Elasticity (Лекции в PDF), страница 2

Потенциал напряжений.Если деформации бесконечно малы, то уравнения состояния с точностью до малых высшего порядкаможно написать в виде∂Φ∂F=,pij = ρ0∂εij∂εijгде ρ0 – начальная плотность, Φ = ρ0 F – свободная энергия единицы объема.Следовательно, в случае малых деформаций напряжения имеют потенциал.Для плотности энтропии s имеем1 ∂Φs=−ρ0 ∂T1.6. Постановка задач в теории упругости.Статические и динамические задачи теории упругости.В статических задачах требуетсянайти распределение перемещений и напряжений внутри упругого тела, находящегося в равновесиипод действием заданной системы внешних сил или других заданных внешних условиях.В теории упругости рассматриваются и динамические задачи, например, о колебании упругих тел.При постановке динамических задач уравнения равновесия нужно заменить уравнениями движения –~ на ρ0 (F~ − ~a)).добавить силы инерции (заменить ρ0 F5Tипичные статические задачи.• I.

На всей поверхности тела заданы перемещения, требуется найти перемещения внутри тела инапряжения внутри тела и на границе.• II. На всей поверхности тела заданы поверхностные силы. Требуется найти напряжения внутритела и перемещения всех его точек, в том числе и перемещения точек границы.• III. На части границы заданы перемещения, а на части границы заданы внешние силы.Отметим, что в задачах упругости поверхность деформируемого твердого тела, вообще говоря, заранее неизвестна и должна быть найдена в процессе решения.

Однако, в линейной теории упругости,предполагается, что деформируемая поверхность мало отличается от недеформируемой поверхности.В этом случае считается, что граничные условия должны выполняться на недеформируемой –известной поверхности.При решении задач теории упругости можно использовать различные эквивалентные системы уравнений. Они представляют собой записанные в разных формах уравнения импульсов, закон Гукаи уравнения совместности. К этим уравнениям в случае необходимости добавляется уравнениенеразрывности и уравнение притока тепла.Постановка задач в перемещениях.

Если на границе заданы перемещения, удобно в качестве основных уравнений брать уравнения Ламе. С учетом температурных напряжений эти уравнения можнозаписать в видеρ0∂2w~= ρ0 F~ + (λ1 + µ1 )grad div w~ + µ1 ∆ w~ − (3λ1 + 2µ1 )α gradT2∂tЕсли известны объемные силы и температура как функции координат и на границе заданы перемещения, то из этого уравнения с известными начальными данными можно найти перемещения внутренних точек тела.

C помощью закона Гука находятся напряжения. Уравнения совместностидеформаций при такой постановке выполняются автоматически, так как формулы выражающиедеформации через перемещения представляют собой общее решение уравнений совместности.Постановка задач в напряжениях. В этом случае используются уравнения равновесия в напряжениях:ρ0 F i + ∇j pij = 0.Они содержат шесть компонент тензора напряжений и составляют незамкнутую систему.Статически определимые задачи.

В некоторых случаях, например, из симметрии задачи, можнозаранее заключить, что в уравнения входят только три независимые компоненты тензора напряжений,а остальные известны или равны нулю. Если на границе известны напряжения p~n , то в этом случаеможно найти напряжения, пользуясь только уравнениями равновесия.Такие задачи называются статически определимыми.В общем случае имеем незамкнутую систему уравнений равновесия.Уравнения Бельтрами—Мичелла. С помощью закона Гука из уравнений совместности деформаций можно получить дополнительные уравнения– уравнения Бельтрами—Мичелла, которым должныудовлетворять компоненты тензора напряжений.∆pij +1σαEαE∇i ∇j P +div ρ0 F~ gij + ∇i ρ0 Fj + ∇j ρ0 Fi +∇i ∇j T + +∆T gij = 01+σ1−σ1+σ1−σ6Если объемные силы и температура постоянны, то уравнения Бельтрами-Мичела будут∆pij +1∇i ∇j P = 01+σЗдесь первый инвариант тензора напряжений P = gkl pkl .Умножая это уравнение на gij и суммируя по i и по j получим∆P = 0Следовательно∆∆pij = 0Таким образом, каждая из компонент тензора напряжений в рассматриваемом случае прииспользовании ортогональных декартовых систем координат являетcя бигармонической функцией.Первый инвариант тензора напряжений является гармонической функцией.1.7.

Суперпозиция решений – решение.Вследствие того, что в линейной теории упругости уравнения и граничные условия линейны, можноиспользовать принцип суперпозиции для получения новых решений из ранее найденных.Пусть имеются два решения: w~ I , pij~ II , pijII , описывающие напряженно – деформированное соI и w~I и F~II при следующихстояние одного и того же тела при действии на него внешних массовых сил Fусловиях на границе тела Σ = Σ1 + Σ2p~nI = pn1на Σ1 , w~I = w~1на Σ2~nII = pn2pна Σ1 , w~I = w~2на Σ2Тогдаijpij = pijI + pIIw~ =w~I + w~ II ,дают решение задачи о перемещениях и напряжениях в этом теле под действием массовых сил~I + F~IIF~ = Fпри заданных поверхностных силах~n = ~pnI + p~nIIpна части границы Σ1 и при заданных перемещенияхw~ =w~I + w~ IIна части границы Σ21.8. Уравнение Клайперона.Уравнение принципа возможных перемещений. Запишем уравнения равновесия в декартовойсистеме координат∂pijρ0 F i +=0∂xjУмножим их на соответствующие компоненты вектора перемещений w~ρ0 F i wi +∂pij wi∂wi− pij j = 0j∂x∂xВ случае симметричного тензора напряжений (pij = pji ) последний член этого уравнения можнопреобразовать следующим образом1ij ∂wiij ∂wiji ∂wjp=p+p= pij εij∂xj2∂xj∂xi7где1εij =2∂wi ∂wj+∂xj∂xiПроинтегрировав по всему объему V , воспользовавшись теоремой Гаусса–Остроградского и тем,чтоpij wi nj dσ = (~pn )i wi dσполучимZ~ · wdτρ0 F~ +VZp~n · wdσ~=Zpij εij dτVΣЭто равенство, когда w~ –мыслимое бесконечно малое смещение можно рассматривать как уравнениепринципа возможных перемещений.Уравнение Клайперона.

Для малых деформаций можно ввести свободную энергию единицы объема Φ = ρ0 F так, что∂Φpij =∂εijТогда имеем уравнение КлайперонаZZZ∂Φ~ρ0 F · wdτ~ + p~n · wdσ~= εijdτ∂εijVVΣЕсли тело подчиняется закону Гука, то в случае изотермических процессов Φ можно считатьоднородной квадратичной формой εijΦ = Aijkl εij εkl + constВ случае изотропного тела отбрасывая несущественную постоянную имеемΦ=1λ1 I12 + µ1 I22По теореме об однородных функциях получимεij∂Φ= 2Φ∂εijСледовательно, равенство Клайперона можно записать в видеZZ~ρ0 F · wdτ~ + p~n · wdσ~= 2˘VΣгде ˘ – полная свободная энергия тела в целом.1.9. Теорема о единственности решения статических задач теории упругости.При решении многих задач теории упругости, значения неизвестных величин частично подбираются из каких–либо интуитивных или опытных соображений, а частично определяются из основныхуравнений.

В связи с этим требуется исключить существование других решений. В общем случае единственности решений задач теории упругости нет. Например, стержень под нагрузкой может изогнутьсяпри больших приложенных силах, а при малых нет.В случае малых относительных перемещений можно доказать теорему о единственности решенийзадач теории упругости.8Теорема.

Решения статических задач теории упругости единственны в случае T = T0 и в предположениях, что среда подчиняется закону Гука, а относительные перемещения однозначны, непрерывныи малы.Доказательство:Допустим поставленная задача имеет два решения:w~ I , εIij , pIijиIIw~ II , εIIij , pij .Рассмотрим разностиw~ =w~I − w~ II ,εij = εIij − εIIij ,pij = pIij − pIIij .Если первое и второе решения, согласно сделанному допущению о существовании двух решенийзадачи, соответствуют одинаковым граничным условиям и массовым силам, то введенные разностиявляются решением, соответствующим заданным нулевым граничным значениям поверхностных сил иперемещений и отсутствию внешних массовых сил. Поэтому применив равенство Клайперона получим˘ = 0.В силу положительной определенности квадратичной формы ˘ в случае изотермических процессовв изотропной среде отсюда следует, чтоεij = 0,а из закона Гука, чтоpij = 0.Если εij = 0, то перемещения w~ могут представлять собой только перемещения упругого телакак абсолютно твердого.

Если при формулировке задачи используются одни и те же предположения,исключающие такие перемещения, то и w~ = 0.Таким образомw~I = w~ II , εIij = εIIpIij = pIIij ,ij ,и единственность решения задач типа I, II, III доказана.1.10. Принцип Сен–Венана.Если в некоторой области внутри или на поверхности тела, малой по сравнению с основными размерами тела, на него действует система массовых или поверхностных сил и тело находится в равновесии,то в областях удаленных от места приложения этих сил, деформированное состояние определяется восновном только главным вектором и главным моментом этих сил и приближенно не зависит от детального характера распределения этих сил.

Влияние деталей распределения сил практически сказывается,только в непосредственной окрестности области их приложения.Принцип Сен–Венана позволяет получать приближенные решения различных задачтеории упругости с помощью решения аналогичных задач для частных распределенийдействующих сил.Он подтверждается множеством опытных данных и подкреплен многими численными расчетамина частных примерах.Принцип Сен–Венана вытекает из следующего общего свойства решений задач теории упругости.Если в какой–либо малой части части тела А приложена статически уравновешенная система сил, тоона вызывает в нем напряжения очень быстро убывающие по мере удаления от А.Пример: проволока зажатая в тисках.91.11.