Теоретический минимум, страница 4

Преобразуем исходное уравнение⃒∫︀⃒2 1 ()⃒×()=+()+()=()121⃒22 () 2 + ()1 ()+ ()2 () = ()1 ()⏞⏞⏟⏞⏟ ⏟′ ()−()2 ()2 ()= () 2 + ′ () , введем обозначение[︂]︂()− () = 2 ()[] ≡Используя замену переменных[︂]︂Поскольку() = () − (), где () : () ∈ 2 [0, ], (0) = 0 , () = ,Можно свести рассматриваемую задачу к задаче с нулевыми граничными условиями⎧⎪[]⎨[] = [ − ] = [] − [] = ⏟ 2 () −⏞ ()∈[0,]⎪⎩(0) = 0, () = 0.{︃[] = ()(0) = 0, () = 0.При () ≡ 0 ∀ ∈ [0, ] рассматриваемая краевая задача называетсяоднородной.311. Теорема Если однородная краевая задача имеет только тривиальное решение, то соответствующая ей неоднородная задача имеет неболее одного решения.2.

Теорема Пусть в операторе [] однородной краевой задачи с граничными условиями первого рода () ≥ 0, тогда решение даннойзадачи тривиально.37) Сформулируйте теорему Нагумо о существовании решения нелинейной краевой задачи.Рассмотрим двухточечную краевую задачу⎧ 2⎨ = (, ), ∈ D ≡ (0, 1)2⎩(0) = , (1) = .01При нелинейности функции (, ) по переменной данная задачаназывается нелинейной.Вспомогательные сведения:Определение Функции (), () ∈ 2 (D)∩(D) называются соответственно нижним и верхним решениями рассматриваемой задачи, если2 2 − ((), ) ≥ 0 ≥ 2 − ((), ∈ D2(0) ≤ (0), (1) ≤ (1)Теорема Пусть ∃ (), () - нижнее и верхнее решения рассматриваемой задачи, причем () ≤ () ∀ ∈ D, функция (, ) непрерывна иудовлетворяет условию Липшица по переменной при ∈ [, ], ∈ D.Тогда ∃ () : () - решение рассматриваемой задачи, () ≤ () ≤(), ∀ ∈ D.38) Сформулируйте теорему о представлении решения краевой задачи спомощью функции Грина.Рассмотрим неоднородную краевую задачу{︃[] = ()(0) = 0, () = 0.Теорема Пусть соответствующая рассмотренной краевой задаче однородная задача имеет только тривиальное решение.

Тогда ∃! решение32рассматриваемой задачи, которое может быть выражено через функциюГрина∫︁ () =(, ) ()039) Сформулируйте определение функции Грина краевой задачи длядифференциального уравнения второго порядка.Рассмотрим краевую задачу для линейного дифференциального уравнения 2-го порядка⎧ 2⎨ + 1 () + 2 () = 1 () 0 < < 2⎩(0) = , () = .0Здесь 1 (), 2 (), 1 () ∈ [0, ].Определение Функцией Грина рассматриваемой краевой задачи называется такая функция 2-х переменных (, ), что1. (, ) определена и непрерывна при (, ) ∈ [0, ] × [0, ]2. (, ) удовлетворяет однородному уравнению [(, )] = 0 при0 < , < 3.

(, ) удовлетворяет нулевым граничным условиям4. При = первая производная имеет разрыв I рода:⃒=+0⃒⃒ ⃒⃒ ⃒⃒ ⃒⃒1−==⃒⃒⃒ =−0 (+0,) (−0,) ()40) Алгоритм построения функции Грина и решения первой краевой задачи для неоднородного дифференциального уравнения 2-го порядка.Рассмотрим неоднородную краевую задачу{︃[] = ()(0) = 0, () = 0.Пусть1.

Соответствующая рассмотренной краевой задаче однородная задачаимеет только тривиальное решение.332. Известны 2 нетривиальных решения двух задач Коши{︃[1 ] = 01 (0) = 0.{︃[2 ] = 02 () = 0.Тогда функцию Грина можно построить следующим образом{︃1 ()2 () при 0 ≤ ≤ 1(, ) =() () 1 ()2 () при ≤ ≤ .⃒⃒⃒⃒⃒1 () 2 ()⃒ 1⃒⃒⃒,⃒⃒Здесь () = ⃒⃒ ′−=1 () 2′ ()⃒ () ⃒(+0,) ⃒(−0,)А решение рассматриваемой краевой задачи∫︁ (, ) ()() =041) Определение и алгоритм построения функции Грина первой краевойзадачи.См. Вопрос 39), 40).42) Сформулируйте определение и перечислите свойства функции Гринапервой краевой задачи.См. Вопрос 39).Свойства:⃒⃒ ⃒⃒ ⃒⃒11.−= ⃒ ⃒()(+0,)(−0,)⃒⃒ ⃒⃒ ⃒⃒2.= ⃒(,+0) ⃒(−0,)⃒⃒ ⃒⃒ ⃒⃒3.= ⃒(,−0) ⃒(+0,)43) Запишите математические постановки известных Вам краевых задач.341. Задача Дирихле{︃ ′′ () = (, , ′ ), < < () = , () = 2.

Задача Неймана{︃ ′′ () = (, , ′ ), < < ′ () = , ′ () = 3. Задача Штурма-Лиувилля⎧⎪⎨[] + ()() = 0, < < 1 ′ () + 1 () = 0, 12 + 12 ̸= 0⎪⎩2 ′ () + 2 () = 0, 22 + 22 ̸= 044) Запишите линейное однородное уравнение в частных производныхпервого порядка в общем виде, опишите алгоритм нахождения решенияэтого уравнения.Вспомогательные сведения:Общий вид уравнения в частных производных первого порядка−,...,) = 0 или (→ , , grad ) = 01Определение Линейным однородным уравнением в частных производных первого порядка будем называть уравнение вида (1 , . . . , , ,∑︁=1− (→)= 0 или(︁→)︁− →−→− ( ), 2 ( ) = 0Определение Характеристической системой описанного уравнения называется система − 1 уравнений1= ... =→−−1 ( ) (→)Определение Первым интегралом характеристической системы называется функция (1 , .

. . , )), принимающая постоянное значение, когда точка (1 , . . . , ) пробегает интегральную кривую характеристической системы.35Общий вид линейного однородного уравнения в частных производныхпервого порядка∑︁=1−= 0 или (→)(︁→)︁− →−→− ( ), grad ( ) = 0Алгоритм нахождения решения этого уравнения1. Записать характеристическую систему для данного уравнения2. Найти − 1, где - число переменных, от которых зависит искомаяфункция, независимых первых интегралов3.

Записать общее решение. Оно будет иметь вид = (Ψ1 , . . . , Ψ−1 ),где - произвольная непрерывно дифференцируемая функция своих аргументов, Ψ1 , . . . , Ψ−1 - независимые первые интегралы характеристической системы рассматриваемого уравнения.45) Что такое характеристическая система и характеристики линейногооднородного уравнения в частных производных первого порядка?Рассмотрим линейное однородное уравнение в частных производныхпервого порядка∑︁=1− (→)= 0 или(︁→)︁− →−→− ( ), grad ( ) = 0Определение Характеристической системой рассматриваемого уравнения называется система − 1 уравнений1= ...

=→−−1 ( ) (→)Определение Характеристиками линейного однородного уравненияв частных производных первого порядка называются решения характеристической системы.46) Что такое первый интеграл характеристической системы линейногооднородного уравнения в частных производных первого порядка?Определение Первым интегралом характеристической системы называется функция (1 , . . . , )), принимающая постоянное значение,когда точка (1 , . . . , ) пробегает интегральную кривую характеристической системы.3647) Сформулируйте теорему о решении квазилинейного уравнения в частных производных первого порядка.Вспомогательные сведения:Определение Уравнение вида∑︁=1−− (→ , )= (→ , ) или(︁→)︁− →−→−− ( , ), grad ( ) = (→ , )называется квазилинейным уравнением в частных производных первогопорядка.Постановка задача Коши для квазилинейного уравнения в частныхпроизводных.В ( + 1)-мерной области переменных 1 , .

. . , , требуется найтифункцию (1 , . . . , ), обращающую следующее уравнение в тождество1 (1 , . . . , , )+ . . . + (1 , . . . , , )= (1 , . . . , , )1При дополнительном условии| = Φ(1 , . . . , )Здесь - гладкая поверхность в области изменения переменных, заданная уравнением (1 , . . . , ) = 0, , , Φ - непрерывно дифференцируемые в области функции.ТеоремаПусть1. Решение уравнения = (1 , . .

. , ) в неявном виде определяетсяуравнением (1 , . . . , , ) = 0 и ̸= 0.2. Поверъность такая, что проекция любой, принадлежащей области, характеристики уравнения1+ . . . + +=01на плоскость переменных 1 , . . . , имеет с одну и только однуточку пересечения. Кроме того, в точке пересечения проекция характеристики не является касательной к .Тогда ∃! решение рассматриваемой задачи Коши.37.