Break (Лекции в PDF), страница 2

Будем предполагать, что 1) всеподинтегральные функции в поверхностных интегралах по Σ при стягивании Σ к S имеют конечныезначения, но, вообще говоря, различные на разных сторонах S и 2) при h −→ 0 имеют место следующиепредельные равенства:ZZZZZ Z∗dq~ dτ = Rdσ,~~ dσ, lim~ · ~v +limρFlimρ~hdτ = MρFdτ = W dσ,h−→0h−→0h−→0dtVSVlimh−→0SZρTV!′dq (e) dq+dtdtVdτ =ZSΩdσ,S~ M~ и W –поверхностные плотности на S соответствующих внешних для среды сил, моментовгде R,и притока энергии, а величина Ω дает плотность распределения на S изменения энтропии за счетвнешних притоков тепла и роста энтропии за счет необратимости процесса перехода через скачок.1.2.3. Условия на поверхностях разрыва в "собственной системе координат".Используя принятые выше обозначения и полученные соотношения имеемИз закона сохранения массρ1 vn1 = ρ2 vn2Из уравнения импульсов~ + ~pn1 − ρ1~v1 vn1 = p~n2 − ρ2~v2 vn2RИз уравнения моментов с учетом уравнения импульсов~ +Q~ n1 − ρ1~k1 vn1 = Q~ n2 − ρ2~k2 vn2MИз уравнения энергииW + p~n1 · ~v1 − ρ1 vn1v2u1 + 12−∗qn1= ~pn2 · ~v2 − ρ2 vn2v2u2 + 22∗− qn2Из уравнения для энтропииρ1 vn1 s1 − ρ2 vn2 s2 = Ω1.2.4.

Типичные условия для поверхностных плотностей внешних сил, моментов ипритоков энергии.Условия на разрывах для газовых потоков в аэродинамике. Равенство нулю внешних воздействий на скачках является типичным условием, используемым в этих приложениях механики сплошнойсреды.~ , ρ~h, ρF~ · ~v + ρdq ∗ /dt конечны в объеме V , тоОчевидно, что если ρF~ = 0,R~ = 0,MW = 0.В частности так будет обстоять дело, когда внешние массовые силы являются силами тяжести илисилами инерции при рассмотрении относительных движений и вообще для любого непрерывного полямассовых сил, в том числе и для действующих на среду пондеромоторных сил, моментов и притоков энергии, обусловленных электромагнитным полем, когда электромагнитное поле непрерывно наповерхности S.В общем случаеΩ 6= 0.~ W могутПоверхность характеристик электромагнитного поля.

В этом случае величины R,быть отличны от нуля:~ 6= 0, W 6= 0.R5Разрывы, моделирующие несущие поверхности крыльев, водяные или воздушные винты,~ W и,создающие тягу. В этих случаях также могут быть отличны от нуля внешние воздействия R,~может быть M .~ 6= 0, M~ 6= 0, W 6= 0.R1.2.5. Общие замечания.Замечание о втором законе термодинамики. При адиабатических процессах (dq (e) = 0) величи′на Ω когда ρ1 vn1 = ρ2 vn2 6= 0, вообще говоря отлична от нуля. Так как ввиду необратимости dq > 0,тоΩ = ρ1 vn1 (s1 − s2 ) > 0При адиабатических процессах это равенство можно рассматривать как определение величины Ω,которая для реально осуществимых процессов должна быть неотрицательной.О распаде произвольного разрыва.

Установленные соотношения при заданных или найденныхиз решения задач значениях скачков всех входящих в них величин могут служить для вычисления~ M~ ,W.внешних воздействий R,При~ = 0, M~ = 0, W = 0Rполученные условия показывают, что скачки различных характеристик движения и состояния не могутбыть произвольными.Если задать начальные данные произвольно, так что соотношения на скачках могут не выполняться, то в следующие моменты времени данный разрыв не может существовать, произойдет распадначального разрыва, вообще на несколько разрывов, среди которых могут быть сильные и слабыеразрывы.Аналогичное положение возникает при столкновении нескольких разрывов.О неустойчивости разрывов. На некоторых сильных разрывах могут выполняться все установленные условия и, в том числе, условия связанные с ростом энтропии.

Тем не менее существуютразрывы, которые не могут реализоваться из -за их неустойчивости, обусловленной видом скачка исвойствами системы дифференциальных уравнений, описывающих непрерывное движение по обеимсторонам от скачка.Дополнительные соотношения физической природы. Нужно иметь ввиду, что при исследовании физически допустимых разрывов (устойчивых и удовлетворяющим универсальным условияммеханики и термодинамики) для обеспечения единственности и соответствия действительности искомых решений в некоторых задачах требуется устанавливать на скачках дополнительные соотношенияфизической природы.О граничных условиях. Установленные условия на скачках могут служить источником полученияграничных условий для решения дифференциальных уравнений в области непрерывных движенийсреды.В ряде случаев можно задать свойства, движение и состояние частиц среды с одной стороны поверхности разрыва, тогда соответствующие характеристики с другой стороны должны удовлетворятьнайденным соотношениям.В частности таким путем можно получить граничные условия на свободных границах жидкости,на границах твердых тел и т.п.61.2.6.

Условия на поверхностях разрыва в произвольной системе координатПри неустановившихся движениях в разных системах координат поверхности разрыва могут иметь~ Дадим вид соотношений на скачках в любойразличные по величине и по направлению скорости D.системе отсчета, не связанной с движением каких–либо точек поверхности разрыва.Для этого достаточно заменить вектор скорости ~v ∗ движения относительно системы K ∗ вектором~ (~v ∗ = ~v − D)~ относительно фиксированной системы координат K.скорости ~v = ~v ∗ + DСкорости (D − vn1 ), (D − vn2 ) можно рассматривать как скорости поверхности разрыва относительно частиц среды на различных сторонах разрыва.Соответствующие условия после использования уравнения сохранения массы и уравнения импульсов можно написать в форме~ + ~pn1 + ρ1~v1 (D − vn1 ) = p~n2 + ρ2~v2 (D − vn2 ),ρ1 (D − vn1 ) = ρ2 (D − vn2 ), Rv2v2∗∗W1 + p~n1 · ~v1 + ρ1 (D − vn1 ) u1 + 1 − qn1= p~n2 · ~v2 + ρ2 (D − vn2 ) u2 + 1 − qn2,22ρ1 (vn1 − D)(s1 − s2 ) = Ω~ · D.~Здесь W1 = W (~v ∗ ) + RВыписанные соотношения на скачках верны в любой системе координат (инерциальной или инерциальной) и во всех точках поверхности разрыва.Условия для моментов не выписаны, потому что в дальнейшем рассматриваются только такиемодели, для которых~ =Q~ n = ~k = 0Mво всех точках области движения.1.2.7.

Тангенциальный и контактный разрыв.Тангенциальный или касательный разрыв. Если (D − vn1 ) = (D − vn2 ) = 0, то частицы среды непереходят с одной стороны разрыва на другую, а vn1 = vn2 . В этом случае, вообще говоря, возможенразрыв касательной составляющей скорости на различных сторонах разрыва (vτ 1 6= vτ 2 ) и произвольный разрыв плотностей (ρ1 6= ρ2 ). Такой разрыв называется тангенциальным или касательным.Остальные условия для тангенциального разрыва будут~ = ~pn2 − p~n1 ,R∗∗W1 = qn1− qn2− p~n1 · ~v1 + p~n2 · ~v2 ,Ω = 0.~ = 0 напряжения на площадке касательного разрыва непрерывны, а работа силСледовательно при Rнапряжения на разности касательных (по отношению к разрыву) скоростей при W1 = 0 равна разностипотоков энергии q ∗ через разрыв.Тангенциальный разрыв в идеальной жидкости.

Для идеальной жидкости условия на танген~ = 0, W1 = 0 сводятся к непрерывности давления и нормальной компонентыциальном разрыве при Rвектора потока энергии на поверхности разрыва, например, на поверхности контакта двух разных тел.Контактный разрыв. Частным случаем тангенциальных разрывов являются разрывы, в которыхскорость непрерывна и испытывает скачок только плотность (а с ней и другие термодинамическиевеличины за исключением давления). Такие разрывы называются контактными.1.2.8. Скачки уплотнения и разрежения.Если vn1 6= vn2 , то частицы среды переходят с одной стороны поверхности S на другую, изменяясвои характеристики состояния и движения скачком (ударом).Разность (vn2 −vn1 ) 6= 0 не зависит от выбора системы отсчета и от способа нумерации разных сторонS, так как перемена нумерации меняет направление нормали, переставляет нормальные составляющиескорости и меняет их знаки.7Установим нумерацию сторон поверхности S таким образом, чтобы среда переходила через S состороны 1 на сторону 2.

Если воспользоваться системой отсчета в которой ~v1 = 0, то очевидно что втакой системе координат Dn = D > 0. При этом способе рассмотрения получим, что поверхность Sраспространяется в покоящейся среде, отмеченной индексом 1. Закон сохранения массы в этой системекоординат запишется в видеρ1 D = ρ2 (D − vn2 )Скачки уплотнения.