2Thermod (Лекции в PDF)

Лекция 9(8)Исходные положения термодинамики II.II.Дополнительная литература: И.П. Базаров. Термодинамика.План:1. Термическое и калорическое уравнения состояния.2. Основные термодинамические процессы.3. Совершенный газ.Термическое и калорическое уравнения состояния.Уравнение притока тепла для совершенного газа.Основные термодинамические процессы и их уравнения.4. Цикл Карно и машина Карно. Цикл Карно для совершенного газа.1. Термические и калорическое уравнения состоянияНулевое начало термодинамики–положение о том, что равновесные внутренние параметры являются функциями внешних параметров и температуры, приводит к существованию термических и калорического уравнений состояния системы, т.е.

уравнений, связывающих температуру θ, внешние параметры ai и какой либо внутренний равновесный параметр bk :bk = fk (a1 , . . . an ; θ)Определение. Если внутренним параметром bk является внутренняя энергия U , то уравнениеU = U (a1 , . . . an ; θ)называется уравнением энергии или калорическим уравнением состояния.Определение. Если внутренним параметром bk является сопряженная к внешнему параметру aiобобщенная сила Ai , то уравненияАi = Ai (a1 , . .

. an ; θ)называются термическими уравнениями состояния.Общее число термических и калорического уравнений состояния системы равно числу ее степенейсвободы, т.е. числу независимых параметров, характеризующих состояние системы.Если калорическое и термические уравнения состояния системы известны, то с помощью началтермодинамики можно определить все термодинамические свойства системы.Вывести сами уравнения состояния на основе начал термодинамики нельзя: они либоустанавливаются из опыта, либо находятся методами статистической физики.Пример: Уравнения состояния совершенного газа.Для такой простой системы как совершенный газ термическим уравнением состояния является уравнение Клайперона –Менделееваp = ρRθ1а калорическим уравнением состоянияZu = cV dθ = cV θ + u0 (для одноатомного газа)Совершенный газ –можно определить как газ, в котором молекулы взаимодействуют только пристолкновениях.Совершенный газ может быть как идеальнымpij = −pgijтак и вязкимpij = −pgij + λekk gij + 2µeij = −pgij + λgij div ~v + 2µeijПри медленных процессах скорость деформации мала:VV, µe ≪ p, µ ≪ pLLи вязкими напряжениями можно пренебречь.Замечание.Для реальных газов эмпирически установлено более 150 термических уравнений состояния.

Наиболее простым из них и качественно правильно передающим поведение реальных газов даже при переходеих в жидкость является уравнение Ван–дер–Ваальсаa p + 2 (V − b) = RθVeij ∼Это уравнение отличается от уравнения Клайперона–Менделеева двумя поправками: на объем b самихмолекул и на внутреннее давление –a/V 2 , определяемое внутренним притяжением молекул газа (a иb –константы не зависящие от θ и p, но разные для разных газов). Необходимость введения поправокна объем впервые обосновывал М.В. Ломоносов, исходя из молекулярно–кинетических представленийо природе теплоты.2. Термические и калорические свойства систем.

Теплоемкость.Изучаемые в термодинамике свойства систем (и соответственно величины, характеризующие этисвойства) могут быть разделены на два класса – термические и калорические.Определение Те свойства, которые определяются только термическим уравнением состояния системы называются ее термическими свойствами.Определение Те свойства, которые определяются или только калорическим уравнением состояниясистемы или совместно калорическим и термическими уравнениями состояния называются ее калорическими свойствами.К калорическим свойствам (величинам) относятся прежде всего теплоемкости и теплоты изотермического изменения внешних параметров.Определение Теплоемкость определяет количество теплоты, необходимое для изменения температуры на 10 K:δQc=dθТак как количество теплоты δQ, необходимое для изменения температуры системы на dθ, зависитот характера происходящего при этом процесса, то теплоемкость c системы также зависит от условийпри которых определяется δQdθ .

Это значит, что теплоемкость является не функцией состояниясистемы, а функцией процесса.23. Основные термодинамические процессыВо всякой термодинамической системе возможны три процесса: изотермический (θ = const),адиабатический (δQ = 0) и политропный (c = const). Число и характер других процессов зависятот природы системы.При изучении свойств равновесных систем термодинамика прежде всего рассматривает свойствапростых систем.Определение. Простыми будем называть системы, состояние которых определяется только однимвнешним параметром a и температурой θ.Иначе говоря, простые системы–это однофазные системы, определяемые двумя параметрами.Термическое и калорическое уравнения простой системы имеют видA = A(a, θ),u = u(a, θ)Ecли A = p–давление и, следовательно a = V –объем системы, то уравнения состоянияp = p(V, θ),u = u(V, θ)В простой системе с внешним параметром a и сопряженным ему силовым параметром A кроменазванных трех процессов можно наблюдать также процесс при a = const и процесс при A = const.Если внешним параметром является объем системы (a = V ) и, следовательно, A = p), то процесс приV = const, называется изохорным, а при p = const –изобарным.Эти пять процессов (изотермический, адиабатический, политропный, изохорный и изобарный) считаются основными в термодинамике, причем адиабатный процесс является, очевидно, частным случаемполитропного.3.1.

Цикл Карно. Машина Карно. Пример цикла Карно для совершенного газаОпределение. Тепловым резервуаром для данного класса процессов называется система, которая1) исходно находится в состоянии равновесия;2) участвуя в процессах обменивается теплом при постоянных внешних параметрах;при этом3) изменение состояния самой этой системы пренебрежимо мало.Пример. Очень большая масса газа может служить тепловым резервуаром для процессов, происходящих с малыми массами газа.Определения 1 и 2. Машиной Карно называется система, совершающая циклический процесс, втечении которого она обменивается теплом только с двумя тепловыми резервуарами. Такой процессназывается циклом Карно.Пусть имеем тепловую машину Карно, которая включает в себя два тепловых резервуара B1 и B2 .Обозначим Q1 = δQe1 –тепло, полученное за цикл из резервуара B1 , а Q2 = −δQe2 –тепло отданноеза цикл резервуару B2 , A = −δAe – работа системы над внешними телами.Запишем для данного цикла первый закон термодинамики (закон сохранения энергии)0 = δAe + δQeВ нашем случае δAe = −A,δQe = Q1 − Q2 .

Следовательно,A = Q1 − Q23.2. Пример – цикл Карно для совершенного газаДля совершенного газаu = cV θ + u0 ,(cV = const),3p = ρRθ(R = const).Рассмотрим следующий цикл Карно для совершенного газа (рис. ), который состоит из отрезковдвух изотерм и двух изобат.Температура в исходной точке A пусть равна θ1 , а температура в точке C − −θ2 .Подсчитаем количество тепла полученного системой при прохождении этого цикла.

Уравнение притока тепла для совершенного газа будет1du = −pd + dq (e)ρНа отрезках изотерм du = cv dθ = 0. Следовательно,dq (e) = pdЕсли обозначить через Q1 =RB1ρdq (e) – количества тепла на отрезке AB, то так как на этом отрезкеAd 1ρ > 0, то и Q1 > 0 и здесь тепло поступает в систему. На отрезке CD – тепло отводится, так какRDdq (e) = pd ρ1 < 0. Обозначим отведенное тепло через Q2 = − dq (e) > 0 На отрезках адиабат тепло неCподводится, поэтому общее количество тепла за цикл подведенное к системе равно Q1 − Q2 .Рассмотрим количество совершенной работы.

По теореме живых силdE = dAi + dAeЕсли рассматривать очень медленные (равновесные) процессы , тоE ≈ 0,dE ≈ 0,dAe = −dAiЗдесь dAe – работа, совершаемая внешними силами над системой. Работа совершаемая системойнад внешними теламиdA = −dAe = dAiZdAi = dAiσ = −pij eij dtdV = −V pij eij dt = −V gij eij dt = V pdiv ~v =VVp−Vdρ1−dρ/dtdt =pdρ = −V ρp 2 = M pdρρρρТаким образом, элементарная работа, совершаемая системой над внешними теламиЗа цикл работа будетA=dA = M pd1ρZZdA = Mpd1ρГрафически она выразится заштрихованной площадью ABCD.Если рассмотреть при θ1 > θ2 обратный цикл Карно, то будем иметь холодильник.Пример машины, работающей по обратимому циклу Карно.Цилиндр, один конец, которого закрыт неподвижной стенкой, а другой – уравновешенным в начальный момент подвижным поршнем.

Сначала заставим поршень расширяться при θ1 = const. Пустьбоковые стенки и поршень теплоизолированы...43.3. Основные термодинамические процессы для совершенного газаВыпишем уравнение притока тепла для совершенного газа(u = cV θ + u0 , p = ρRθ)1 ijp eij dt + dq eρdu =1dq e = − div~qdt + dq + dq ∗∗ρИспользуя уравнение неразрывности для идеального совершенного газа получим 1 ij1111 dρ1 dρd 1ijp eij = (−p)g eij = (−p)div~v = (−p)(−1)=p 2= −pρρρρρ dtρ dtdt ρПодставляя в уравнение притока тепла с учетом калорического уравнения состояния имеем1cV dθ = −pd + dq eρа) процессы при постоянном объеме (V =1ρ= const, ρ = const) - изохорические. edqecV dθ = dq , cV =dθ V =constCледовательно, физический смысл коэффициента cV - теплоемкость при постоянном объеме - количество тепла, которое нужно передать газу, чтобы при постоянном объеме увеличить еготемпературу на 1◦ .б) Процессы при постоянном давлении (p = const) -изобарические.const = p = ρRθ,ρdθ + θdρ = 0Подставляя в уравнение притока тепла111 ρ1pd = p − 2 dρ = p − 2−dθ = p dθ = RdθρρρθρθполучимcVRили+ 1 Rdθ = dq e(cV + R)dθ = dq e (p = const)Обозначим cp = cV + R.

Тогдаcp =dq edθp=constТаким образом, физический смысл cp – теплоемкость при постоянном давлении.Она связана с теплоемкостью при постоянном объеме формулой Майера:cp − cV = RОткуда следует, что cp > cV .г) Изотермический процесс ( θ = const ⇒ U = const, dU = 0) −1Rθ1p = ρRθ = 1 = const ·ρρТаким образом, изотерма - гипербола на плоскости (p, ρ1 )5д) адиабатические процессы (нет обмена теплом с внешней средой, т.е dq e = 0).Из уравнения притока тепла получимcV dθ = −pd1ρКроме того,p = ρRθ,1 1θ= p ,R ρ1dθ =R11dp + pdρρПодставим в первое соотношениеcV 1cV 11dp +pd = −pd .RρR ρρОткудаc 1cV 1Vdp = −+ 1 pdRρRρCледовательно,cp 11dp = − pdρcV ρ!1 1dp= −γ 1 dpρρилигдеγ=cpcVПроинтегрировав получим уравнение адиабаты.