Break (Лекции в PDF), страница 3

Еслиvn2 − vn1 > 0,то в этой системе отсчетаvn2 > 0и среда за скачком S набегает на покоящуюся среду перед скачком. Из закона сохранения массы следуетρ2 > ρ1то есть плотность за скачком возрастает. Такие скачки называются скачками уплотнения.Скачки разрежения.Еслиvn2 − vn1 < 0,то в этой системе отсчетаvn2 < 0,и нормальная по отношению к S составляющая скорости среды за скачком направлена в сторону обратную скорости распространения скачка в неподвижной среде. Поэтому в среде наступает разрежение(ρ2 < ρ1 ). Такие скачки называются скачками разрежения.1.2.9.

Соотношения на разрывах в идеальном газе.Рассмотрим более подробно соотношения на разрывах в идеальном сжимаемом газе (~pn = −p~n).Для идеальной среды при R = 0 соотношение для уравнения импульсов дает~vτ 1 = ~vτ 2 .Здесь ~vτ 1 и ~vτ 2 – векторные составляющие вектора скорости ~v , параллельные касательной плоскости к S в точке M.Можно поэтому выбрать систему координат, в которой рассматриваемый элемент поверхности разрыва покоится, а тангенциальная компонента скорости газа по обе стороны поверхности разрыва равнанулю.

В такой системе координат соотношения на скачках запишутсяρ1 vn1 = ρ2 vn2 = j,u1 +22p1 + ρ1 vn1= p2 + ρ2 vn2,2p1v2p2vn1+= u2 + n2 +2ρ12ρ2или h1 +ρ1 vn1 (s1 − s2 ) = Ω2vn1v2= h2 + n2 ,22или H1 = H2где H – полная энтальпия, а h – термодинамическая энтальпия.1.2.10. Ударная адиабата или адиабата Гюгонио.Введем удельные объемы V1 =1ρ1 , V2=1ρ2 .Тогдаvn1 = jV1 , vn2 = jV2и следовательноp1 + j 2 V1 = p2 + j 2 V28Откудаp2 − p1j =,j =V1 − V22rp2 − p1V1 − V2Для разности скоростейvn1 − vn2 = j(V1 − V2 ),получимvn1 − vn2 =p(p2 − p1 )(V1 − V2 )Кроме того энергетическое соотношение даетh1 +j 2 V12j 2 V22= h2 +22Подставляя j 2 получим соотношение для термодинамической энтропии1h1 − h2 + (V1 + V2 )(p2 − p1 ) = 02и для внутренней энергии u = h − pV1u1 − u2 + (V1 − V2 )(p1 + p2 ) = 02Эти соотношения определяют связь между термодинамическими величинами по обе стороны разрыва.Для однородной идеальной материальной среды внутренняя энергия является функцией удельногообъема V (плотности ρ), давления p и некоторых других параметров, задающих физические и химические свойства среды.

Физическими параметрами могут быть векторы поляризации и намагничивания.Эти параметры могут измениться скачком при переходе через поверхность разрыва.Например, для совершенного газа имеемu = cv T + u0 =cV p+ u0 .cp − cV ρПри переходе через скачок состав газа может меняться, и поэтому cp , cV , u0 могут претерпевать скачок.Таким образом, при заданных p1 , V1 – последние уравнения определяют зависимость между p2 иV2 . Об этой зависимости говорят как об ударной адиабате или адиабате Гюгонио.

Адиабата Гюгонионе содержит скоростей, выполняется в любой системе отсчета и удобно для изучения изменения плотности и давления части, проходящих через скачок. Если скачок плотности задан, то в ряде важныхслучаях с помощью адиабаты Гюгонио можно определить скачок давления. После этого определяютсясоответствующие скорости.Графически она изображается в плоскости (p, V ) кривой проходящей через заданную точку p1 , V1 ,отвечающую состоянию газа 1 перед ударной волной.1.2.11. О существовании только скачков уплотнения.Поскольку j 2 > 0, то должно быть одновременноp2 > p1 , V1 > V2 ,или p2 < p1 , V1 < V2Покажем, что в действительности возможен лишь первый случай – скачки уплотнения.9Ударные волны слабой интенсивности.

Будем считать, что все величины испытывают в ударной волне лишь слабый скачок. Преобразуем соотношение выражающее ударную адиабату производяразложения по малым разностям давления и энтропии.В этом случае имеем ∂h∂h1 ∂2h1 ∂3h2h2 − h1 =(s2 − s1 ) +(p2 − p1 ) +(p−p)+(p2 − p1 )3 + . . .21∂s p∂p s2 ∂p2 s6 ∂p3 sТак какdh = T ds + V dpтоПоэтому∂h∂s= T,p1h2 − h1 = T1 (s2 − s1 ) + V1 (p2 − p1 ) +2Разложим объемV2 − V1 =∂V∂p∂V∂p1(p2 − p1 ) +2s∂h∂p=Vs1(p2 − p1 ) +6s2∂2V∂p2∂2V∂p2(p2 − p1 )3 + . .

.s(p2 − p1 )2 + . . .sОбъем V достаточно разложить только по (p2 − p1 ) поскольку во втором члене адиабаты Гюгониоуже имеется малая разность (p2 − p1 ) и разложение по s2 − s1 дало бы член порядка (s2 − s1 )(p2 − p1 )не интересующий нас.Подставляя эти разложения в адиабату Гюгонио получим 2 1∂ Vs2 − s1 =(p2 − p1 )3 + . . .12T1 ∂p2 sТаким образом скачок энтропии в ударной волне слабой интенсивности является малой величинойтретьего порядка по сравнению со скачком давления.Адиабатическая сжимаемость вещества∂V−∂p sпрактически всегда падает с увеличением давления, т.е вторая производная 2 ∂ V>0∂p2 sПодчеркнем, однако, что это неравенство не является термодинамическим соотношением и, в принципевозможны его нарушения.При предположении положительности этой производной для ударных волн слабой интенсивностиусловие возрастания энтропии с необходимостью приводит к неравенствамp2 > p1 ,V2 < V1 ,(ρ2 > ρ1 ),v1 > v2Эти неравенства означают, что при переходе газа через ударную волну происходит его сжатие – егодавление и плотность возрастают.Можно показать, что при таком предположении о знаке производной эти неравенства справедливыи для ударных волн любой интенсивности.Этот вывод существенно связан с принятыми допущениями,во – первых с неравенством 2 ∂ V> 0,∂p2 sи, во - вторых с условиемh1 (p, ρ) = h2 (p, ρ) или u1 (p, ρ) = u2 (p, ρ)Предполагается, что эти функции являются одними и теми же по разные стороны от разрыва.10Скачки разрежения осуществимы.

Если после перехода частиц газа через скачок химические илифизические свойства газовой смеси изменяются так, что второе из этих условий не удовлетворяется,то появляется возможность реализации в действительных движениях скачков разрежения. Примерамитаких осуществляющихся в действительности скачков разрежения могут служить фронты горения.1.2.12. Адиабата Пуассона.В непрерывных адиабатических движениях при изменении состояний частицы энтропия сохраняется,т.е.s2 (p, V ) − s1 (p1 , V1 ) = 0Это уравнение определяет связь между p и V при фиксированных p1 и V1 и называется адиабатаПуассона. На основании полученного выше соотношения при малой интенсивности скачка для адиабаты Гюгонио имеемV − V1 = f (p − p1 , s = const) + k(p − p1 )3 + .

. .Здесь коэффициент k зависит только от V1 и p1 . Вблизи точки V1 и p1 ударная адиабата и адиабатаПуассона одинаковые кривые. Они имеют одинаковые касательные и одинаковые кривизны.dVdV∂V==dp Gdp P∂p s 2 2 2 d Vd V∂ V==dp2 Gdp2 P∂p2 sЕсли ввести систему отсчета K в которой скорость перед скачком равна нулю, а Dn = D > 0, томожно показать, что в этой системе отсчетаrp2 − p1D = V1.V1 − V2Для слабых скачков при p2 −→ p1 и V2 −→ V1 верны равенства dpdpdp∂V22D = −V==== a2 .dV Gdρ Gdρ P∂p sВеличина a называется скоростью звука, и видно, что бесконечно малые возмущения распространяются по частицам со скоростью звука.1.3. Слабые разрывы.Наряду с поверхностями разрыва, на которых испытывают скачок сами функции ~v , ρ, p, .

. . могутсуществовать также и такие поверхности, на которых эти величины обладают какими–либо особенностями, оставаясь сами непрерывными. Эти особенности могут быть самого разнообразного характера.Так, на поверхности разрыва могут испытывать скачок первые производные по координатам или жеэти производные могут обращаться в бесконечность.

То же самое может иметь место для производныхболее высоких порядков. Все такие поверхности называются поверхностями слабого разрыва.Отметим, что ввиду непрерывности самих этих величин на поверхности слабого разрыва непрерывны также их и тангенциальные производные; разрыв непрерывности испытывают лишь нормальные кповерхности производные.Легко убедиться простыми рассуждениями, что поверхности слабого разрыва распространяются относительно среды со скоростью, равной скорости звука.Можно также показать, что поверхность слабого разрыва совпадает с одной из характеристических поверхностей, так как физический смысл характеристических поверхностей–поверхностираспространения малых возмущений.Слабые разрывы не могут возникать сами по себе.

Их появление связано с какими–либо особенностями в граничных или начальных условиях движения.11(Наличие углов на поверхности обтекаемого тела. Скачок кривизны поверхности тела без угла нанем. Всякая особенность в изменении движения со временем влечет за собой возникновение нестационарного слабого разрыва).При стационарном движении газа слабые разрывы могут появляться только при скоростях равныхили превышающих скорость звука.12.