PDF - лекции, страница 8
Описание файла
PDF-файл из архива "PDF - лекции", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "дифференциальная геометрия" из 4 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст 8 страницы из PDF
»¬¨ ±«®¢ ¬¨, ª ¦¤®© ²®·ª¥ ¨§ ° ±±¬ ²°¨¢ ¥¬®© ®¡« ±²¨ ¯°®±²° ±²¢ ¯°¨¯¨±»¢ ¥²±¿ n ·¨±¥«, ¯°¨·¥¬ ° §»¬²®·ª ¬ ¯°¨¯¨±»¢ ¾²±¿ ° §»¥ n-ª¨ ·¨±¥«. ±®, ·²® ®¶¨´°®¢ª ®¤®© ¨²®© ¦¥ ®¡« ±²¨ ¬®¦¥² ¡»²¼ ¢»¯®«¥ ¬®£¨¬¨ ° §»¬¨ ±¯®±®¡ ¬¨. ¯°¨¬¥°, ª ¦¤³¾ ²®·ª³ P ¯«®±ª®±²¨ R2 ¬» ¬®¦¥¬ § ¤ ²¼ ¥¥ ±² ¤ °²»¬¨¥¢ª«¨¤®¢»¬¨ ª®®°¤¨ ² ¬¨ (x; y), ¬®¦¥¬ ¯®±² ¢¨²¼ ¢ ±®®²¢¥²±²¢¨¥ ²®·ª¥P ¯ °³ ·¨±¥« (r; '), £¤¥ r | ° ±±²®¿¨¥ ®² P ¤® · « ª®®°¤¨ ² O, '| ³£®« ®² ¯° ¢«¥¨¿ ®±¨ OX ¤® ¯° ¢«¥¨¿ ° ¤¨³±-¢¥ª²®° ²®·ª¨ P . ¯®¬¨¬, ·²® ¯ ° (r; ') §»¢ ¥²±¿ ¯®«¿°»¬¨ ª®®°¤¨ ² ¬¨ ²®·ª¨ P .²¬¥²¨¬ ¢®§¨ª ¾¹¨¥ §¤¥±¼ ±«®¦®±²¨.
®-¯¥°¢»µ, ¥±«¨ P ±®¢¯ ¤ ¥²± O, ²® ¯° ¢«¥¨¥ ° ¤¨³±-¢¥ª²®° OP ¥ ®¯°¥¤¥«¥®. ®-¢²®°»µ, ¤«¿²®·¥ª P, ®²«¨·»µ ®² O, ³£®« ®² ¯° ¢«¥¨¿ ®±¨ OX ¤® ¯° ¢«¥¨¿¢¥ª²®° OP ®¯°¥¤¥«¥ ¥®¤®§ ·® (± ²®·®±²¼¾ ¤® 2). ª¨¬ ®¡° §®¬, ¬ ¥ ³¤ ¥²±¿ ª®°°¥ª²® ®¯°¥¤¥«¨²¼ ¯®«¿°»¥ ª®®°¤¨ ²» ¢±¥©¯«®±ª®±²¨ R2. ¤ ª®, ¥±«¨ ®£° ¨·¨²¼±¿ ®¡« ±²¼¾ , ¯®«³·¥®© ¨§ R2¢»¡° ±»¢ ¨¥¬, ±ª ¦¥¬, ¥®²°¨¶ ²¥«¼®© ¯®«³®±¨ OX+ , ¨ ¯®«®¦¨²¼, ·²®' ¬¥¿¥²±¿ ¢ ¯°¥¤¥« µ ®² 0 ¤® 2, ¬» ¯®«³·¨¬ ª®°°¥ª²® ®¯°¥¤¥«¥³¾\®¶¨´°®¢ª³" ®¡« ±²¨ , ¿¢«¿¾¹³¾±¿ ¯°¨¬¥°®¬ ª°¨¢®«¨¥©®© ±¨±²¥¬»ª®®°¤¨ ².
¬¥® ² ª¨¬¨ ®¡º¥ª² ¬¨ ¬» ¡³¤¥¬ ±¥£®¤¿ § ¨¬ ²¼±¿.6.1¯°¥¤¥«¥¨¥ ª°¨¢®«¨¥©®© ±¨±²¥¬» ª®®°¤¨ ²³±²¼ | ¥ª®²®° ¿ ®¡« ±²¼ ¢ Rn, ¨ (x1 ; : : : ; xn) | ±² ¤ °²»¥ ª®®°¤¨ ²» ¢ Rn. ±±¬®²°¨¬ ¥¹¥ ®¤¨ ½ª§¥¬¯«¿° Rn1 ±® ±² ¤ °²»¬¨ ª®®°¤¨ ² ¬¨ (y1 ; : : : ; yn). ¨±²¥¬ ¨§ n ´³ª¶¨© yi = yi (x1 ; : : : ; xn), i = 1; : : : ; n,§ ¤ »µ , §»¢ ¥²±¿ ¥¯°¥°»¢®© ±¨±²¥¬®© ª®®°¤¨ ², ¥±«¨ ®²®¡° ¦¥¨¥ : ! Rn1 , § ¤ ®¥81 1 1><y = y (x ; : : : ; xn);:::>:yn = y1(x1; : : : ; xn)°¨¢®«¨¥©»¥ ª®®°¤¨ ²»40¿¢«¿¥²±¿ ¢§ ¨¬®-®¤®§ ·»¬, ¥¯°¥°»¢»¬, ¨ ®¡° ²®¥ ª ¥¬³ ®²®¡° ¦¥¨¥ ;1 , § ¤ ®¥ ±¨±²¥¬®© ´³ª¶¨©81 1 1><x = x (y ; : : : ; yn);:::>:xn = x1(y1 ; : : : ; yn);| ² ª¦¥ ¥¯°¥°»¢®.
¡®° ·¨±¥« (y1 (P); : : : ; yn(P)) ¤«¿ ¯°®¨§¢®«¼®©²®·ª¨ P 2 §»¢ ¥²±¿ ª°¨¢®«¨¥©»¬¨ ª®®°¤¨ ² ¬¨ ²®·ª¨ P (¯® ®²®¸¥¨¾ ª ±¨±²¥¬¥ ª®®°¤¨ ², § ¤ ®© ´³ª¶¨¿¬¨ yi ). ±«¨ ¢±¥ ´³ª¶¨¨ xi (y1 ; : : : ; yn ) | £« ¤ª¨¥, ²® ª®®°¤¨ ²» yi §»¢ ¾²±¿ £« ¤ª¨¬¨. ²¬¥²¨¬, ·²® ¨§ £« ¤ª®±²¨ ±¨±²¥¬» ª®®°¤¨ ² ¥ ¢»²¥ª ¥² £« ¤ª®±²¼ ®²®¡° ¦¥¨¿ (¤®±² ²®·® ° ±±¬®²°¥²¼ ¯°¨¬¥° § ¬¥»ª®®°¤¨ ² ¯°¿¬®© R1, § ¤ ®¥ ¢ ¢¨¤¥ x = y3 ; ¢ ²®·ª¥ y = 0 ®¡° ²®¥®²®¡° ¦¥¨¥, ².¥. ®²®¡° ¦¥¨¥ , £« ¤ª¨¬ ¥ ¿¢«¿¥²±¿).«¿ £« ¤ª®© ±¨±²¥¬» ª®®°¤¨ ²¬ ²°¨¶ ª®¡¨ J, ±®±² @x®¯°¥¤¥«¥ i,¨¿ª®¡¨ jJ j, ° ¢»© ®¯°¥¤¥«¨¢«¥ ¿ ¨§ · ±²»µ ¯°®¨§¢®¤»µ @yj²¥«¾ ¬ ²°¨¶» ª®¡¨.« ¤ª ¿ ±¨±²¥¬ ª®®°¤¨ ² §»¢ ¥²±¿ °¥£³«¿°®©, ¥±«¨ ¥¥ ¿ª®¡¨ ¢±¾¤³ ®²«¨·¥ ®² ³«¿, ¨»¬¨ ±«®¢ ¬¨, ¬ ²°¨¶ ª®¡¨ ¢±¾¤³ ¥¢»°®¦¤¥ .
§ ²¥®°¥¬» ®¡ ®¡° ²®© ´³ª¶¨¨ ¢»²¥ª ¥², ·²® ¤«¿ ª°¨¢®«¨¥©®©±¨±²¥¬» ª®®°¤¨ ² ®²®¡° ¦¥¨¥ ² ª¦¥ £« ¤ª®¥, ¨ ¥£® ¬ ²°¨¶ ª®¡¨° ¢ J ;1 , ¯®½²®¬³, ¢ · ±²®±²¨, ¬ ²°¨¶ ª®¡¨ ®²®¡° ¦¥¨¿ ¥¢»°®¦¤¥ . ¬¥· ¨¥. ®¿²¨¥ °¥£³«¿°®±²¨ ª°¨¢®«¨¥©»µ ª®®°¤¨ ² ¬®¦¥² ¡»²¼®¯°¥¤¥«¥® ¨ ¤°³£¨¬ ½ª¢¨¢ «¥²»¬ ®¡° §®¬: ª°¨¢®«¨¥©»¥ ª®®°¤¨ ²» §»¢ ¾²±¿ °¥£³«¿°»¬¨, ¥±«¨ ª ª ´³ª¶¨¨ xi = xi (y1 ; : : : ; yn ), ² ª ¨´³ª¶¨¨ y = y (x1 ; : : : ; xn), ¿¢«¿¾²±¿ £« ¤ª¨¬¨. ª ³¦¥ ¡»«® ®²¬¥·¥®,½²¨¬ ±¢®©±²¢®¬ ®¡« ¤ ¾² °¥£³«¿°»¥ ª®®°¤¨ ²» ¢ ±¬»±«¥ ¯°¥¤»¤³¹¥£®®¯°¥¤¥«¥¨¿. ®ª ¦¥¬ ¨ ®¡° ²®¥.
§ £« ¤ª®±²¨ ´³ª¶¨© y (x1; : : : ; xn)¢»²¥ª ¥², ·²® ¢ ª ¦¤®© ²®·ª¥ P 2 ¨ ¥¥ ®¡° §¥ (P) ®¯°¥¤¥«¥» ¬ ²°¨¶»ª®¡¨ ®²®¡° ¦¥¨© ¨ ;1 ±®®²¢¥²±²¢¥®. ® ²¥®°¥¬¥ ® ¤¨´´¥°¥¶¨°®¢ ¨¨ ±«®¦®© ´³ª¶¨¨, ¯°®¨§¢¥¤¥¨¥ ½²¨µ ¬ ²°¨¶ ° ¢® ¥¤¨¨·®© ¬ ²°¨¶¥, ¯®½²®¬³ ®¡ ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¨µ ¿ª®¡¨ ®²«¨·» ®² ³«¿, ¨, § ·¨²,±¨±²¥¬ °¥£³«¿° ¢ ±¬»±«¥ ¯°¥¤»¤³¹¥£® ®¯°¥¤¥«¥¨¿.²¬¥²¨¬, ·²® ¯°¨ °¥¸¥¨¨ ª®ª°¥²»µ § ¤ · ¬®£® ¯°®¹¥ ¡»¢ ¥²¯°®¢¥°¿²¼, ·²® ¿ª®¡¨ ®²«¨·¥ ®² ³«¿, ·¥¬ ¨±ª ²¼ ®¡° ²®¥ ®²®¡° ¦¥¨¥¨ ¯°®¢¥°¿²¼ ¥£® £« ¤ª®±²¼.
»¬¨ ±«®¢ ¬¨, ¯¥°¢®¥ ®¯°¥¤¥«¥¨¥ °¥£³«¿°®±²¨ ª°¨¢®«¨¥©®© ±¨±²¥¬» ª®®°¤¨ ² · ±²® ¡»¢ ¥² ¯°¥¤¯®·²¨²¥«¼¥¥¢²®°®£®.³±²¼ (y01 ; : : : ; y0n ) | ª°¨¢®«¨¥©»¥ ª®®°¤¨ ²» ¥ª®²®°®© ²®·ª¨ P 2. «¿ ª ¦¤®£® i ° ±±¬®²°¨¬ ª°¨¢³¾ i (t), ®¯°¥¤¥«¥³¾ ¤«¿ t, ¡«¨§ª¨µ ª41°¨¢®«¨¥©»¥ ª®®°¤¨ ²»y0i ² ª:81><x (t) = x1(y01 ; : : : ; y0i;1; t; y0i+1; : : : ; y0n);:::>:xn(t) = xn(y01 ; : : : ; y0i;1; t; y0i+1; : : : ; y0n):°¨¢ ¿ i (t) §»¢ ¥²±¿ i-®© ª®®°¤¨ ²®© ª°¨¢®©, ¯°®µ®¤¿¹¥© ·¥°¥§ ²®·ª³P. ²¬¥²¨¬, ·²® ¥±«¨ ª®®°¤¨ ²» °¥£³«¿°», ²® ª°¨¢ ¿ i (t) ² ª¦¥ °¥£³«¿° (¤®ª ¦¨²¥). «®£¨·® ®¯°¥¤¥«¨¬ k-¬¥°»¥ ª®®°¤¨ ²»¥ ¯®¢¥°µ®±²¨. «¿ ½²®£®¢»¡¥°¥¬ k < n ¨¤¥ª±®¢ (i1 ; : : : ; ik ) ¨ ¤«¿ tip , ¡«¨§ª¨µ ª y0ip , § ¤ ¤¨¬ ¯ ° ¬¥²°¨·¥±ª¨ k-¬¥°³¾ ¯®¢¥°µ®±²¼ ² ª:81 i><x (t ; : : : ; tip ) = x1(y01; : : : ; ti ; : : : ; tip ; : : : ; yn);:::>:xn(ti ; : : : ; tip ) = xn(y01; : : : ; ti ; : : : ; tip ; : : : ; yn):1111 ±«¨ k = n ; 1, ²® k-¬¥°»¥ ª®®°¤¨ ²»¥ ¯®¢¥°µ®±²¨ §»¢ ¾²±¿ ª®®°¤¨ ²»¬¨ £¨¯¥°¯®¢¥°µ®±²¿¬¨.
²¬¥²¨¬, ·²®, ª ª ¨ ¢ ±«³· ¥ ª®®°¤¨ ²»µ ª°¨¢»µ, k-¬¥°»¥ ª®®°¤¨ ²»¥ ¯®¢¥°µ®±²¨ °¥£³«¿°®© ±¨±²¥¬»ª®®°¤¨ ² ¿¢«¿¾²±¿ °¥£³«¿°»¬¨ ¯®¢¥°µ®±²¿¬¨ (¯°®¢¥°¼²¥). ±«¨ (y1 ; : : : ; yn ) | °¥£³«¿° ¿ ±¨±²¥¬ ª®®°¤¨ ² ¢ ®¡« ±²¨ , ¨ (z 1 ; : : : ; z n)| ¥¹¥ ®¤ °¥£³«¿° ¿ ±¨±²¥¬ ª®®°¤¨ ² ¢ ½²®© ®¡« ±²¨, ²®, ¢ ±¨«³ ¢§ ¨¬®© ®¤®§ ·®±²¨ ®²®¡° ¦¥¨©, § ¤ ¾¹¨µ ½²¨ ª®®°¤¨ ²», ®¯°¥¤¥«¥ § ¬¥ ª®®°¤¨ ² (y1 ; : : : ; yn ) ª®®°¤¨ ²» (z 1 ; : : : ; z n), ¯®°®¦¤¥ ¿´³ª¶¨¿¬¨81 1 1><y = y (z ; : : : ; zn);:::>:yn = y1(z1; : : : ; zn) i@y ½²®© ±¨±²¥¬» ´³ª¶¨© ¨ ®¯°¥¤¥«¨²¥«¼ ²°¨¶ ª®¡¨ J(y; z) = @zjjJ(y; z)j ¬ ²°¨¶» J(y; z) §»¢ ¾²±¿ ±®®²¢¥²±²¢¥® ¬ ²°¨¶¥© ª®¡¨ ¨¿ª®¡¨ ®¬ ½²®© § ¬¥».6.2°¨¬¥°» ª°¨¢®«¨¥©»µ ±¨±²¥¬ ª®®°¤¨ ²°¨¢¥¤¥¬ ¥ª®²®°»¥ ¯°¨¬¥°» ¨¡®«¥¥ · ±²® ¢±²°¥· ¾¹¨µ±¿ ¢ § ¤ · µª°¨¢®«¨¥©»µ ±¨±²¥¬ ª®®°¤¨ ².6.2.1 ¢ª«¨¤®¢» ª®®°¤¨ ²» ±«¨ ®²®¡° ¦¥¨¥ ®¯°¥¤¥«¥® ¢±¥¬ Rn ¨ ¿¢«¿¥²±¿ ²®¦¤¥±²¢¥»¬®²®¡° ¦¥¨¥¬, ²® ª°¨¢®«¨¥© ¿ ±¨±²¥¬ ª®®°¤¨ ², ¯®°®¦¤¥ ¿ , ±®¢¯ ¤ ¥² ± ± ¬®© ¥¢ª«¨¤®¢®© ±¨±²¥¬®© ª®®°¤¨ ².
°¨ ½²®¬ ¬ ²°¨¶ ª®¡¨42°¨¢®«¨¥©»¥ ª®®°¤¨ ²»¢ ª ¦¤®© ²®·ª¥ Rn ¯®±²®¿ ¨ ° ¢ ¥¤¨¨·®© ¬ ²°¨¶¥, ¿ª®¡¨ ° ¢¥1, ¯®½²®¬³ ½²® | °¥£³«¿° ¿ ±¨±²¥¬ ª®®°¤¨ ²; ª®®°¤¨ ²»¥ ª°¨¢»¥ |½²® ¯ ° ««¥«¼»¥ ª®®°¤¨ ²»¬ ®±¿¬ ¯°¿¬»¥, ¯°®µ®¤¿¹¨¥ ·¥°¥§ ¤ ³¾²®·ª³; ª®®°¤¨ ²»¥ k-¬¥°»¥ ¯®¢¥°µ®±²¨ | ½²® k-¬¥°»¥ ¯«®±ª®±²¨,¯°®µ®¤¿¹¨¥ ·¥°¥§ ¤ ³¾ ²®·ª³ ¯ ° ««¥«¼® ¥ª®²®°®© k-¬¥°®© ¯«®±ª®±²¨, ²¿³²®© ª®®°¤¨ ²»¥ ®±¨.6.2.2¨¥© ¿ ±¨±²¥¬ ª®®°¤¨ ² ±«¨ ®²®¡° ¦¥¨¥ | ½²® ¯°®¨§¢®«¼®¥ «¨¥©®¥ ®²®¡° ¦¥¨¥, ²® Rn®¯°¥¤¥«¥ ª°¨¢®«¨¥© ¿ ±¨±²¥¬ ª®®°¤¨ ², ¥±«¨ ¨ ²®«¼ª® ¥±«¨ ¬ ²°¨¶ | ¥¢»°®¦¤¥ , ¨ ²®£¤ ½² ±¨±²¥¬ °¥£³«¿° .
²°¨¶ ª®¡¨ °¥£³«¿°®© «¨¥©®© ±¨±²¥¬» ¯®±²®¿ ¨ ±®¢¯ ¤ ¥² ± ¬ ²°¨¶¥© ;1 ; ¿ª®¡¨ ° ¢¥ 1= det( ). ®®°¤¨ ²»¥ ª°¨¢»¥ ¨ k-¬¥°»¥ ª®®°¤¨ ²»¥ ¯®¢¥°µ®±²¨ | ½²® ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¨¥ ¯°¿¬»¥ ¨ k-¬¥°»¥ ¯«®±ª®±²¨.6.2.3®«¿° ¿ ±¨±²¥¬ ª®®°¤¨ ² ±«¨ (x; y) | ±² ¤ °²»¥ ª®®°¤¨ ²» ¯«®±ª®±²¨, ²® ¯®«®¦¨¬(x = r cos ';y = r sin ';£¤¥ r > 0, 0 < ' < 2. ¯¨± ®¥ ²®«¼ª® ·²® ®²®¡° ¦¥¨¥ § ¤ ¥²°¥£³«¿°³¾ ±¨±²¥¬³ ª®®°¤¨ ² (r; ') ®¡« ±²¨ = R2 n f(x; 0) j x 0g.² ±¨±²¥¬ ª®®°¤¨ ² §»¢ ¥²±¿ ¯®«¿°®©.
²°¨¶ ª®¡¨ ° ¢ cos ' ;r sin ' sin ' r cos ' ; ¿ª®¡¨ ° ¢¥ r. ®®°¤¨ ²»¥ «¨¨¨ | ®²ª°»²»¥ «³·¨, ¢»µ®¤¿¹¨¥ ¨§ · « ª®®°¤¨ ² (§ ¨±ª«¾·¥¨¥¬ ¯®«®¦¨²¥«¼®© ¯®«³®±¨ OX+ ), ² ª¦¥®ª°³¦®±²¨ ± ¶¥²°®¬ ¢ O (¯°®ª®«®²»¥ ¢ ²®·ª¥ ¯¥°¥±¥·¥¨¿ ± «³·®¬ OX+ ).²¬¥²¨¬, ·²® ¯®«¿°®© ±¨±²¥¬®© ª®®°¤¨ ² §»¢ ¥²±¿ «¾¡ ¿ °¥£³«¿° ¿ ±¨±²¥¬ , ®±®¢ ¿ ´³ª¶¨¿µ (r; ') (¯°¨ ° §®¬ ª®°°¥ª²®¬¢»¡®°¥ ®¡« ±²¨ ¨ ®¡« ±²¨ ¨§¬¥¥¨¿ ´³ª¶¨© r ¨ ').6.2.4¨«¨¤°¨·¥±ª ¿ ±¨±²¥¬ ª®®°¤¨ ² ±«¨ (x; y; z) | ±² ¤ °²»¥ ª®®°¤¨ ²» ¢ R3, ²® ¯®«®¦¨¬8><x = r cos ';y = r sin ';>:z = z;°¨¢®«¨¥©»¥ ª®®°¤¨ ²»43£¤¥ r > 0, 0 < ' < 2, ;1 < z < 1.
¯¨± ®¥ ²®«¼ª® ·²® ®²®¡° ¦¥¨¥§ ¤ ¥² °¥£³«¿°³¾ ±¨±²¥¬³ ª®®°¤¨ ² (r; '; z) ¢ ¯®¤µ®¤¿¹¥© ®¡« ±²¨. ² ±¨±²¥¬ ª®®°¤¨ ² §»¢ ¥²±¿ ¶¨«¨¤°¨·¥±ª®©.¯° ¦¥¨¥ 6.1 ¯¨¸¨²¥ ª ª³¾-¨¡³¤¼ ¬ ª±¨¬ «¼³¾ ®¡« ±²¼, ¢ ª®-²®°®© ¶¨«¨¤°¨·¥±ª ¿ ±¨±²¥¬ ª®®°¤¨ ² ª®°°¥ª²® ®¯°¥¤¥«¥ , ©¤¨²¥ ¬ ²°¨¶³ ª®¡¨, ¿ª®¡¨ , ª®®°¤¨ ²»¥ ª°¨¢»¥, ª®®°¤¨ ²»¥ ¯«®±ª®±²¨, ¤®ª ¦¨²¥ °¥£³«¿°®±²¼ ½²®© ±¨±²¥¬».6.2.5´¥°¨·¥±ª¨¥ ª®®°¤¨ ²» ±«¨ (x; y; z) | ±² ¤ °²»¥ ¥¢ª«¨¤®¢» ª®®°¤¨ ²», ²® ¤«¿ ª ¦¤®© ²®·ª¨P = (x; y; z) ®¯°¥¤¥«¨¬ ²°¨ ·¨±« (r; ; '), ¢»¡° ¢ ¢ ª ·¥±²¢¥ r ° ±±²®¿¨¥¬¥¦¤³ P ¨ · «®¬ ª®®°¤¨ ² O, ¢ ª ·¥±²¢¥ | ³£®« ¬¥¦¤³ ¢¥ª²®°®¬OP ¨ ¯«®±ª®±²¼¾ XY , ¢ ª ·¥±²¢¥ ' | ³£®« ¬¥¦¤³ ° ¤¨³±-¢¥ª²®°®¬ ¯°®¥ª¶¨¨ ²®·ª¨ P ¯«®±ª®±²¼ XY ¨ ¯®«®¦¨²¥«¼»¬ ¯° ¢«¥¨¥¬ ®±¨ X.²®¡» ¨§¡¥¦ ²¼ ¥¯°¨¿²®±²¥©, «®£¨·»µ ²¥¬, ª®²®°»¥ ¢®§¨ª«¨ ¯°¨° ±±¬®²°¥¨¨ ¯®«¿°»µ ª®®°¤¨ ², ´³ª¶¨¨ (r; ; ') § ¤ ¤¨¬ ¢ ®¡« ±²¨ = R3 n , £¤¥ | § ¬ª³² ¿ ¯®«³¯«®±ª®±²¼ ¢ ª®®°¤¨ ²®© ¯«®±ª®±²¨XZ, ®£° ¨·¥ ¿ ®±¼¾ z ¨ ±®¤¥°¦ ¹ ¿ ¯®«®¦¨²¥«¼³¾ ¯®«³®±¼ x.
°®¬¥²®£®, ¡³¤¥¬ ±·¨² ²¼, ·²® r > 0, ;=2 < < =2 ¨ 0 < ' < 2. ¢¿§¼ ¬¥¦¤³ª®®°¤¨ ² ¬¨ (x; y; z) ¨ (r; ; ') ¢ ¿¢®¬ ¢¨¤¥ ¢»£«¿¤¨² ² ª:8><x = r cos cos ';y = r cos sin ';>:z = r sin :°¨ ®¯¨± »µ ®£° ¨·¥¨¿µ ´³ª¶¨¨ (r; ; ') § ¤ ¾² °¥£³«¿°³¾ ª°¨¢®«¨¥©³¾ ±¨±²¥¬³ ª®®°¤¨ ², §»¢ ¥¬³¾ ±´¥°¨·¥±ª®©.¯° ¦¥¨¥ 6.2 «¿ ±´¥°¨·¥±ª®© ±¨±²¥¬» ª®®°¤¨ ² ©¤¨²¥ ¬ ²°¨¶³ª®¡¨, ¿ª®¡¨ , ª®®°¤¨ ²»¥ ª°¨¢»¥, ª®®°¤¨ ²»¥ ¯«®±ª®±²¨, ¨ ¤®ª ¦¨²¥ °¥£³«¿°®±²¼ ½²®© ±¨±²¥¬».6.3 ± ²¥«¼®¥ ¯°®±²° ±²¢®¯°¥¤¥«¨¬ ²¥¯¥°¼ ª ± ²¥«¼®¥ ¯°®±²° ±²¢® TP ¢ ²®·ª¥ P ®¡« ±²¨ Rn ª ª ¬®¦¥±²¢® ¢»·¨±«¥»µ ¢ ²®·ª¥ P ¢¥ª²®°®¢ ±ª®°®±²¥© ¢±¥¢®§¬®¦»µ £« ¤ª¨µ ª°¨¢»µ, ¯°®µ®¤¿¹¨µ ·¥°¥§ P. ±«¨ (x1; : : : ; xn) | ±² ¤ °²ª®®°¤¨ ²» ¢ Rn, ¨ v 2 ;TP ¿¢«¿¥²±¿ ¢¥ª²®°®¬±ª®°®±²¨ ª°¨¢®©;»¥1x (t); : : :; ; xn(t) , ¯°¨·¥¬ P = x1(0); : : : ; xn(0) , ²® ª®®°¤¨ ²» ¢¥ª²®° v ° ¢» x_ 1 (0); : : : ; x_ n(0) . ª ª ª ®²®¡° ¦¥¨¥ ¢ ²®·ª³ ¿¢«¿¥²±¿ £« ¤ª®© ª°¨¢®©, ²® 0 2 TP . ª ª ª ¢ ¯° ¢«¥¨¨ «¾¡®£® ¢¥ª²®° v ¬®¦® ¢»¯³±²¨²¼ ¯°¿¬³¾, ¯ ° ¬¥²°¨§®¢ ³¾ ² ª, ·²®¡» ±ª®°®±²¼ ¯®«³·¥®© ª°¨¢®© ¡»« ° ¢ v, ²®TP = Rn, ·²® ®¯°¥¤¥«¿¥² ±²°³ª²³°³ ¢¥ª²®°®£® ¯°®±²° ±²¢ TP .44°¨¢®«¨¥©»¥ ª®®°¤¨ ²»³±²¼ ²¥¯¥°¼ ¢ ®¡« ±²¨ § ¤ °¥£³«¿° ¿ ±¨±²¥¬ ª®®°¤¨ ² (y1 ; : : : ; yn ).³±²¼ v 2 TP | ª ± ²¥«¼»© ¢¥ª²®° ± ª®®°¤¨ ² ¬¨ (¯® ®²®¸¥¨¾ ª±² ¤ °²®© ¥¢ª«¨¤®¢®© ±¨±²¥¬¥ ª®®°¤¨ ²), ° ¢»¬¨ (v1 ; : : : ; vn ), ¨ (t)| £« ¤ª ¿ ª°¨¢ ¿, ² ª ¿ ·²® (0) = P, ;(0)_ = v.
°¨¢ ¿ (t) ¬®¦¥²i : (t) = y1 (t); : : : ; yn (t). ¡®° ·¨±¥«¡»²¼§ ¯¨± ¢ª®®°¤¨ ² µy;y_1(0); : : : ; y_n(0) §»¢ ¥²±¿ ª®®°¤¨ ² ¬¨ ¢¥ª²®° v ¯® ®²®¸¥¨¾ ª°¥£³«¿°»¬ ª®®°¤¨ ² ¬ yi . ª ±¢¿§ » ª®®°¤¨ ²» ¢¥ª²®° v ¯® ®²®¸¥¨¾ ª ±² ¤ °²®© ¥¢ª«¨¤®¢®© ±¨±²¥¬¥ ª®®°¤¨ ² ¨ ¯® ®²®¸¥¨¾ ª°¥£³«¿°®© ª°¨¢®«¨¥©®© ±¨±²¥¬¥ ª®®°¤¨ ²?® ²¥®°¥¬¥ ® ¤¨´´¥°¥¶¨°®¢ ¨¨ ±«®¦®© ´³ª¶¨¨, ¨¬¥¥¬@xi y_ j (0); ¨»¬¨ ±«®¢ ¬¨ x_ = J y;_x_ i (0) = @yj£¤¥ J | ¬ ²°¨¶ ª®¡¨ ª®®°¤¨ ² yi .¡®§ ·¨¬ ·¥°¥§ @yi ª ± ²¥«¼»¥ ¢¥ª²®°» ¨§ TP ± ª®®°¤¨ ² ¬¨ (x1yi ; : : : ; xnyi ),k£¤¥ ·¥°¥§ yxki ®¡®§ ·¥ · ±² ¿ ¯°®¨§¢®¤ ¿ @y@xi i.