Break (Лекции в PDF)

1. Поверхности разрыва1.1. О поверхностях разрыва в механике сплошной средыДо сих пор предполагалось, что в области, занятой сплошной средой, в точках в которых должнывыполняться соответствующие дифференциальные уравнения, задаваемые и искомые функции непрерывны и имеют нужное число непрерывных производных.Такое предположение является очень сильным ограничением, неприемлемым в ряде важных приложений.Поверхности разрыва, по разные стороны которых находятся разные среды.

Примерамиявляются жидкости и погруженные в них тела. Например, виски со льдом. Другие примеры: поверхности взаимодействия с водой тающего или намерзающего льда погруженного в воду; поверхностивзаимодействия с продуктами горения порохового заряда; поверхности космических аппаратов, движущихся в атмосфере.На поверхности раздела этих сред характеристики состояний и движения (плотность, скорость,перемещения и т. п. могут быть вообще разрывными функциями координат.В этом случае поверхности раздела можно рассматривать как поверхности разрыва, на которыхнеобходимо выставлять для искомых функций специальные условия, играющие роль краевых условийна подвижных и неизвестных заранее границах.Поверхности разрыва в одной среде.

В ряде задач газовой динамики для идеального совершенного газа и во многих других случаях требование непрерывности по координатам искомых решенийприводит к отсутствию существования решений (поршень в канале, обтекание затупленного тела сотошедшей ударной волной, ...). Допущение кусочной гладкости искомых решений обеспечивает присоответствующей постановке задачи существование и единственность решения. Получающиеся разрывные решения могут хорошо соответствовать реальным эффектам.В некоторых случаях разрывное решение может быть получено в рамках одной модели как пределпоследовательности непрерывных решений, стремящихся к данному разрывному решению.

Такое положение дел имеет место далеко не всегда даже в случае систем линейных уравнений.Это связано с тем, что разрывные движения вообще необратимы и характеризуют конечные потеримеханической энергии даже тогда, когда непрерывные движения обратимы.О структуре разрыва.

Существует распространенная точка зрения, что при описании реальныхявлений в рамках механики сплошной среды можно, и, вообще говоря,нужно рассматривать тольконепрерывные движения.В случае если непрерывное решение не существует или перестает существовать, начиная с некоторого времени, для получения непрерывных решений необходимо обращаться к другой, более сложноймодели. Необходимо вводить в уравнения движения дополнительные члены и соотношения для учетав тонких слоях внутри или на границе области диссипативных эффектов, возникающих за счет резкихградиентов в распределении скоростей, температур, плотностей.Можно указать случаи, когда нет непрерывного решения поставленной задачи в рамках моделиидеальной жидкости, но есть непрерывное решение с резкими изменениями параметров движения исостояния в рамках модели вязкой жидкости (обтекание затупленного тела с образованием ударнойволны).Задача об установлении структуры скачка заключается в исследовании непрерывных решенийусложненной модели, отвечающих разрывам в упрощенной модели.Слабые и сильные разрывы.

Поверхности, на которых сами функции непрерывны, но разрывныетолько некоторые их производные по координатам и времени называются слабыми разрывами.Поверхности, на которых терпят разрыв сами функции называются поверхностями сильногоразрыва.11.2. Условия на поверхностях сильного разрыва.1.2.1. Некоторые определения и факты.Поверхности сильного разрыва можно вводить как заданные поверхности с заданными законами ихдвижения в виде внешних связей, или как носители заданных или искомых силовых и других внешнихвоздействий, форма и движение которых заранее неизвестны и, вообще говоря, должны быть найденыв процессе решения задачи.Единичный вектор нормали к поверхности.

Рассмотрим подвижную поверхность S, уравнениекоторой представлено в виде f (x, y, z, t) = 0. Вследствие движения поверхность S в разные моментывремени t и t + ∆t занимает разные положения S и S1 (рис. ).Возьмем на S точку M и предположим, что в точке M существует определенная нормаль к S. (Онасуществует в точках поверхности, когда вектор gradf определен однозначно в каждой точке поверхности.

При этом исключаются случаи поверхности с изломами и другими особенностями). Единичныйвектор нормали ~n в точке M поверхности S направим в сторону вектора M~N , где точка N являетсяточкой пересечения перемещенной поверхности S1 с нормалью к S в точке M. Знак функции f (x, y, z, t)определим их условия f (M, t) = 0, f (N, t) > 0 и поэтому~n =gradf|gradf |.Скорость перемещения в пространстве поверхности S в точке M .

Скоростью перемещения~ нормальный к S и определенный какв пространстве поверхности S в точке M называется вектор D,следующий предел~ = ~n lim M ND∆t−→0 ∆tЕсли задано уравнение поверхности, то~ =−D∂f∂t|gradf |~nДействительно,Обозначим компоненты единичного вектора ~n черезnx =1 ∂f,|gradf | ∂xny =1 ∂f,|gradf | ∂ynz =1 ∂f.|gradf | ∂zТогда, так как точка N принадлежит поверхности в момент времени t + ∆t, тоf (x + M N nx , y + M N ny , z + M N nz , t + ∆t) = 0.Отсюда с точность до малых высшего порядка имеем∂f∂f∂f∂fnx +ny +nz +∆t = 0MN∂x∂y∂z∂tили∂f∆t = 0.∂tИз последнего равенства и следует выражение для скорости движения поверхности.~ = 0 в каждой точке M поверхности S, если функция f не зависит от времени.Очевидно, что D~Вектор D зависит от выбора системы координат.M N |gradf | +2Собственная система координат. Для каждой точки M можно указать "собственную систему координат" – систему отсчета K ∗ , в которой скорость этой точки M в данный момент времени обращается~ = 0).в нуль (DПусть при переходе через гладкую поверхность S( с определенными нормалями), задаваемую уравнением f (x, y, z, t) = 0, различные характеристики состояний и движения среды терпят разрыв.

Возьмем на S некоторую(любую) точку M . Так как все механические, термодинамические, электродинамические и вообще физические уравнения сохраняют свой вид в любой инерциальной системе координат,то для вывода искомых условий в точке M в качестве системы отсчета можно выбрать "собственную~ = 0.систему" K ∗ , в которой скорость данной точки в данный момент времени равна нулю DВыделение объема, стягиваемого к поверхности разрыва. В связи с некоторой частью изолированной поверхности разрыва S введем в рассмотрение замкнутую поверхность Σ как границу объема,полученного следующим образом.Проведем в каждой точке выделенной части поверхности S нормаль и отложим по нормали в обестороны от S отрезки длиной h/2, где h – малая постоянная длина.

Совокупность таких отрезков, проведенных из всех точек рассматриваемого участка поверхности S, образует в данный момент временисоответствующий объем V , ограниченный поверхностью Σ.В выбранной системе координат K ∗ определенный выше объем V будем рассматривать как неподвижный геометрический объем. Кроме него, будем рассматривать совпадающий с ним в моментвремени t подвижный – субстанциональный объем V ∗ связанный с точками среды.В следующий момент времени t + dt объем V ∗ сдвигается относительно своего положения V в момент времени t. Этот объем неподвижен только в том случае, когда точки среды на поверхности Σ всистеме K ∗ неподвижны или имеют равные нулю нормальные составляющие скорости на Σ. Поверхность разрыва S тоже перемещается внутри объема V , однако рассматриваемая точка M за бесконечномалое время dt сохраняет свое положение, так как ее скорость в системе K ∗ равна нулю.Интегральные законы сохранения.

Выпишем для выбранного таким образом субстанционального объема V ∗ интегральные законы сохранения, которые были получены на предыдущих лекциях.Интегральная формулировка законов механики и термодинамики обладает большей общностью чемдифференциальная. Она и используется при исследовании разрывных решений.1.

Уравнение неразрывностиZdρdτ = 0dtV∗2. Уравнение импульсовddtZVρ~v dτ =Z~ dτ +ρFp~n dσΣV∗Z3. Уравнение моментовZZZZZZdd~~~~ n dσ~r × ρ~v dτ +ρkdτ = ~r × ρF dτ + ~r × p~n dσ + ρhdτ + QdtdtV∗V∗ΣVΣV4. Уравнение энергииZ ZZZZdv2dq ∗∗~ρ u+dτ = ρF · ~v dτ + ~pn · ~v dσ − qn dσ + ρdτdt2dtV∗ΣVΣVЗдесь qn∗ – внешний поток добавочной энергии, как тепловой, так и не тепловой (в том числе рабо∗та поверхностных пар и т.д.) через граничную поверхность Σ, а dqdt –полный удельный добавочныйприток энергии за счет массовых источников энергии за единицу времени по сравнению с притокоммеханической энергии равным работе макроскопических массовых и поверхностных сил, входящих вуравнение импульсов.35. Уравнение для энтропии.ddtZρsdτ =V∗ZρT′dq (e) dq+dtdtV!′dτ,dq>0dt1.2.2.

Переход к пределу.Разделив выписанные уравнения на ∆σ, где ∆σ – элемент поверхности S стягивающейся к M , иперейдя к пределу при ∆σ −→ 0, h −→ 0 получим соотношения на разрывах.Предел производной в левой части интегральных законов при стягивании объема к точкеповерхности разрыва. Из формулы дифференцирования по времени интеграла взятого по подвижному объему следует, что для любой кусочно гладкой функции A(x, y, z, t) в системе K ∗ имеемZZZddAdτ =Adτ + A vn dσ,dtdtV∗ΣVгде vn – проекция скорости точек среды относительно K ∗ на внешнюю нормаль к поверхности Σ.Первое слагаемое. Если поверхность разрыва внутри объема V неподвижна, то для производнойот интеграла по неподвижному в системе K ∗ объему V можно написатьZZddI=Adτ = hA∗ dσdtdtVSгде A∗ – среднее значение функции A на соответствующем отрезке длиной h.Если A явно не зависит от времени, то эта производная равна нулю.При неустановившемся движении, когда функция A конечна и непрерывна вместе со своими производными по координатам и по времени с обеих сторон от неподвижной поверхности S (на S могутбыть разрывы), величина I является непрерывной функцией от t, исчезающей при стремлении к нулювеличины h.~ = 0 в точке M .

В соседних точках поверхности D~ 6= 0,Выбор системы K ∗ определен условием Dи поэтому поверхность S – вообще подвижная поверхность внутри объема V . Для бесконечно малого~ соседних точек бесконечно малы, поэтому приэлемента поверхности S вблизи точки M cкорости Dстягивании объема V к точке M получимZ1 dlimAdτ = 0∆σ−→0,h−→0 ∆σ dtVВторое слагаемое. Будем обозначать характеристики движения и состояния и состояния на однойстороне индексом 1, на другой – индексом 2. Выберем нумерацию так, чтобы направление нормалисоответствовало переходу со стороны 2 на сторону 1.Тогда для поверхностного интеграла переходя к пределу при h −→ 0, ∆σ −→ 0 очевидно получимZ1limA vn dσ = A1 vn1 − A2 vn2 ,h−→0,∆σ−→0 ∆σΣгде vn1 , vn2 – проекции скоростей точек среды с двух сторон поверхности на одно и то же положительноенаправление нормали к S.Таким образом имеемZ1 dlimAdτ = A1 vn1 − A2 vn2h−→0,∆σ−→0 ∆σ dtV∗4Пределы интегралов в правой части интегральных законов.