o7 (Методички к лабам)

Московский Государственный технический университет им. Н. Э. БауманаЛ.Н.КлимовИЗМЕРЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ПАРАМЕТРОВ ПОВЕРХНОСТЕЙ ПРОЗРАЧНЫХ ТЕЛИНТЕРФЕРЕНЦИОННЫМ МЕТОДОММетодические указания к лабораторной работе О-7Под редакцией Л.К.МартинсонаИздательство МГТУ, 1991Излагается интерференционный метод измерения геометрических параметров поверхностейпрозрачных тел; сферических линз и микропузырьков воздуха в слюде.Для студентов 2-го курса всех специальностей МГТУ им. Н.Э.Баумана.Цель работы - изучение явления интерференции при отражении света от тонкого прозрачного слояоднородного и изотропного вещества.ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬЕсли выпуклую сферическую поверхность линзы привести в соприкосновение с плоскопараллельной стеклянной пластинкой и направить по нормали к пластинке пучок монохроматического света, то в свете, как в проходящем через данную систему, так и отраженном от нее, можно наблюдать интерференционную картину чередующихся концентрических светлых и темных колец.

Поимени их первого исследователя они получили название колец Ньютона.Радиусы колец Ньютона зависят от их порядкового номера, длины волны падающего света и отрадиуса кривизны выпуклой поверхности линзы, касавшейся пластинки. Чтобы установить эту зависимость, предварительно рассмотрим, каким образом при освещении параллельным пучком света прозрачной плоскопараллельной пластинки или пленки малой толщины возникает интерференция света.Будем использовать понятие оптической длины l0 пути луча (т.е.

длины пути луча в вакууме), накотором содержалось бы столько же длин волн, сколько их содержится на пути l того же луча вданной среде с абсолютным показателем преломления света n.. По определениюn=c λ 0ν λ 0==v λνλгде c и v - скорости света в вакууме и в данной среде соответственно; λ0 и λ- длины волн в вакуумеи в данной среде соответственно; ν - частота колебаний световой волны.Пусть луч света OA с длиной волны λ1, падающий на поверхность плоскопараллельной пластинкималой толщины h, имеет угол падения i и угол преломления r (рис.

1). Предположим, что пластинка имеет абсолютный показатель преломления n2, а окружающая ее однородная прозрачная среда абсолютный показатель преломления n1. Образовавшиеся отраженные лучи 1,2,3... и проходящие1’, 2’, 3’, …, будучи когерентными, могут интерферировать.

Вследствие большой потери интенсивности при каждом отражении от двух граней (для прозрачных пластинок потеря интенсивностиотраженного луча может достигать 95%) влиянием лучей 3,4..., так же как и 3’, 4’, ... на результатинтерференции можно пренебречь, т.е. можно рассматривать в отраженном свете только лучи 1 и2, а в проходящем - лучи 1’ и 2’.Допустим, что n2>n1. Тогда оптическая разность хода Δ лучей 1 и 2 (см. рис.

1) имеет вид2hn 2λ λn∆ = (AC + CB )n 2 −  AD − 1 n 2 =− n 1 AB sin i + 1 1 =cos r2 2n2hn 22hn 2λnλn1 − sin 2 r + 1 1 ==− n 1 2htgr 2 sin r + 1 1 =cos rn1cos r22λnλn2hn 1 cos r + 1 1 = 2hn 2 1 − sin 2 r + 1 1 =22(= 2hn 2 1 −)n 12λ 1n 1λ 1n 12222sinihnnsini2+=−+2122n 22(1)В случае, если n2<n1, имеемλ λn∆ =  AC + CB + 2  n 2 − ADn1 = 2h n 22 − n12 sin 2 i + 2 2 ,2 2где λ2 - длина волны света в среде с показателем преломления n2.DOin3i123(2)4BAn2hrn1C1’2’3’4’Рис.1Примечание. При отражении от оптически более плотной среды фаза световой волны изменяетсяна π.

Этот факт можно расценить либо как «потерю» полволны, либо как «приобретение» полволны в оптическом ходе отраженного луча. В начале вывода формул (1) и (2) λ1/2 имеет знак «-»(«потеря»), а λ2/2 имеет знак «+» («приобретение») для того, чтобы знак последнего члена в этихформулах оказался одинаковым.Если в формулах (1) и (2) меньший показатель преломления принять равным единице, что соответствует, как обычно, воздушной среде, а больший показатель преломления обозначить через n,то получим оптическую разность хода лучей 1 и 2 (см. рис. 1), отраженных от тонкой пластинки,окруженной воздухом:λ(3)∆ = 2h n 2 − sin 2 i + ,2а оптическую разность хода лучей 1 и 2, отраженных от тонкого плоскопараллельного слоя воздуха, заключенного между двумя толстыми прозрачными пластинами:λ(4)∆ = 2h 12 − n 2 sin 2 i +2В формулах (3) и (4) n - показатель преломления пластин; λ - длина волны света в воздухе (в формуле (1) при n1=1 λ1= λ, в формуле (2) при n2=1 λ2= λ); h - толщина тонкой пластинки (в формуле 3)(или толщина тонкого слоя воздуха) в формуле (4).Нетрудно показать для прошедших лучей 1’ и 2’ следующее: аналогично формулам (1) или (2)можно получить(5)∆' = 2h n 22 − n 12 sin 2 i ;подобно формуле (3) написать∆' = 2h n 2 − sin 2 i ;(6)аналогично формуле (4) получить(7)∆' = 2h 12 − n 2 sin 2 i .Из приведенных равенств следует, что оптическая разность хода Δ (или Δ’) является функцией i, h,n.В оптических схемах, где обеспечено постоянство i и n оптическая разность ходе может менятьсятолько за счет изменения h.

Тонкая пластинка с непараллельными гранями (например, клин) может иметь на поверхности геометрические места точек, для каждого из которых толщина пластинки будет иметь одинаковое значение h. Интерференционные полосы, соответствующие этим геометрическим местам точек, называются полосами равной толщины.В тех оптических схемах, где константами является h и n, изменения оптической разности ходамогут быть только за счет изменения угла i.Каждому значению угла падения i при всевозможныхплоскостях падения будет соответствовать интерференционная полоса, называемая полосой равного наклоне.В общем случае, когда i, h, n не являются константами, наблюдаются интерференционные полосысмешанного типа.Пусть выпуклая поверхность радиуса кривизны R1 линзы Л1, касается плоской поверхности стеклянной пластинки П (рис. 2).

Образование колец Ньютона при нормальном падении света длинойволны λ на тонкий слой воздуха между линзой и пластинкой можно приближенно объяснить наосновании формул (4) или (7).λR1Л1rПhРис.2Поскольку картина колец Ньютона в отраженных лучах более контрастна чем в проходящих наблюдение колец в данной работе производят в отраженном свете. Их образование в этом случаеможно объяснить с помощью уравнения (4).При большом радиусе кривизны R1 можно приближенно считать, что пучок света, падающий нормально к поверхности линзы в точке ее касания с плоскостью стекла, будет нормален и в другихточках этой поверхности, близких к точке касания. Поэтому, полагая в формуле (4) i=0, получимλ(8)2Это выражение при переменном значении h может быть условием образования интерференционных полос равной толщины в отраженном свете.

В данной установке (см. рис. 2) определеннойтолщине h воздушного слоя будет соответствовать геометрическое место точек на сферическойповерхности линзы - окружность радиуса r. В зависимости от h оптическая разность хода Δ можетсодержать четное или нечетное число полуволн, а это приводит к появлению в отраженных лучахлибо интерференционного максимума (т.е. светлого кольца), либо минимума (т.е.

темного кольца)соответственно. Очевидно, чтоλ(9)∆ = 2h + = kλ (где k=1, 2, 3 …)2есть условие образования светлого кольца Ньютона в отраженных лучах (условие максимума) иλλ(10)∆ = 2h + = ( 2k + 1) или 2h=kλ (где k=0, 1, 2, 3, …)22есть условие образования темного кольца Ньютона в отраженных лучах (условие минимума).На основании примечания к формулам (1) и (2) вместо (9) можно использовать равноценное условиеλ(11)∆ = 2h − = (k − 1)λ (где k=1, 2, …) (max),2а вместо (10) - условиеλλ(12)∆ = 2h − = (2k − 1) или 2h=kλ (где k=0, 1, 2, …) (min).22Правые части уравнений (11) и (12) написаны в таком виде для того, чтобы число k являлось номером кольца, так же как в (9) и (10).Из условия (10) или (12) следует, что в отраженном свете в центре колец Ньютона (k= 0) наблюдатель увидит темное пятно.Если бы между линзой и стеклянной пластинкой вместо воздуха находилась жидкость, а их абсолютными показателями преломления были бы nЛ, nЖ, nП соответственно, то в отраженном свете вцентре колец Ньютона при nЛ > nЖ < nП (или при nЛ < nЖ > nП) наблюдалось бы темное пятое, апри nЛ > nЖ > nП (или при nЛ < nЖ < nП) - светлое пятно (в проходящем свете эти же условия дадутобратный результат).

К этим выводам можно прийти, если: 1) допустить, что в точке касания линзы и пластинки прослойка воздуха (или жидкости) имеет толщину h<<λ/2, но не равную нулю; 2)выяснить, на какой из границ раздела сред «теряется» полволны в каждом случае.Из рис. 2 видно, что R1, r и h связаны соотношением2R 1 − h r(13)=rhПренебрегая h по сравнению с 2R1, получим 2R1/r=r/h илиr2(14)R1 =2hИспользуя условие максимума (9) или (11), получим формулы для определения радиуса R1 кривизны выпуклой поверхности линзы по радиусу r светлого кольца в отраженных лучах (или по егодиаметру d=2r)r2d2R1 =,=(15)11 k − λ 4 k − λ22где k - номер светлого кольца; λ - длина световой волны. Используя условие минимума (10) или(12), получим формулу для определения радиуса R1 кривизны выпуклой поверхности линзы порадиусу r темного кольца в отраженных лучах (или по его диаметру d=2r)∆ = 2h +r2d2(16)=kλ 4kλгде k - номер темного кольца; λ - длина световой волны.При проведении эксперимента рекомендуется измерять диаметры темных колец Ньютона.

Изуравнения (16) видно, что d2 есть линейная функция номера k темного кольца:(17)d 2 = 4λ R 1k = C1 kгде(18)С1= 4λR1Коэффициент пропорциональности С1, можно найти, построив график линейной зависимостиd2=f(k) по полученным из опыта значениям d2 и k для первых четырех темных колец Ньютона (приk>4 нарушается условие i= 0 и зависимость d2=f(k) уже отличается от линейной).Таким образом, радиус кривизны R1 выпуклой поверхности линзы определяется равенствомC(19)R1 = 14λЕсли необходимо найти радиус кривизны R2 вогнутой поверхности линзы Л2, то для этого на еевогнутую поверхность помещают выпуклую линзу Л1, имеющую известный радиус кривизны выпуклой поверхности R1, меньший, чем R2 (рис.

3).R1 =λR2R1Л1h’hЛ2h’’Рис. 3В этом случае аналогично формуле (13) можно написать формулы2R 1 − h' r 2R 2 − h' ' r= ;=rh'rh' 'где r - радиус кольца Ньютона в том месте воздушной прослойки между линзами Л1 и Л2, где еетолщина равна h=h’-h’’ (см. рис. 3). Пренебрегая h’ по сравнению с 2R1, и h’’ по сравнению с 2R2,имеем2R 1 r 2R 2r= ;=rh'rh' 'Следовательно,h' =r2r2; h' ' =2R 12R 2откудаr2  11 (20)h'−h' ' =−2  R1 R 2 Если r - радиус темного кольца, то на основании (10) или (12) имеем(21)2(h'−h' ') = kλИз (20) и (21) следует, чтоkλ11(22)−= 2R1 R 2 rили114kλ(23)−= 2R1 R 2dгде d - диаметр темного кольца Ньютона (d=2r).Примечание.