −1 + . . . + () = ()называется линейным. При () ≡ 0 ∀ ∈ данное уравнение называется линейным однородным.Определение Функции 1 (), . . . , () называются линейно зависимыми(ЛЗ) на отрезке [, ] функциями, если∃ ∈ R, = 1, : ∀ ∈ [, ] −→∑︁=12̸= 0,∑︁ () = 0=1Определение Функции 1 (), .

. . , () называются линейно независимыми(ЛНЗ) на отрезке [, ] функциями, если∀ ∈ [, ] , ∈ R, = 1, −→∑︁ () = 0 ⇔=1∑︁2 = 0=1Рассмотрим однородное линейное дифференциальное уравнение ≡ () + 1 () (−1) + . . . + () = 03Определение Совокупность из , где - порядок уравнения, любыхЛНЗ на отрезке [, ] решений рассматриваемого уравнения называетсяфундаментальной системой решений(ФСР) данного уравнения.Теорема Пусть функции 1 (), .

. . , () - ФСР рассматриваемогоуравнения. Тогда любое решение () данного уравнения представимо в∑︀виде () = (), ∈ R ∀ = 1, =1Пример Рассмотрим линейное однородное ОДУ 2-го порядка2 +=02 и решим данное уравнение методом разделенияСделаем замену =переменных+ =0⇒= − или ≡ 0 ⇒ ln() = − + , ∈ R ⇒⇒ = (−+) = − ⏟⏞ = 1 − , 1 ∈ R/{0}1 ̸= 0Объединяя оба решения, можно записать= 2 − ⇒ = 2 − ⇒−−⇒ = −+=+ 3 , 3 , 4 ∈ R234⏟ ⏞ = 2 − , 2 ∈ R ⇒4Итак, в данном примере ФСР составляют решения 1 () = − , 2 () =1, а любое решение данного уравнения представляет собой их линейнуюкомбинацию () = 4 1 () + 3 2 (), 3 , 4 ∈ R.6) Метод вариации постоянной для решения неоднородного линейногоОДУ первого порядка.

Приведите пример.Рассмотрим неоднородное линейное дифференциальное уравнение ≡ () + 1 () (−1) + . . . + () = ()Теорема Пусть функции 1 (), . . . , () - ФСР соответствующегорассмотренному линейного однородного уравнения.∑︀Тогда функция () = () () является решением рассматрива=1емого неоднородного уравнения при условии, что функции (), = 1, удовлетворяют системе линейных уравнений4⎧ ∑︀ ′⎪⎪ () () = 0⎪⎪⎪=1⎪⎪∑︀⎪⎪⎪′ ()′ () = 0⎪⎪⎨=1.....................⎪⎪∑︀⎪(−2)⎪() = 0′ ()⎪⎪⎪=1⎪⎪⎪∑︀⎪(−1)⎪() = ().⎩ ′ ()=1Пример Рассмотрим линейное неоднородное ОДУ 2-го порядка2 +=12 Соответствующее ему однородное уравнение было решено в Вопросе5), его общее решение () = 1 − + 2 , 1 , 2 ∈ R. Имеем системулинейных уравнений{︂ ′1 () − + 2′ () = 01′ () (− )′ + 2′ () (1)′ = 1.Вычисляя производную (− )′ = −− , (1)′ = 0 и складывая два уравнения системы, получаем2′ () = 1 ⇒ 2 = ⇒ 2 () = + , ∈ RПодставляя выражение 2′ = 1 в первое уравнение системы1′ ()− = −1 ⇒ 1 = − ⇒ 1 () = − + , ∈ RСледовательно, общее решение рассматриваемого неоднородного уравнения() = (− + )− + + = − + + ⏟ −⏞1Итак, общее решение данного ОДУ () = + − + , , ∈ R7) Метод вариации постоянных для решения неоднородной линейнойнормальной системы ОДУ первого порядка.

Приведите пример.5Вспомогательные сведения:Определение Линейной нормальной системой ОДУ называют системудифференциальных уравнений первого порядка вида→−→−− ′ () = ()→ () + ()→−Здесь () - матрица размера ( × ), () = {1 (), . . . , ()}- вектор-функция, компоненты которой заданы при ∈ [, ],→− () = {1 (), . . .

, ()} - неизвестная вектор-функция. При () ≡0 ∀ = 1, данная система называется однородной.Определение Совокупность из ЛНЗ на отрезке [, ] решений линейной однородной системы называют ФСР однородной системы.Определение Фундаментальной матрицей линейной однородной системы называют матрицу, составленную из столбцов ФСР данной системы.Рассмотрим неоднородную и соответствующую ей однородную линейныесистемы ОДУ→−→−− ′ () = ()→ () + ()→−− ′ () = ()→ ()(1)(2)−−Пусть () = {→1 (), . . .

, → ()} - фундаментальная матрица (2).→−Так как ∀ () : = 1, −→ (2), для фундаментальной матрицыможно записать ′ () = () ()(3)−−Поскольку вектор-функции →1 (), . . . , → () образуют ФСР ∀ ∈ [, ],−1det () ̸= 0 ⇒ ∃ ().Будем искать решение неоднородной системы уравнений в виде решения соответствующей однородной с учетом вариации постоянных. Общеерешение однородной системы представимо в виде→− () =∑︁→−− ()→ () = () ()(4)=1Подставляя (4) в (1) и вычисляя производную сложной функции, приходим к уравнению→−→−→−→− ′ () () + () ′ () = () () () + ()(5)Из (3) умножением на −1 () справа получаем () = ′ () −1 ().Подставляя данное выражение в (5), имеем6→−→−→−→− ′ () () + () ′ () = ′ () −1 () () () + ()⏟⏞→−→− () ′ () = ()(6)Домножая (6) на −1 () слева и интегрируя в пределах от 0 до→−(, 0 ∈ [, ]), получаем выражение для ()→− () =∫︁→−−→ −1 () () + 0(7)0−→В данном выражении 0 = {1 , .

. . , } : ∈ R ∀ = 1, - произвольный вектор. Подставляя (7) в (4), окончательно имеем−→→− () = ()0 + ()∫︁→− −1 () ()(8)0Выражение (8) и является общим решением задачи (1).Пример{︃1′ = 1 − 22 + −→−→−→−′⇔=+2′ = −2 + −(︂ )︂(︂)︂(︂ − )︂−11 −2 →→−Здесь =,=, = −20 −1Найдем ФСР однородной системыdet( − ) = 0 ⇔ (1 − )(−1 − ) = 0 ⇒ 1,2 = ±1(︂ )︂(︂ )︂(︂)︂ (︂ )︂ (︂ )︂1−1−210111 = 1 ⇒=⇒=0−1 − 12020(︂)︂ (︂ )︂ (︂ )︂(︂ )︂(︂ )︂11+1−2102 = −1 ⇒=⇒ 1 =0210−1 + 12Следовательно, ФСР однородной системы составляют столбцы(︂ )︂(︂ )︂11, −01Найдем общее рещение неоднородной системы, используя метод вариации постоянных(︂ − )︂ () =- фундаментальная матрица системы,0 −7)︂1 ()- неизвестная вектор-функция2 ()(︂ − )︂ (︂ ′ )︂ (︂ − )︂→−′→− 1 ()= − ⇒ () () = () ⇔−′0 2 (){︃)︂ (︂ − )︂(︂ ′2′ () = 1 1 () + − 2′ ()⇒= − ⇒⇒0 + − 2′ ()1′ () = −{︃2 () = + 2⇒, где 1 , 2 ∈ R1 () = −− + 1→− () =(︂Следовательно, общее решение системы)︂ (︂(︂ )︂ (︂ − )︂ (︂ −)︂−−−+−1+++1121→−= == + 220 −− + 2 −)︂(︂ )︂(︂ − )︂ (︂ −1→− = 1+ 2 − +0−8) Покажите равносильность задачи Коши для ОДУ -го порядка задачеКоши для нормальной системы 1-го порядка.

Приведите пример.Рассмотрим задачу Коши для ОДУ -го порядка⎧(︀)︀()′′′(−1)()=,(),(),(),...,()⎪⎪⎪⎪0⎪⎪⎨(0 ) = 1 ′ (0 ) = 20⎪⎪⎪............⎪⎪⎪⎩ (−1)(0 ) = 0 .Сделаем замену: 1 () = (), 2 () = 1′ (), . . . , () = (−1) ().Начальные условия перейдут соответственно в 1 (0 ) = 10 , 2 (0 ) = 20 ,. . . , (0 ) = 0 .Следовательно, приходим к задаче Коши для нормальной системыОДУ 1-го порядка8⎧⎪1′ () = 2⎪⎪⎪⎪⎪2′ () = 3⎪⎪⎪⎨. . . . . . . .

. . . .′⎪−1() = ()⎪⎪⎪⎪⎪′ () = (, 1 (), 2 (), . . . , ())⎪⎪⎪⎩ ( ) = 0 , = 1, 0Пример Рассмотрим задачу Коши для ОДУ 2-го порядка⎧′′⎪⎨ = (0 ) = 0⎪⎩ ′ (0 ) = 0С помощью замены переменных = ′ приходим к задаче Коши длянормальной системы ОДУ 1-го порядка⎧′⎪⎨ = ′ = ⎪⎩(0 ) = 0 , (0 ) = 09) Сформулируйте теорему существования и единственности решениязадачи Коши для системы уравнений первого порядка.Рассмотрим задачу Коши для нормальной системы ОДУ{︃→−→−− ′ () = (, →)→−− (0 ) = →0 .−−Здесь введены обозначения → () = {1 (), . . . , ()}, →0 = {10 , .

. . , 0 },→−−−− (, → ()) = {1 (, → ()), . . . , (, → ())}.→−∀ = 1, −→ функция (, ()) определена в замкнутой области+10[0 −, 0 +]×[1 −1 (), 10 +1 ()]×. . .×[0 − (), 0 + ()],D= ∈ R.Пусть:→−−−1. (, → ()) ∈ (D+1 ), то есть ∀ = 1, −→ (, → ()) ∈ (D+1 )− (,→)− (,→)∈ (D+1 )−Тогда ∃! решение рассматриваемой задачи → () :2. ∀, : = 1, , = 1, ∃:∀ ∈ [0 − , 0 + ]∩(1 ())∩. .