Elasticity (Лекции в PDF)

1. Упругое тело.План: 1. Упругое тело. Определение. Замечание об используемых системах координат.2. Закон Гука.3. Уравнения движения в перемещениях для упругого тела в случае малых деформаций– УравненияЛаме. Случаи замкнутых систем уравнений.4. Основные уравнения теории упругости. Уравнения состояния.5. О потенциале напряжений.6. Закон Гука с учетом температурных напряжений.7. О постановке задач теории упругости.8.

Суперпозиция решений.9. Уравнение Клайперона.10. Теорема о единственности решения статических задач теории упругости.11. Принцип Сен – Венана.1.1. Определение.Упругие и пластические деформации. Если по прекращению действия вызвавших деформацию внешних сил тело возвращается в исходное недеформированное состояние, то такие деформацииназывают упругими. Как следует из опыта,обычно так бывает при достаточно малых деформациях(Пример: мяч).При больших деформациях прекращение действия внешних сил не приводит к полному исчезновению деформации, – остается, как говорят некоторая остаточная деформация, так что состояние телаотличается от того, в каком оно находилось до приложения к нему сил. Такие деформации называютсяпластическими(Пример: пластилин).На этой лекции мы будем рассматривать упругие деформации.Упругим телом называется среда, в которой• компоненты тензора напряжений в каждой частице являются функциями компонент тензорадеформаций εkl , компонент метрического тензора gmn , температуры T и, возможно, другихпараметров физико–химической природы χn :pij = f ij (εkl , gmn , T, χ1 , .

. . , χn )Характерным свойством модели упругого тела является предположении о независимости метрикиначального пространства от времени.• Вторым главным признаком по которому теория упругости выделяется из других теорий деформируемых твердых тел (теории пластичности, теории ползучести), является тот, что непрерывныепроцессы деформирования упругих тел являются обратимыми.При этом, предполагается, что процесс деформирования совершается настолько медленно, что вкаждый момент времени в теле успевает установится состояние термодинамического равновесия, соответствующее тем внешним условиям, в которых тело в данный момент времени находится. Такимобразом принимается, что для малых частиц упругого тела можно ввести температуру.Замечание об используемых системах координат.В задачах теории упругости, как правило, требуется найти смещение индивидуальных частиц среды, например изменение внешних границ"твердого тела". Поэтому в задачах теории упругости обычно используют точку зрения Лагранжаи лагранжеву систему координат.

Вообще можно применять начальную и актуальную лагранжевысистемы координат.1Уравнения составляются для состояния среды в определенный актуальный момент времени. Поэтому как уравнения импульсов для сплошной среды, так и получившиеся на их основе уравненияЛаме в компонентах, соответствующих лагранжевой актуальной системе координат, имеют такой жевид как в системе отсчета. Так как начальное и актуальное пространство отличаются метриками из–за деформаций, то при переходе от актуальной системы координат к начальной лагранжевой системекоординат уравнения в компонентах изменяют свой вид. Это связано с тем, что формулы перехода несовпадают с обычными формулами преобразования компонент тензоров от одной системы координат кдругой в одном и том же пространстве. Однако, если деформации и перемещения малы, то начальнаяи актуальная системы координат отличаются мало, и с точностью до малых первого порядка можносчитать , что уравнения в компонентах в этих системах координат совпадают.Использование начальной лагранжевой системы координат может оказаться более удобным, чем использование актуальной системы координат, так как при применении актуальной системыкоординат надо определять еще ее положение по отношению к системе отсчета.В дальнейшем величины относящиеся к начальному пространству будем помечать индексом нольсверху.1.2.

Закон Гука.Нелинейно упругое тело. Конкретный вид функций f ij может быть различным для различныхматериалов. Будем вначале считать, что температура не меняется. Рассмотрим вначале зависимостьf ij от εkl и gmn . В общем случае имеем нелинейную зависимость и нелинейно упругое тело.Линейно упругое тело. Опыт показывает, что напряжения и деформации во многих твердых телах,например, в металлах при обычных условиях ( при не очень больших температурах, напряжениях идеформациях) связаны между собой линейно законом Гука.Он следует из следующих соображений.

Предположим, что функции f ij могут быть разложены вряд Тейлора по εkl и что в отсутствии напряжений (pij = 0) деформации также отсутствуют (εkl = 0),и наоборот. Если деформации малы, то в этом разложении в ряд можно сохранить только линейныечлены.pij = Aijkl εklПолученные соотношения называются обобщенным законом Гука, а тела, при деформированиикоторых напряжения и деформации связаны таким образом линейно упругими телами.Из инвариантности относительно выбора системы координат полученного соотношения следует, чтоijklAявляются компонентами тензора четвертого ранга. Из свойств симметрии тензоров напряженийи деформаций следует, что независимых компонент Aijkl всего 36.Для изотропных и гиротропных тел только две компоненты являются независимыми.

Поэтомузакон Гука для изотропной среды может быть записан в видеpij = λ1 I1 (ε)gij + 2µ1 εij = λ1 I1 (ε)gij + 2µ1 gik gjl εklВ декартовой системе координат закон Гука запишетсяpij = λ1 εkk + 2µ1 εijВместо коэффициентов Ламе λ1 и µ в теории упругости принято вводить модуль ЮнгаE = µ1(3λ1 + 2µ1 )(λ1 + µ1 )и коэффициент Пуассонаσ=λ12(λ1 + µ1 )При одноосном растяжении эти модули служат коэффициентами в соотношенияхp11 = Eε11 ,p22 = p33 = −σε1121.3. Уравнения движения в перемещениях для упругого тела в случае малыхдеформаций– Уравнения Ламе.В случае малых деформаций подставив закон Гукаpij = λ1 I1 (ε)gij + 2µ1 εijв уравнения движенияρak = ρF k + ∇i pkiс учетом выражений для тензора деформаций через вектор перемещений1εij = (∇j wi + ∇i wj ),2iгде w – компоненты вектора перемещения;получим уравнения ЛамеI1 (ε) = ∇i wid2 w~~ + (λ1 + µ1 )grad div w= ρF~ + µ1 ∆ w~2dtУравнения Ламе получены в предположении, что деформации малы, в частности, мало изменениеплотности:′′ρ = ρ0 + ρ0 , ρ ≪ ρ0ρПоэтому в этих уравнениях с точностью до малых первого порядка можно писать ρ0 вместо ρ.Уравнение неразрывности в теории упругости с малыми деформациями можно не рассматривать.′Оно входит для определения ρ , которое не входит в уравнения Ламе.В случае, когда малы не только деформации, но и сами перемещения, скорости и ускорения∂2w~d2 w~=22dt∂tи уравнения принимают видρ0∂2w~= ρ0 F~ + (λ1 + µ1 )grad div w~ + µ1 ∆ w~∂t21.4.

Основные уравнения теории упругости.Выпишем основные уравнения механики для упругой среды.В этом случае имеем:• уравнение неразрывности (уравнение для определения плотности)p√ρ g = ρ0 g0 ,• уравнения импульсовρak = ρF k + ∇i pki ,0 не зависит от времени, а тензор напряженийБудем считать, что метрика начального состояния gijсимметричен. Тогдаdεijeij =,dtи• уравнение притока тепла, с учетом второго закона термодинамики будетpijdεij + T ds,ρили для свободной энергии F = U − T sdU =dF =pijdεij − sdT,ρ3при dq ∗∗ = 0,при dq ∗∗ = 0,Замечание. При учете усложненного поверхностного или объемного взаимодействия выделенной частицы среды соседними частицами той же среды появляется возможность вводить dq ∗∗ 6= 0даже при отсутствии взаимодействия данной среды с какими–либо другими внешними объектами.Однако, при основных предположениях теории упругости, перечисленных выше, можно считатьdq ∗∗ = 0.• уравнение моментов в классическом случае сводится к симметрии тензора напряженийpij = pji .• Определяя модель упругой среды нужно задать плотность внутренней энергии U или свободнуюэнергию F .

Их задание связано с установлением модели, отделением рассматриваемой среды отвнешних объектов.0U = (s, gij, εij , χi ),0при F = (T, gij, εij , χi )Здесь χi – некоторые физические переменные, характеризующие физико–химические свойствасреды. Например, с их помощью можно задавать свойства симметрии кристаллов и т.п.Задав внутреннюю энергию U или свободную энергию F используя уравнение притока теплаполучим общие уравнения состояния для упругой среды.Действительно,∂U∂U∂Upijdεij +ds +dχk =dεij + T ds∂εij∂s∂χkρАналогичное соотношение получается если задана свободная энергия F :∂F∂F∂Fpijdεij +dT +dχk =dεij − sdT.∂εij∂T∂χkρИзменяя систему внешних сил, величину притока тепла, условия на границе и другие внешниеусловия, можно осуществить бесконечное число различных процессов, в которых для данной0 , ε , s, χ , pij , T, ρ – одни и те же, а прирамалой частицы в данный момент времени величины gijijiщения dεij , ds или dT и dχi различны.

Если существуют система независимых приращений0 , ε , χ , s (илиdεij , ds или dT иdχi , то при дополнительном условии, что pij зависят только от gijijkи что dq ∗∗ = 0 получим• уравнения состояния упругой среды.∂Uijp =ρ,∂εij s,χkT =∂U∂s,εij ,χk∂F∂Fp =ρ,s = −,∂εij T,χk∂T εij ,χk∂U∂F= 0,=0∂χk εij ,s∂χk εij ,TijВыражения для компонент тензора напряжений здесь представляют собой соотношения, обобщающие закон Гука на случай учета нелинейных эффектов, влияния температуры ивозможного присутствия переменных физических параметров χi .Полученные соотношения вместе с уравнением неразрывности, уравнениями движения и4T ),• уравнением энергии, которое в данном случае может быть записано в виде∂U∂Fdq =ds или dq = −T d∂s∂Tобразуют замкнутую систему уравнений для описания различных процессов в упругом теле если• добавить к ним соотношения, связывающие скорости и деформации с перемещениями.Для статических задач и задач теории упругости в напряжениях используются уравнения совместности деформаций.

В случае малых деформаций они будут∂ 2 εµj∂ 2 εµi∂ 2 ενj∂ 2 ενi+−−= 0.∂ξ j ∂ξ µ ∂ξ i ∂ξ ν∂ξ j ∂ξ ν∂ξ i ∂ξ µЗамечание. Для адиабатических процессов удобно пользоваться группой соотношений, кудавходит внутренняя энергия U . Для изотермических процессов удобнее пользоваться соотношениями, в которые входит свободная энергия F . В этом случае температура известна и постоянна.Соотношение•s=−∂F∂T,εij ,χkслужит для вычисления энтропии, а соотношениеdq = −T d∂F∂T–для вычисления dq необходимого для поддержания изотермического процесса.1.5.