Elasticity (Лекции в PDF), страница 3

Уравнения состояния несжимаемого упругого материала.Уравнения состояния получены в предположении, что величины dεij , ds, dχi линейно независимы.Для несжимаемого материала имеется дополнительная связьgij dεij = 0′В этом случае, если ввести множители Лагранжа l и l получим равенства∂Uijijp = −lg + ρ∂εijили′ijijp = −l g + ρ∂F∂εij1.12.

Закон Гука с учетом температурных напряжений.Свободная энергия единицы объема в случае малых относительных смещений и малыхизменений температуры. Рассмотрим упругое тело, в котором компоненты тензора деформацийεij и относительные смещения wi малы, а в качестве начального состояния, отвечающего метрике0 выбрано состояние, которое может быть реально осуществлено, т.е.

существуют перемещения изgijначального состояния в актуальное деформированное состояние.Пусть лагранжева система координат ξ i в начальном состоянии выбрана совпадающей с системойотсчета. Тогда координаты xi точек среды в деформированном состоянии представляются в видеxi = ξ i + ∆i (ξ k , t)iпричем ∆i , ∂∆малы так как относительные смещения малы. В этом случае компоненты всех∂ξ kтензоров в лагранжевой системе координат и в системе отсчета отличаются на малыевысшего порядка по сравнению с величиной самих компонент.Еслиεij ≪ 1, T = T0 + ∆T, ∆T ≪ T0то разлагая свободную энергию единицы объема функцию Φ в ряд до членов второго порядка получим∂Φ∂Φ1∂2ΦΦ = Φ0 +εij +(T − T0 ) +εij εkl +∂εij 0∂T 02 ∂εij ∂εkl 0∂2Φ∂εij ∂T1εij (T − T0 ) +20∂2Φ∂T 20(T − T0 )2 + . .

.Если начальное состояние выбрано так, что в этом состоянии напряжения равны нулю pij = 0, приεij = 0, и T = T0 , то∂Φ=0∂εij 0Кроме того,ОбозначимijklA=∂2Φ∂εij ∂εkl,∂Φ∂TBij0= −ρ0 s0=0∂2Φ∂εij ∂T,0c=∂2Φ∂T 20Оставляя малые второго порядка получим следующие выражения для свободной энергии1cΦ = Φ0 − ρ0 s0 (T − T0 ) + Aijkl εij εkl + B ij εij (T − T0 ) − ρ0(T − T0 )2 + . . .22T010Чтобы задать конкретную модель термоупругого тела с малыми εij и ∆T нужно задать численныезначения констант Aijkl , B ij и с.Из определения Aijkl видно, что эти величины симметричны по i, j и по k, l, а также не меняютсяпри замене i, j на k, l.

Поэтому число различных Aijkl не может быть больше 21.Величины B ij также симметричны, их максимальное число равно 6.Следовательно в линейной термоэластике произвольное анизотропное тело характеризуется 28 константами Aijkl , B ij , c.В случае изотропного упругого тела для получения более конкретного вида свободной энергии можно воспользоваться тем, что функция Φ может зависеть только от инвариантов тензора деформаций.Вводя подходящие обозначения для инвариантов ее можно представить в видеΦ=1λ1 I12 + µ1 I2 − (3λ1 + 2µ1 )αI1 (T − T0 ) − f (T ),2I2 = εij εijЗакон Гука с учетом температурных напряжений. Таким образом имеемpij =∂Φ= λ1 I1 gij + 2µ1 εij − (3λ1 + 2µ1 )α(T − T0 )gij∂εijДля плотности энтропии s имеемs=−1 ∂Φ11 ′= (3λ1 + 2µ1 )αI1 (T − T0 ) + f (T )ρ0 ∂Tρ0ρ0Выражающие закон Гука формулы легко разрешаются относительно компонент тензора деформаций1εij = [(1 + σ)pij − σP gij ] + α(T − T0 )gijEгде P = pij gij – первый инвариант тензора напряжений, E–модуль Юнга, σ –коэффициент Пуассона.Если напряжения равны нулю (pij = 0), то из этих соотношений видно, что деформации εij могутбыть отличны от нуля за счет изменения температуры.В этом случае тензор деформаций получается шаровым и в декартовых координатах будем иметьε11 = α(T − T0 ),ε22 = α(T − T0 ),ε33 = α(T − T0 ),εij = 0 при i 6= jСледовательно, коэффициент α представляет собой коэффициент линейного расширения материала.11.