В.Б. Андреев - Численные методы, страница 32
Описание файла
PDF-файл из архива "В.Б. Андреев - Численные методы", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "введение в численные методы" из 3 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст 32 страницы из PDF
áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî óðàâíåíèÿ (22.4) è íà÷àëüíûåóñëîâèÿ (22.6) è (22.11) çàäàíû äëÿ âñåõ i ∈ Z. Èìåííî, áóäåì ðàññìàòðèâàòü ñëåäóþùóþ çàäà÷óuht̄t,i = σûhx̄x,i + (1 − 2σ)uhx̄x,i + σǔhx̄x,i , i ∈ Z,101+ ū¯i ,uhi 0 = ūi , uht,i0 = τ σuhx̄x,i+ τ ( − σ)uhx̄x,i2(22.12)i ∈ Z.(22.13)Òåîðåìà 22.2. Åñëè ïàðàìåòð σ çàäà÷è (22.12), (22.13) íåîòðèöàòåëåí è óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþh21(22.14)σ > − 2,4 4τòî äëÿ ðåøåíèÿ ýòîé çàäà÷è ñïðàâåäëèâà àïðèîðíàÿ îöåíêàkuh j kLh2 6 kūkLh2 + T kū¯kLh2 .(22.15)252 22. ÐÀÇÍÎÑÒÍÛÅ ÑÕÅÌÛ ÄËß ÓÐÀÂÍÅÍÈß ÊÎËÅÁÀÍÈÉ ÑÒÐÓÍÛÄîêàçàòåëüñòâî. Ñäåëàåì ñåòî÷íîå ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå (22.12), (22.13).
Äëÿîáðàçà Ôóðüå ũj (ξ) ðåøåíèÿ uhi j ïîëó÷èì çàäà÷ó4 sin2 2ξˇ = 0,ũt̄t +[σ ũˆ + (1 − 2σ)ũ + σ ũ]h2¶ ¸·µ4τ sin2 2ξ1001ēũ = ū˜, ũt +− σ ũ0 = ū.σũ +2h2(22.16)Óìíîæèì òåïåðü óðàâíåíèå (22.16) íà τ 2 è ïåðåïèøåì â ïîòî÷å÷íîì âèäåũj+1 − 2ũj + ũj−1 +4τ 2ξsin2 [σũj+1 + (1 − 2σ)ũj + σũj−1 ] = 0.2h2Ââåäåì îáîçíà÷åíèå2τξsin = λh2è íàïèøåì õàðàêòåðèñòè÷åñêîå óðàâíåíèå ðàçíîñòíîãî óðàâíåíèÿµµ¶ ¶12 2(1 + σλ )q − 2 1 + σ −λ2 q + (1 + σλ2 ) = 02èëèq2 − 2(22.17)1 + (σ − 1/2)λ2q + 1 = 0.1 + σλ2Îòñþäà íàõîäèì êîðíèp[1 + (σ − 1/2)λ2 + 1 + σλ2 ][1 + (σ − 1/2)λ2 − 1 − σλ2 ]1 + (σ − 1/2)λ2q1,2 =±=21 + σλ21+σλp1 + (σ − 1/2)λ2 ± [1 + (σ − 1/4)λ2 ](−λ2 )=.1 + σλ2(22.18)Åñë赶11+ σ−λ2 > 0,4òî êîðíè q1 è q2 áóäóò êîìïëåêñíûìè è ðàâíûìè ïî ìîäóëþ 1.
Åñëè æ嵶11+ σ−λ2 = 0,4òîq1,2è ñíîâà |q1,2 | = 1.Âûÿñíèì, êîãäà1 + (σ − 1/2)λ2−1/4 λ2=== −11 + σλ21/4 λ2µ11+ σ−4¶λ2 > 0,22.2. ÓÑÒÎÉ×ÈÂÎÑÒÜ ÏÎ ÍÀ×ÀËÜÍÛÌ ÄÀÍÍÛÌ253èëè, ÷òî òî æå ñàìîå,1.λ2Ýòî íåðàâåíñòâî áóäåò âûïîëíåíî ïðè âñåõ ξ ∈ (0, 2π], åñëè (ñì. (22.17))(1/4 − σ) 611h2− σ 6 min 2 = 2 .ξ4λ4τÍî ýòî óñëîâèå ñîâïàäàåò ñ óñëîâèåì (22.14) òåîðåìû 22.2, è, ñëåäîâàòåëüíî, |q1,2 | = 1.Ââåäåì îáîçíà÷åíèåq1,2 = e±iϕ(ξ) = cos ϕ ± i sin ϕ,ãäå, ñîãëàñíî (22.18),1 + (σ − 1/2)λ2cos ϕ =,1 + σλ2sin ϕ =|λ|p1 + (σ − 1/4)λ2,1 + σλ2(22.19)è íàéäåì ðåøåíèå çàäà÷è (22.16). Îáùåå ðåøåíèå ðàçíîñòíîãî óðàâíåíèÿ (22.16) åñòüũj = c1 cos jϕ + c2 sin jϕ.Ïðè j = 0ēũ0 = c1 = u,à ïðè j = 1ũ1 = c1 cos ϕ + c2 sin ϕ.Èç âûøåñêàçàííîãî ñëåäóåò, ÷òîē cos ϕũ1 − uc2 =.sin ϕÄàëåå, èç âòîðîãî íà÷àëüíîãî óñëîâèÿ (22.16)µµ¶ ¶112ēũ (1 + σλ ) = 1 + σ −λ2 ũ0 + τ ū,2è, ñëåäîâàòåëüíî,ũ1 =ē1 + (σ − 1/2)λ2 0τ ūũ+,1 + σλ21 + σλ2à ñ ó÷åòîì (22.19)ēτ ū.1 + σλ2Ïîäñòàâëÿÿ ýòî çíà÷åíèå ũ1 â (22.20), íàéäåì, ÷òîē +ũ1 = cos ϕ uc2 =ēτ ū.(1 + σλ2 ) sin ϕ(22.20)254 22.
ÐÀÇÍÎÑÒÍÛÅ ÑÕÅÌÛ ÄËß ÓÐÀÂÍÅÍÈß ÊÎËÅÁÀÍÈÉ ÑÒÐÓÍÛÎêîí÷àòåëüíî äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è (22.16) ïîëó÷àåì ïðåäñòàâëåíèåē cos jϕ + τũj = uēūsin jϕ.1 + σλ2 sin ϕ(22.21)×òîáû îöåíèòü ïðàâóþ ÷àñòü (22.21), íàì ïîòðåáóåòñÿËåììà 22.1. Ïðè n ∈ N| sin(nϕ)/ sin ϕ| 6 n.Äîêàçàòåëüñòâî. Èìååì¯ inϕ¯ e − e−inϕ¯¯ eiϕ − e−iϕ¯ ¯ 2inϕ¯ ¯e− 1 eiϕ¯=¯¯ ¯ e2iϕ − 1 einϕ¯ ¯ 2inϕ¯ ¯e−1¯=¯¯ ¯ e2iϕ − 1¯¯ ¯ 2i(n−1)ϕ¯¯=¯ e+ e2i(n−2)ϕ + · · · + 1 ¯6 n.¯Ëåììà äîêàçàíà.Èñïîëüçóÿ ëåììó 22.1, èç (22.21) íàõîäèì, ÷òîē 6 |u|ēē + τ j|ū|ē + T |ū|.|ũj | 6 |u|Îòñþäàē L (0,2π) ,ē L2 (0,2π) + T kūkkũj kL2 (0,2π) 6 kuk2à ñ ó÷åòîì ðàâåíñòâà Ïàðñåâàëÿkuj kLh2 6 kūkLh2 + T kū¯kLh2 .Òåîðåìà äîêàçàíà.Ñëåäñòâèå 3.
Ïðè σ > 1/4 óñëîâèå (22.14) âûïîëíåíî, è îöåíêà (22.15) ðåøåíèÿèìååò ìåñòî äëÿ ëþáûõ h è τ . Ïðè σ = 0 (ÿâíàÿ ñõåìà) óñëîâèå (22.14) âûïîëíåíî,åñëè τ 6 h, è ïîýòîìó îöåíêà (22.15) èìååò ìåñòî òîëüêî ïðè óêàçàííîì ñîîòíîøåíèèìåæäó τ è h..
